材料力學(xué)：彎曲應(yīng)力

彎曲應(yīng)力對稱彎曲的概念及計(jì)算簡圖梁的剪力和彎矩?剪力圖和彎矩圖梁橫截面上的正應(yīng)力?梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖梁的合理設(shè)計(jì)一、彎曲的概念4-1對稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡圖

梁：以彎曲變形為主的桿件。1.彎曲變形外力是作用線垂直于桿軸線的平衡力系（有時(shí)還包括力偶）。受力特征：變形特征：梁變形前為直線的軸線，變形后成為曲線。縱向?qū)ΨQ面：包含梁橫截面的一個(gè)對稱軸及其梁軸線的平面稱為縱向?qū)ΨQ面。對稱彎曲：作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，彎曲變形后的軸線是一條在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線，這種彎曲稱為對稱彎曲。二、對稱彎曲AB橫截面的對稱軸梁的軸線縱向?qū)ΨQ面變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)非對稱彎曲

：梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或具有縱向?qū)ΨQ面，

但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)這種彎

曲稱為非對稱彎曲。三、梁的計(jì)算簡圖RH（1）固定端

在梁的計(jì)算簡圖中用梁的軸線代表梁1.支座的簡化RHR（2）固定鉸支座(3)可動(dòng)鉸支座2.工程中常用到的靜定梁懸臂梁外伸梁簡支梁3.幾種超靜定梁lABCqF例題1:計(jì)算懸臂梁的約束力。FqBAlC由平衡方程得：解:

求梁的約束力RA和mR。解得：1m1m1m0.5m3mF=50kNM=5kN.mAECDKB例題2：計(jì)算圖所示多跨靜定梁的約束力。1m1m1m0.5m3mF=50kNM=5kN.mAECDKB再將副梁CB

的兩個(gè)約束力

XC

，YC

反向，并分別加在主梁AC

的C

點(diǎn)處，求出AC

的約束力。分析：先將中間鉸C

拆開，并通過平衡方程求出副梁CB

的約束力。CM=5kN.mDKB1m1m1m0.5m3mP=50kNM=5kN.mAECDKB解：（1）研究CB梁，由平衡方程M=5kN.mDKBF=50kNAEC（2）研究AC梁，由平衡方程aFAB一、梁的剪力（Fs）和彎矩（M

）的定義與計(jì)算§4-2梁的剪力和彎矩?剪力圖和彎矩圖mmx1.用截面法求橫截面上的內(nèi)力Fs用截面法假想地在

橫截面mm處把梁分為兩段，先分析梁左段。xxmAmyCaFABmmx由平衡方程得可得Fs=FAFs

稱為

剪力可得M=FAx由平衡方程FsM內(nèi)力偶M

稱為

彎矩aFABmmxxxmAmyCFsMaFABmmxxxmAmyC梁在彎曲變形時(shí)，橫截面上的內(nèi)力有兩個(gè)，即，結(jié)論剪力Fs彎矩MFsMBmmF取右段梁為研究對象。其上剪力的指向和彎矩的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為研究對象所示相反。MFsxxmAmyCdxmmFsFs+（1）剪力

Fs

的符號使dx微段有

左端向上而右端向下的相對錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面m-m上的剪力為

正。2.Fs

和M

的正負(fù)號的規(guī)定或使

dx

微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的剪力為

正。使dx

微段有

左端向下而右端向上

的相對錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面m-m上的剪力為負(fù)

。dxmmFsFs-或使

dx

微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的剪力為

負(fù)。mm+_當(dāng)

dx

微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉

）時(shí)，橫截面m-m上的彎矩為

正；（2）彎矩符號（受拉）MMmm（受壓）MM當(dāng)

dx

微段的彎曲上凸（即該段的下半部受拉壓）時(shí)，橫截面m-m上的彎矩為為負(fù)。BdEDAabclCF例題3：為圖示梁的計(jì)算簡圖。已知P1、P2，且P2>P1

