高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全套歷年真題大數(shù)據(jù)之10年高考真題專(zhuān)題18不等式選講特訓(xùn)(原卷版+解析)

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷與新課標(biāo)理科卷）專(zhuān)題18不等式選講真題匯總命題趨勢(shì)真題匯總命題趨勢(shì)1．【2022年全國(guó)甲卷理科23】已知a，b，c均為正數(shù)，且a2(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，則1a2．【2022年全國(guó)乙卷理科23】已知a，b，c都是正數(shù)，且a3(1)abc≤1(2)ab+c3．【2021年全國(guó)甲卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|x?2|,g(x)=|2x+3|?|2x?1|．（1）畫(huà)出y=f(x)和y=g(x)的圖像；（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范圍．4．【2021年全國(guó)乙卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|x?a|+|x+3|.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥6的解集;（2）若f(x)>?a，求a的取值范圍．5．【2020年全國(guó)1卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|3x+1|?2|x?1|．（1）畫(huà)出y=f(x)的圖像；（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．6．【2020年全國(guó)2卷理科23】已知函數(shù)f(x)=x?（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)?4的解集；（2）若f(x)?4，求a的取值范圍.7．【2020年全國(guó)3卷理科23】設(shè)a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥348．【2019年新課標(biāo)3理科23】設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，證明：a≤﹣3或9．【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集；（2）當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，f（x）＜0，求a的取值范圍．10．【2019年新課標(biāo)1理科23】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．證明：（1）1a+1b+1c≤a（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．11．【2018年新課標(biāo)1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）時(shí)不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍．12．【2018年新課標(biāo)2理科23】設(shè)函數(shù)f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍．13．【2018年新課標(biāo)3理科23】設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）畫(huà)出y＝f（x）的圖象；（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．14．【2017年新課標(biāo)1理科23】已知函數(shù)f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范圍．15．【2017年新課標(biāo)2理科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．證明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．16．【2017年新課標(biāo)3理科23】已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍．17．【2016年新課標(biāo)1理科24】已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在圖中畫(huà)出y＝f（x）的圖象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．18．【2016年新課標(biāo)2理科24】已知函數(shù)f（x）＝|x?12|+|x+12|，M為不等式（Ⅰ）求M；（Ⅱ）證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a+b|＜|1+ab|．19．【2016年新課標(biāo)3理科24】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝|2x﹣1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．20．【2015年新課標(biāo)2理科24】設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b＝c+d，證明：（1）若ab＞cd，則a+（2）a+b＞c+d是|a﹣21．【2014年新課標(biāo)1理科24】若a＞0，b＞0，且1a（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并說(shuō)明理由．22．【2014年新課標(biāo)2理科24】設(shè)函數(shù)f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．23．【2013年新課標(biāo)1理科24】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）設(shè)a＞﹣1，且當(dāng)x∈[?a2，12]時(shí)，f（x）≤g（x24．【2013年新課標(biāo)2理科24】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c＝1，證明：（Ⅰ）ab+bc+ca≤（Ⅱ）a2模擬好題模擬好題1．已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=4時(shí)，求不等式fx(2)若fx≥a2?2．已知正數(shù)a，b，c滿足a3(1)求證：0<abc≤1；(2)求證：1ab3．已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x?2|．(1)解不等式f(x)>6；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥x2+m在0,44．已知fx=x?4(1)求實(shí)數(shù)m值；(2)若a+b+c=m3?35．已知fx=x?2(1)求m的值；(2)若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=m，證明：a26．