，尺寸a、b、c和l亦均為已知。試求梁在E、F點(diǎn)處橫截面處的剪力和彎矩。解:BdEDAabclCF解得：BdEDAabclCF記E截面處的剪力為

FsE

和彎矩

ME

。AECBdEDAabclCF假設(shè)

FsE和彎矩ME

均為

正值。解得++BdEDAabclCFAECAECa-cb-ccDl-cBE取右段為研究對象BdEDAabclCF解得：++AECa-cb-ccDl-cBEFdB

計(jì)算F點(diǎn)橫截面處的剪力

FsF和彎矩

MF

。BdEDabclCF-+解得：

例題4：圖示簡支梁受線性變化的分布荷載作用，最大荷載集度為q0

。試計(jì)算梁在C點(diǎn)處橫截面上的剪力和彎矩。lABCa解：求梁的支座力RA

和RBlABCa由平衡方程得：解得：CaA此合力距C點(diǎn)的距離為a/3

在C點(diǎn)處梁上的荷載集度為該梁段上分布荷載的合力為lABCa列出平衡方程CaAlABCa解得當(dāng)時(shí)FsC為正MC恒為正CaAlABCa（1）橫截面上的

剪力

在數(shù)值上等于此橫截面的左側(cè)或右側(cè)

梁段上外力的代數(shù)和。向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起負(fù)值的剪力向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起負(fù)值的剪力求剪力和彎矩的簡便方法左側(cè)

梁段：{右側(cè)梁段：{

（2）橫截面上的彎矩

在數(shù)值上等于此橫截面的左側(cè)或右側(cè)梁段上的外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。不論在截面的左側(cè)或右側(cè)向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩左側(cè)梁段：{右側(cè)梁段：{例題5：軸的計(jì)算簡圖如圖所示，已知P1=

P2=P=60kN

，a=230mm

，b=100mm

和c=1000mm

。求C

、D點(diǎn)處橫截面上的剪力和彎矩。ACDBbac

解：ACDBbac（1）計(jì)算C

橫截面上的剪力

FsC

和彎矩MC

?？醋髠?cè)（2）計(jì)算D

橫截面上的剪力FsD

和彎矩MD?？醋髠?cè)ACDBbac1m2.5m10kN.mABC12解：例題6：求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩C12看左側(cè)1m2.5m10KN.mABC121截面看右側(cè)看左側(cè)C121m2.5m10kN.mABC122截面例題7：求指定截面上的內(nèi)力FsA左，

FsA右，F(xiàn)sD左，F(xiàn)sD右，MD左，

MD右，

FsB左，F(xiàn)sB右。m=3kN.m2m2m4mCADBFAFB解：FA=14.5kN，F(xiàn)B=3.5kN看左側(cè)看右側(cè)計(jì)算FsA左，F(xiàn)sA右，

FsD左，

FsD右m=3kN.m2m2m4mCADBFAFB看右側(cè)看左側(cè)看右側(cè)看左側(cè)計(jì)算MD左，

MD右m=3kN.m2m2m4mCADBFAFB看右側(cè)計(jì)算FsB左，

FsB右m=3kN.m2m2m4mCADBFAFBFs=Fs(x)M=M（x）即：二、剪力方程和彎矩方程·

剪力圖和彎矩圖1.剪力方程和彎矩方程用函數(shù)表達(dá)式表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作剪力方程和彎矩方程。彎矩圖為正值畫在x軸下側(cè)，負(fù)值畫在x

軸上側(cè)2.剪力圖和彎矩圖剪力圖為正值畫在x軸上側(cè)，負(fù)值畫在x

軸下側(cè)繪剪力圖和彎矩圖的最基本方法是，首先分別寫出梁的剪力方程和彎矩方程，然后根據(jù)它們作圖。Fs

圖的坐標(biāo)系xFs(x)oM

圖的坐標(biāo)系xM(x)oAFBl例題8：圖a所示的懸臂梁在自由端受集中荷載F

作用,

試作此梁的剪力圖和彎矩圖。AFBlx解：將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端，寫出梁的剪力方程和