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且abc=1．證明：(1)a3(2)b67．已知fx(1)若m=2，求fx(2)若a>0，b>0，c>0，abc=1，對(duì)于?x∈R，a+b2+a+c8．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=2,a=1，求不等式fx(2)當(dāng)m=1時(shí)，證明：fx9．已知函數(shù)fx=x+2?m，(1)求m的值；(2)設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a+b+c=m，求3a+1+10．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=3時(shí)，求不等式fx(2)若fx?4恒成立，求實(shí)數(shù)11．已知函數(shù)fx(1)求不等式fx(2)若方程kx=f(x)存在非零實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)12．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=?1時(shí)，求不等式fx(2)當(dāng)x∈1,2時(shí)，fx≥013．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=?1時(shí)，求不等式fx(2)若關(guān)于x的不等式fx?x?214．已知函數(shù)f(x)=|x?1|?2|x?3|．(1)求不等式f(x)≥?2的解集；(2)若存在x，使不等式a2?a<f(x)+|x?3|成立，求實(shí)數(shù)15．已知函數(shù)fx=x?2(1)求k的最大值k0(2)設(shè)a>0，b>0，求證：aa+2b16．已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式fx(2)若不等式f(x)<|x?4|對(duì)任意x∈0,217．已知函數(shù)fx（1）解不等式fx（2）若關(guān)于x的不等式fx+3x+118．已知f(x)=x+（1）解不等式f(x)≤7（2）令f(x)的最小值為M，正數(shù)a，b滿足a+2b=M，求證：a219．已知函數(shù)f(x)=x+1（Ⅰ）解不等式f(x)≤2x+2；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為t，若a>0,b>0，且a+b=t，證明：a220．已知函數(shù)fx（1）求不等式fx≤4x+7的最小整數(shù)解（2）在（1）的條件下，對(duì)任意a，b∈?m,+∞，若a+b=4，求W=大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷與新課標(biāo)理科卷）專(zhuān)題18不等式選講真題匯總命題趨勢(shì)真題匯總命題趨勢(shì)1．【2022年全國(guó)甲卷理科23】已知a，b，c均為正數(shù)，且a2(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，則1a【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】(1)證明：由柯西不等式有a2所以a+b+2c≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c=1時(shí)，取等號(hào)，所以a+b+2c≤3；(2)證明：因?yàn)閎=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，即0<a+4c≤3，所以1a+4c由權(quán)方和不等式知1a當(dāng)且僅當(dāng)1a=24c，即所以1a2．【2022年全國(guó)乙卷理科23】已知a，b，c都是正數(shù)，且a3(1)abc≤1(2)ab+c【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)證明：因?yàn)閍>0，b>0，c>0，則a32>0，b所以a3即abc12≤13，所以abc≤(2)證明：因?yàn)閍>0，b>0，c>0，所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，所以ab+c≤a2a當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)．3．【2021年全國(guó)甲卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|x?2|,g(x)=|2x+3|?|2x?1|．（1）畫(huà)出y=f(x)和y=g(x)的圖像；（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見(jiàn)解析；（2）a≥（1）可得f(x)=|x?2|={2?x,x<2g(x)=|2x+3|?|2x?1|={?4,x<?（2）f(x+a)=|x+a?2|，如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫(huà)出f(x),g(x)圖像，y=f(x+a)是y=f(x)平移了|a|個(gè)單位得到，則要使f(x+a)≥g(x)，需將y=f(x)向左平移，即a>0，當(dāng)y=f(x+a)過(guò)A(12,4)時(shí)，|12則數(shù)形結(jié)合可得需至少將y=f(x)向左平移112個(gè)單位，∴a≥4．【2021年全國(guó)乙卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|x?a|+|x+3|.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥6的解集;（2）若f(x)>?a，求a的取值范圍．【答案】（1）(?∞,?4]∪[2,+∞).（2）(?3（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=|x?1|+|x+3|，|x?1|+|x+3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到1和?3的距離之和，則f(x)≥6表示數(shù)軸上的點(diǎn)到1和?3的距離之和不小于6，當(dāng)x=?4或x=2時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到1，?3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，∴數(shù)軸上到1，?3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是x≤?4或x≥2，所以f(x)≥6的解集為(?∞,?4]∪[2,+∞).（2）依題意f(x)>?a，即|x?a|+|x+3|>?a恒成立，|x?a|+|x+3|=|a?x|+|x+3|≥|a+3|，當(dāng)且僅當(dāng)(a?x)(x+3)≥0時(shí)取等號(hào)，∴f(x)故|a+3|>?a，所以a+3>?a或a+3<a，解得a>?3所以a的取值范圍是(?35．【2020年全國(guó)1卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|3x+1|?2|x?1|．（1）畫(huà)出y=f(x)的圖像；（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．【答案】（1）詳解解析；（2）?