彎矩方程

：FsxFFlxMAFBlx解：求得兩個(gè)約束力ABl例題9：

圖示的簡支梁，在全梁上受集度為q

的均布荷載作用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖。ABl取距左端為x

的任意橫截面。寫出剪力方程和彎矩方程。x剪力圖為一傾斜直線。繪出剪力圖。x=0處，x=l

處，+ABlx彎矩圖為一條二次拋物線,由x=l,M=0ABlx令得駐點(diǎn)彎矩的極值A(chǔ)Blx繪出彎矩圖ABlx+梁跨中截面上的彎矩值為最大但此截面上，F(xiàn)s=0兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對值為最大ABlx++lFABcab解：求梁的約束力例題10:圖示的簡支梁在C點(diǎn)處受集中荷載

F作用。

試作此梁的剪力圖和彎矩圖。因?yàn)锳C

段和CB

段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段寫剪力方程和彎矩方程。lFABcablFABcab將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端

AC段：CB段：xx由（1），（3）兩式可知，AC，CB

兩段梁的剪力圖各是一條平行于x

軸的直線。lFABcabxx+-由（2），（4）式可知，AC，CB

兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線+lFABcabxx在集中荷載作用處的左，右兩側(cè)截面上:剪力值（圖）有突變

,突變

值等于集中荷載F。彎矩圖形成尖角，該處彎矩值最大

，lFABcabxx+-+（2）以集中力、集中力偶作用處，分布荷載開始或結(jié)束處，及支座截面處為界點(diǎn)將梁分段。分段寫出剪力方程和彎矩方程，然后繪出剪力圖和彎矩圖。作剪力圖和彎矩圖的幾條規(guī)律（1）取梁的左端點(diǎn)為座標(biāo)原點(diǎn)，x

軸向右為正；剪力圖向上為正；彎矩圖向下為正。

（3）

梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上，剪力值（圖）有突變，其突變值等于集中力的數(shù)值。在此處彎矩圖則形成一個(gè)尖角。（4）梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩值（圖）也有突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值。但在此處剪力圖沒有變化。

（5）梁上的最大剪力發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處；梁上的最大彎矩發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面，或Fs=0

的截面處。ABF例題11：一簡支梁受移動(dòng)荷載F

的作用如圖所示。試求梁的最大彎矩為極大時(shí)荷載F

的位置。解：先設(shè)

F在距左支座A為x

的任意位置。求此情況下梁的最大彎矩為極大。lABFFAFB荷載在任意位置時(shí)，支座約束力為：C當(dāng)荷載F

在距左支座為x

的任意位置C時(shí)，梁的彎矩值為：令lABFFAFBC此結(jié)果說明：當(dāng)移動(dòng)荷載

F在簡支梁的跨中時(shí)，梁的最大彎矩為極大。得最大彎矩值將x=l/2

代入式例題12：已知q=3kN/m,m=3kN.m，列內(nèi)力方程并畫內(nèi)力圖。ACBDqm2m2m4m解：FA=14.5kN，F(xiàn)B=3.5kNxxFs(x)=-qx=-3x(0

x

2)AD:(2<x

6)ACBDqm2m2m4m(0

x<2)CA:(2

x<6)xxxDB:(6

x<8)(6<x

8)ACBDqm2m2m4m畫剪力圖+--CA:

Fs(x)=-qx=-3xAD:DB:(0

x<2)(2<x

6)(6

x<8)xxxACBDqm2m2m4m6kN8.5kN3.5kNx=4.83m由得14.5-3x=0x=4.83m為彎矩的極值點(diǎn)AD:(2<x

6)(2

x<6)+--xxxACBDqm2m2m4m6kN8.5kN3.5kNx=4.83m畫彎矩圖+-6.04(6<x

8)(2

x<6)(0

x

2)ACBDqm2m2m4m單位:kN.m467三、彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系及其應(yīng)用

1.彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度q=q(x)xyq(x)FMe規(guī)定：q(x)向上為正。將x

軸的坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端。xyq(x)FMexyq(x)FMe假想地用坐標(biāo)為x

和x+dx

的兩橫截面m-m和n-n從梁中取出dx

一段。mmnnq(x)Cxmmnn

dx由于dx

很小，略去q(x)沿dx

的變化。mmnnq(x)Cm-m截面上內(nèi)力為Fs(x)

，M(x)Fs(x)M(x)nn截面處內(nèi)力分別為

Fs(x)+dFs(x),M(x)+dM(x)

。Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)xyq(x)FMexmmnn

dx

Fy=0Fs(x)-[Fs(x)+dFs(x)]+q(x)dx=0得到

寫出平衡方程=q(x)dFs(x)dxmmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)寫出平衡方程略去二階無窮小量即得mmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)得到mmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)公式的幾何意義剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。M(x)

圖為一向下凸的二次拋物線Fs(x)

圖為一向右下方傾斜的直線xFs(x)o2.q(x)、Fs（x）圖、

M（x）圖三者間的關(guān)系（1）梁上有向下的均布荷載，即

q(x)<0M(x)xo（2）梁段上無荷載作用，即

q(x)=0剪力圖為一條水平直線彎矩圖為一斜直線xFs(x)oxoM(x)M(x)ox當(dāng)Fs(x)>0

時(shí)，向右下方傾斜。當(dāng)Fs(x)<0

時(shí)，向右上方傾斜。梁上最大彎矩可能發(fā)生在Fs(x)=0的截面上，或梁段邊界的截面上。最大剪力發(fā)生在全梁或梁段的界面。在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值。彎矩圖的相應(yīng)處形成尖角。在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化。q<0向下的均布荷載無荷載集中力FC集中力偶MeC向下傾斜的直線

或下凸的二次拋物線在Fs=0的截面水平直線+一般斜直線或在C處有突變F在C處有尖角或在剪力突變的截面在C處無變化C在C處有突變Me在緊靠C的某一側(cè)截面一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在截面的可能位置表4-1在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征例題13：一簡支梁受均布荷載作用，其集度q=100kN/m,如圖所示。試用簡易法作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：計(jì)算梁的約束力EqABCD0.21.612FAFB將梁分為AC、CD、DB

三段。AC和DB上無荷載，CD

段有向下的均布荷載。EqABCD0.21.612FAFB+80kN80kNDB段：水平直線CD段：向右下方的斜直線AC段：水平直線

FsA右

=FA=80kN剪力圖EqABCD0.21.612FAFB最大剪力發(fā)生在CD和DB段的任一橫截面上。+80kN80kNEqABCD0.21.612FAFB彎矩圖AC段：向下傾斜的直線CD段：向下凸的二次拋物線+80kN80kNEqABCD0.21.612FAFB其極值點(diǎn)在Fs=0

的中點(diǎn)E處的橫截面上。DB段：向上傾斜的直線

MB=

0+80kN80kNEqABCD0.21.612FAFB+單位：kN.m全梁的最大彎矩梁跨中E點(diǎn)的橫截面上。EqABCD0.21.612

MB=

0161648例題14：作梁的內(nèi)力圖解：支座約束力為3m4mABcDE4m4m將梁分為AC、CD、DB、BE

四段3m4mABcDE4m4m剪力圖AC：向下斜的直線（

）3m4mABcDE4m4m剪力圖CD：向下斜的直線(

)3m4mABcDE4m4m剪力圖DB：水平直線(—）EB：水平直線(—）7kN++-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kN7kN++-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kNFx=5mF點(diǎn)剪力為零,令其距A點(diǎn)為

xx=5m7kN++-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kNFx=5m彎矩圖AC：()（CD：()（7kN++-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kNFx=5m彎矩圖DB：(