∞,?7【解析】（1）因?yàn)閒x=（2）將函數(shù)fx的圖象向左平移1個(gè)單位，可得函數(shù)f由?x?3=5x+1?1，解得所以不等式的解集為?∞,?76．【2020年全國(guó)2卷理科23】已知函數(shù)f(x)=x?（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)?4的解集；（2）若f(x)?4，求a的取值范圍.【答案】（1）xx≤32或x≥112【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，fx當(dāng)x≤3時(shí)，fx=4?x+3?x=7?2x≥4，解得：當(dāng)3<x<4時(shí)，fx當(dāng)x≥4時(shí)，fx=x?4+x?3=2x?7≥4，解得：綜上所述：fx≥4的解集為xx≤（2）fx=x?∴a?12≥4，解得：a≤?1∴a的取值范圍為?∞,?1∪7．【2020年全國(guó)3卷理科23】設(shè)a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥34【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）∵(a+b+c)∴ab+bc+ca=?1∵abc=1,∴a,b,c均不為0，則a2+b（2）不妨設(shè)max{a,b,c}=a由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0，∵a=?b?c,a=1bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取等號(hào)，∴a≥34，即8．【2019年新課標(biāo)3理科23】設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，證明：a≤﹣3或【答案】解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z＝1，由柯西不等式可得（12+12+12）[（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2]≥（x﹣1+y+1+z+1）2＝4，可得（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2≥4即有（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為43（2）證明：由x+y+z＝1，柯西不等式可得（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2]≥（x﹣2+y﹣1+z﹣a）2＝（a+2）2，可得（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥(a+2即有（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2的最小值為(a+2)由題意可得(a+2)解得a≥﹣1或a≤﹣3．9．【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集；（2）當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，f（x）＜0，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），∵f（x）＜0，∴當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈?；綜上，不等式的解集為（﹣∞，1）；（2）當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；當(dāng)a＜1時(shí)，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不滿足題意，∴a的取值范圍為：[1，+∞）10．【2019年新課標(biāo)1理科23】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．證明：（1）1a+1b+1c≤a（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．【答案】證明：（1）分析法：已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．要證（1）1a+1b+1c≤a2+就要證：abca+abcb+abcc≤a即證：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)：a＝b＝c＝1時(shí)取等號(hào)．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得證．故1a+1b+1c≤a（2）證（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．（a+b）為正數(shù)；（b+c）為正數(shù)；（c+a）為正數(shù)；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）；當(dāng)且僅當(dāng)（a+b）＝（b+c）＝（c+a）時(shí)取等號(hào)；即：a＝b＝c＝1時(shí)取等號(hào)；∵a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．（a+b）≥2ab；（b+c）≥2bc；（c+a）≥2ac；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，b＝c；c＝a時(shí)取等號(hào)；即：a＝b＝c＝1時(shí)取等號(hào)；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）≥3×8ab?bc?ac=24abc當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)取等號(hào)；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得證．故得證．11．【2018年新課標(biāo)1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）時(shí)不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|=2，x＞1由f（x）＞1，∴2x＞1?1≤x≤1或2＞1解得x＞1故不等式f（x）＞1的解集為（12（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜2∴a＜∵2x∴0＜a≤2，故a的取值范圍為（0，2]．12．【2018年新課標(biāo)2理科23】設(shè)函數(shù)f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4，x≤?1當(dāng)x≤﹣1時(shí)，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，綜上所述不等式f（x）≥0的解集為[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范圍（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．13．【2018年新課標(biāo)3理科23】設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）畫(huà)出y＝f（x）的圖象；（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．