)BE：(

)3m4mABcDE4m4m單位：kN.m201620.5+-662.分布荷載集度、剪力和彎矩之間的積分關(guān)系若在x=a

和x=b

處兩個(gè)橫截面A、B間無集中力則等號右邊積分的幾何意義是，上述A，B兩橫截面間分布荷載圖的面積。式中，F(xiàn)sA，F(xiàn)sB分別為在x=a,x

=b兩處各橫截面

A，B

上的剪力。若橫截面A，B

間無集中力偶作用則得式中，MA，MB

分別為在

x=a,x=b

處兩個(gè)橫截面

A

及B上的彎矩。等號右邊積分的幾何意義是，A，B兩個(gè)橫截面間剪力圖的面積。例題15：計(jì)算梁的C、E兩橫截面上的剪力和彎矩。

EqABCD0.21.612PAPB在AC段中q=0

，且FsA右=RA解：EqABCD0.21.612PAPB在CE

段中EqABCD0.21.612PAPB在AC

段中FsC=80kN，剪力圖為矩形，MA

=0+80kN80kN1EqABCD0.21.612PAPB1EqABCD0.21.612PAPB在CE

段中，剪力圖為三角形FsC=80kN，MC=16kN.m+80kN80kN解：支座力為RA=81kN,RB=29kN,mA=96.5kN.m例題16：用簡易法作組合梁的剪力圖和彎矩圖。梁長單位是米(m)

。10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA將梁分為AE，EC，CD，DK，KB五段。剪力圖AE段：水平直線FsA右=FsE左

=RA=81kNED段：水平直線FsE右

=RA-P=31kNDK段：向右下方傾斜的直線FsK=-RB=-29kNKB段：水平直線FsB左=-RB=-29kN+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA剪力圖+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA設(shè)距K

截面為x

的截面上剪力Fs=0

。即x=1.45m彎矩圖+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAxAE，EC，CD

梁段均為向下傾斜的直線=1.45m彎矩圖+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAx=1.45mDK段：向下凸的二次拋物線在Fs=0

的截面上彎矩有極值KB

段：向下傾斜的直線彎矩圖10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA+x=1.45m15.5315534596單位：kN.m10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA+x=1.45m15.5315534596單位：kN.m+81kN31kN29kN中間鉸鏈傳遞剪力（鉸鏈左、右兩側(cè)的剪力相等）；但不傳遞彎矩（鉸鏈處彎矩必為零）。+abcd18kN2kN3m3m6m補(bǔ)充例題：已知簡支梁，的剪力圖作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒有集中力偶作用。CABD14kN+abcd18kN2kN3m3m6mCABD14kN解：畫荷載圖AB段：沒有荷載，在B處有集中力，F(xiàn)=20kN。因?yàn)樗訤(

)F=20kN+abcd18kN2kN3m3m6mCABD14kN解：畫荷載圖F=20kNq=2kNBC

段：無荷載CD段：有均布荷載q(

)+abcd18kN2kN3m3m6mcabd14kN解：畫彎矩圖AB段：向右下傾斜的直線54BC段：向右上傾斜的直線CD段：向下凸的二次拋物線。該段內(nèi)彎矩沒有極值。48+補(bǔ)充例題：已知簡支梁的彎矩圖，作出梁的剪力圖和荷載圖。abcd解：作剪力圖AB段：因?yàn)镸(x)=常量，剪力圖為水平直線，且Fs(x)=0