【答案】解：（1）當(dāng)x≤?12時(shí)，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x當(dāng)?12＜x＜1，f（x）＝（2x+1）﹣（x當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，則f（x）=?3x，畫(huà)出y＝f（x）的圖象；（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≤ax+b，當(dāng)x＝0時(shí)，f（0）＝2≤0?a+b，∴b≥2，當(dāng)x＞0時(shí)，要使f（x）≤ax+b恒成立，則函數(shù)f（x）的圖象都在直線y＝ax+b的下方或在直線上，∵f（x）的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分直線的斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值為5．14．【2017年新課標(biāo)1理科23】已知函數(shù)f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝﹣x2+x+4，是開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=1g（x）＝|x+1|+|x﹣1|=2x，x＞1當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，令﹣x2+x+4＝2x，解得x=17?12，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴此時(shí)f（x）≥g（x當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，f（x）單調(diào)遞增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．綜上所述，f（x）≥g（x）的解集為[﹣1，17?1（2）依題意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，則只需12?a?1?2≤0(?1)故a的取值范圍是[﹣1，1]．15．【2017年新課標(biāo)2理科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．證明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．【答案】證明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（a?a5+b?b5）2＝（當(dāng)且僅當(dāng)ab5=ba（2）∵a3+b3＝2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴(a+b)3由均值不等式可得：(a+b)3?23(a+b)=ab∴（a+b）3﹣2≤3(a+b∴14（a+b）3∴a+b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立．16．【2017年新課標(biāo)3理科23】已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍．【答案】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|=?3，x＜?12x?1，?1≤x≤23，x＞2，f∴當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；當(dāng)x＞2時(shí)，3≥1恒成立，故x＞2；綜上，不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥1}．（2）原式等價(jià)于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，設(shè)g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=?x當(dāng)x≤﹣1時(shí)，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=32∴g（x）≤g（32）=?9當(dāng)x≥2時(shí)，g（x）＝﹣x2+x+3，其開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；綜上，g（x）max=5∴m的取值范圍為（﹣∞，5417．【2016年新課標(biāo)1理科24】已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在圖中畫(huà)出y＝f（x）的圖象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x?4，x≤?1由分段函數(shù)的圖象畫(huà)法，可得f（x）的圖象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得當(dāng)x≤﹣1時(shí)，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；當(dāng)﹣1＜x＜32時(shí)，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x即有﹣1＜x＜13或1＜x當(dāng)x≥32時(shí)，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或3綜上可得，x＜13或1＜x＜3或則|f（x）|＞1的解集為（﹣∞，1318．【2016年新課標(biāo)2理科24】已知函數(shù)f（x）＝|x?12|+|x+12|，M為不等式（Ⅰ）求M；（Ⅱ）證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a+b|＜|1+ab|．【答案】解：（I）當(dāng)x＜?12時(shí)，不等式f（x）＜2可化為：12?解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜?當(dāng)?12≤x≤12時(shí)，不等式f（x）＜2可化為：1此時(shí)不等式恒成立，∴?12≤當(dāng)x＞12時(shí)，不等式f（x）＜2可化為：?12+解得：x＜1，∴12＜綜上可得：M＝（﹣1，1）；證明：（Ⅱ）當(dāng)a，b∈M時(shí)，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．19．【2016年新課標(biāo)3理科24】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝|2x﹣1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集為{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x?12|+2|x?a|x?12|+|x?a當(dāng)a≥3時(shí)，成立，當(dāng)a＜3時(shí)，|x?12|+|x?a2|≥1∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范圍是[2，+∞）．20．【2015年新課標(biāo)2理科24】設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b＝c+d，證明：（1）若ab＞cd，則a+（2）a+b＞c+d是|a﹣【答案】證明：（1）由于（a+b）2＝a+b+2（c+d）2＝c+d+2由a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b＝c+d，ab＞cd，則ab＞即有（a+b）2＞（c+則a+（2）①若a+b＞c+d，則（a+即為a+b+2ab＞c+d+2cd由a+b＝c+d，則ab＞cd，于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即為|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，則（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b＝c+d，則ab＞cd，則有（a+b）2＞（c+綜上可得，a+b＞c+d是|a﹣21．【2014年新課標(biāo)1理科24】若a＞0，b＞0，且1a（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并說(shuō)明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且1a∴ab=1a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=2∵a3+b3≥2(ab)3≥223=42，當(dāng)且僅當(dāng)a∴a3+b3的最小值為42．（Ⅱ）∵2a+3b≥22a?3b=26ab，當(dāng)且僅當(dāng)2a而由（1）可知，26ab≥212=4故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．22．【2014年新課標(biāo)2理科24】設(shè)函數(shù)f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．【答案】解：（Ⅰ）證明：∵a＞0，f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|≥|（x+1a）﹣（x﹣a）|＝|a+1a故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）＝|3+1a|+|3﹣∴當(dāng)a＞3時(shí)，不等式即a+1a＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜當(dāng)0＜a≤3時(shí)，不等式即6﹣a+1a＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得綜上可得，a的取值范圍（1+52，23．【2013年新課標(biāo)1理科24】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）設(shè)a＞﹣1，且當(dāng)x∈[?a2，12]時(shí)，f（x）≤g（x【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．設(shè)y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，則y=?5x，x＜結(jié)合圖象可得，y＜0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）．（Ⅱ）設(shè)a＞﹣1，且當(dāng)x∈[?a2，12]時(shí)，f（x）＝1+a，不等式化為1+a故x≥a﹣2對(duì)x∈[?a2，故?a2解得a≤4故a的取值范圍為（﹣1，4324．【2013年新課標(biāo)2理科24】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c＝1，證明：（Ⅰ）ab+bc+ca≤（Ⅱ）a2【答案】證明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由題設(shè)得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤1（Ⅱ）因?yàn)閍2b+b≥2a，b2c+c≥2b故a2b+b2c+c2a+（a+b+c）≥2（a+所以a2模擬好題模擬好題1．已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=4時(shí)，求不等式fx(2)若fx≥a2?【答案】(1)（-3，1）(2)?1≤a≤2【解析】(1)當(dāng)a=4時(shí)，f(x)<6化為2x+4當(dāng)x<?2時(shí)，不等式化為?2x?4?x?1<6，解得當(dāng)?2≤x≤1時(shí)，不等式化為2x+4?x?1<6，解得當(dāng)x>1時(shí)，不等式化為2x+4+x?1<6，無(wú)解，綜上所述：當(dāng)a=4時(shí)，不等式f(x)<6的解集為（—3，1）(2)由fx≥a因?yàn)閨2x+a|+|2x?2|≥|2x+a?2x?2|=|a+2|（當(dāng)且僅當(dāng)2x+a2x?2≤0時(shí)，等號(hào)成立），又因?yàn)楫?dāng)a+2≤0，即a≤?2時(shí)，有a2≤?a?2，即當(dāng)a+2>0，即a>?2時(shí)，有a2≤a+2，田a綜上所述：a的取值范圍為?1≤a≤2..2．已知正數(shù)a，b，c滿足a3(1)求證：0<abc≤1；(2)求證：1ab【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析；(2)證明詳見(jiàn)解析.【解析】(1)證明：∵a3當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)abc=x，∴a3即3x2+x?4≤0∵a，b，c為正數(shù)，∴abc>0，∴0<abc≤1.(2)∵1由（1）可得，0<abc≤1,∴a+b+c∴(1ab+∵a2+b∴(1ab+3．已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x?2|．(1)解不等式f(x)>6；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥x2+m在0,4【答案】(1)?(2)(?【解析】(1)由|x+1|+|x?2|>6得x<?1,?x?1?x+2>6或?1≤x≤2,x+1?x+2>6解得x<?52或x∈?或x>72，(2)由題意知，當(dāng)x∈[0,4]時(shí)，|x+1|+∣x?2|≥x若0≤x<2，則x+1+2?x≥x2+m此時(shí)，?1<?x2+3≤3若2≤x≤4，則x+1+x?2≥x2+m，即m≤?x2+2x?1恒成立，此時(shí)，?x綜上所述，m的取值范圍是(?∞4．已知fx=x?4(1)求實(shí)數(shù)m值；(2)若a+b+c=m3?3【答案】(1)m=3(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)由題意，函數(shù)fx當(dāng)x<?1時(shí)，可得fx=4?x?2x?2+x?1=1?2x，可得當(dāng)?1≤x<1時(shí)，可得fx=4?x+2x+2+x?1=5+2x，可得當(dāng)1≤x<4時(shí)，可得fx=4?x+2x+2+1?x=7，可得當(dāng)x≥4時(shí)，可得fx=x?4+2x+2+1?x=2x?1，可得所以函數(shù)fx的最小值為3(2)解：由m=3，可得a+b+c=m所以4=a+b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=?23時(shí)取等號(hào)，所以5．已知fx=x?2(1)求m的值；(2)若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=m，證明：a2【答案】(1)5(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)fx=當(dāng)且僅當(dāng)?12(2)∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=5a2∴a2+2b26．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且abc=1．證明：(1)a3(2)b6【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)∵a，b，c都為正整數(shù)，且abc=1．∴a3當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)“=”成立．(2)法一：由題意得b①+②+③，得b6當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)“=”成立．法二：由Cauchy不等式，得b6令t=a則b6令gt=t+3+9t+3?6∴gt≥37．已知fx(1)若m=2，求fx(2)若a>0，b>0，c>0，abc=1，對(duì)于?x∈R，a+b2+a+c【答案】(1)x(2)?16,8【解析】(1)若m=2，則fx當(dāng)x≥2，x+4?當(dāng)?4<x<2時(shí)，x+4?2?x<2當(dāng)x≤?4時(shí)?x?4?2?x=?6<2綜上所述：m=2時(shí)，fx<m的解集為(2)由a+b2+a+c又因?yàn)閍bc=1，所以4ab+ac+bc當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，ab=bc=ac時(shí)，即a=b=c=1等號(hào)成立，所以a+b2+a+c因?yàn)?x∈R，a+b2即fx當(dāng)且僅當(dāng)x+4x?m≥0時(shí)等號(hào)成立，解得故實(shí)數(shù)m的取值范圍為?16,8.8．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=2,a=1，求不等式fx(2)當(dāng)m=1時(shí)，證明：fx【答案】(1)?(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)當(dāng)m=2,a=1時(shí)，f(x)=|x+4|+2|x?1|=3x+2,x≥1當(dāng)x≥1時(shí)，fx≤15化為3x+2≤15，解得當(dāng)?4<x<1時(shí)，fx≤15化為6?x≤15，解得當(dāng)x≤?4時(shí)，fx≤15化為?3x?2≤15，解得所以fx≤15的解集為(2)當(dāng)m=1時(shí)，f當(dāng)且僅當(dāng)x+4a與x?1a異號(hào)，且4a=9．已知函數(shù)fx=x+2?m，(1)求m的值；(2)設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a+b+c=m，求3a+1+【答案】(1)1(2)3【解析】(1)由fx≤0，得x+2≤m又fx≤0的解集為所以?m?2=?3m?2=?1，解得m=1(2)由（1）知a+b+c=1由柯西不等式得(3a+1所以(3a+1所以3a+1+當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=3b+1=故3a+1=3b+1=10．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=3時(shí)，求不等式fx(2)若fx?4恒成立，求實(shí)數(shù)【答案】(1){x∣x?1或x?6}(2)?【解析】(1)解：當(dāng)m=3時(shí)，fx當(dāng)x≤52時(shí)，令14?4x≥10，解得當(dāng)52<x<9當(dāng)x≥92時(shí)，令4x?14≥10，解得因此，不等式fx≥10的解集為{x|x≤1或(2)解：因?yàn)閒x?4恒成立，所以因?yàn)閒當(dāng)且僅當(dāng)2m?1≤x≤m所以(m?1)2?4，解得m?3或所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞11．已知函數(shù)fx(1)求不等式fx(2)若方程kx=f(x)存在非零實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)【答案】(1)(?(2)[?4,2)∪(2,4]【解析】(1)由題意f(x)={?2x+6又f(x)≥14，所以{x≤?3?2x+6≥14或{解得x≤?4或x≥10，即不等式f(x)≥14的解集為(?∞(2)由題得方程k|x|=3|x?1|?|x+3|存在非零實(shí)數(shù)根．所以k=3|x?1|?|x+3|又||3當(dāng)且僅當(dāng)(3x?3)(3x又3x≠0，則所以?4≤|3x?3|?|所以?4≤k≤4且k≠2，綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是[?4,2)∪(2,4]．12．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=?1時(shí)，求不等式fx(2)當(dāng)x∈1,2時(shí)，fx≥0【答案】(1)?(2)?【解析】(1)當(dāng)a=?1時(shí)，fx當(dāng)x≤?12時(shí)，fx=?2x?1+2?x=?3x+1<8，解得：當(dāng)?12<x<2時(shí)，fx=2x+1+2?x=x+3<8當(dāng)x≥2時(shí)，fx=2x+1+x?2=3x?1<8，解得：x<3，綜上所述：不等式fx<8的解集為(2)當(dāng)x∈1,2時(shí)，fx=①當(dāng)2x?a≥0時(shí)，2x?a≥a2?x，即a+2∴2?a≥0a+2?3a≥0?a+4≥0②當(dāng)2x?a<0時(shí)，a?2x≥a2?x，即a?2∴a>4a?2?a≥02綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為?∞13．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=?1時(shí)，求不等式fx(2)若關(guān)于x的不等式fx?x?2【答案】(1)7(2)?【解析】(1)由題意得，2x?3+當(dāng)x<32時(shí)，不等式化為3?2x+6?3x<2.解得x>75當(dāng)32≤x≤2時(shí)，不等式化為2x?3+6?3x<2.解得x>1，∴當(dāng)x>2時(shí)，不等式化為2x?3+3x?6<2，解得x<115，∴綜上，不等式fx<2的解集為(2)由題意得，a2∵2x?3+2x?4≥2x?3解得：a≤?1或a≥3，即a的取值范圍是?∞14．已知函數(shù)f(x)=|x?1|?2|x?3|．(1)求不等式f(x)≥?2的解集；(2)若存在x，使不等式a2?a<f(x)+|x?3|成立，求實(shí)數(shù)【答案】(1)5(2)(?1,2)【解析】(1)f(x)=x?5由f(x)≥?2可得x<1時(shí)無(wú)解，1≤x≤3時(shí)，解得：53x>3時(shí)，解得3<x≤7，綜上，解集為53(2)由已知：存在x，使不等式a2即a2又∵|x?1|?|x?3|≤|(x?1)?(x?3)|=2（當(dāng)且僅當(dāng)x≥3時(shí)取“=”號(hào)），∴a2?a<2，∴∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?1,2)．15．已