。40kN.m+abcd2m2m2mBC段：Fs(x)=常量,剪力圖為水平直線CD段：剪力圖為水平直線且

Fs(x)=020kNabcd解：作荷載圖40kN.m+abcd2m2m2m20kNAB段:無荷載,m=40kN.m(

)在A處有集中力偶ABCDmF=20kN(

)B

處有集中力集中力FBC段：無荷載，C處有集中力。集中力:F=20kN(

)CD段：無荷載F四、按疊加原理作彎矩圖當(dāng)梁上受幾項(xiàng)荷載共同作用時(shí)，某一橫截面上的彎矩就等于梁在各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下同一橫截面上彎矩的代數(shù)和。F=ql/3qxl臂梁受集中荷載F

和均布荷載q

共同作用，在距左端為x

的任一橫截面上的彎矩為FxFqxlqxF

單獨(dú)作用q

單獨(dú)作用F，q作用該截面上的彎矩等于F，q

單獨(dú)作用該截面上的彎矩的代數(shù)和FxFqxlqx-++--+-+例題17：圖示一外伸梁，a=425mm,F1、F2

、F3分別為685kN，

575kN，506kN。試按疊加原理作此梁的彎矩圖，求梁的最大彎矩。BCF2F3aDEF1Aaaa解：將梁上荷載分開BCaDEF1Aaaa-291adcbeBCF2F3aDEF1Aaaa+adcbe122BCaDEF2AaaaBCF2F3aDEF1AaaaBCaDEF3AaaaBCF2F3aDEF1Aaaa-adcbe215BCF2F3aDEF1Aaaa-adcbe215+adcbe122-291adcbe291215131-adcbe§4-3平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架的內(nèi)力：剪力，彎矩，軸力ABC平面剛架是由在同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連結(jié)而組成的結(jié)構(gòu)。一、平面剛架的彎矩圖，軸力圖彎矩圖：畫在各桿的受壓一側(cè)，不注明正，負(fù)號。剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在

剛架的外側(cè)）。注明正，負(fù)號。例題：圖示為下端固定的剛架。在其軸線平面內(nèi)受集中力F1和F2作用，作此剛架的彎矩圖和軸力圖。alF1F2ABC解：將剛架分為CB，AB兩段CB段：FN(x)=0M(x)=F1x(0

x

a)CxM(x)alF1F2ABCxFN(x)Fs(x)Fs(x)=F1(+)(0<x

<a)CBaBA段：FN(x)=F1（—）

(0

x

l)M(x)=F1a+F2

x

(0

x

l)xFs(x)Fs(x)=F2(+)(0<x

<l)alF1F2ABCF1FN圖CB段：FN(x)=0BA段：FN(x)=F1（—）alF1F2ABCFs圖CB段：BA段：alF1F2ABCF2++F1Fs(x)=F2(+)Fs(x)=F1(+)M圖CB段：M(x)=F1x(0

x

a)BA段：M(x)=F1a+F2

x

(0

x

l)alF1F2ABCF1aF1aF1a+F2l二、平面曲桿的彎曲內(nèi)力引起拉伸的軸力為正使曲桿的曲率增加（即外側(cè)受拉）的彎矩。產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的剪力為正ooPtn

oCFoR

FNM

FsFoR

+FRM外伸梁彎曲內(nèi)力圖§4-4梁截面上的正應(yīng)力?梁的強(qiáng)度條件當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩

M

，又有剪力

Fs

。mmFsM154只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFs=dA

才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力mmFsmmM

一、純彎曲梁截面上的正應(yīng)力

FFaaCD++FF+Fa簡支梁CD

段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是

純彎曲

。若梁在某段內(nèi)各橫截面上的彎矩為常量

，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲。推導(dǎo)公式時(shí)，要綜合考慮

幾何，物理

和

靜力學(xué)

三方面

。取一純彎曲梁來研究。推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。1.幾何方面以及橫向線相垂直的一系列的縱向線（如aa

，bb等）。mmnnaabb梁在加力前先在其側(cè)面上畫上一系列的橫向線（如mm

，nn等）mm（1）變形前相互平行的縱向直線（aa

，bb等），變形后均為圓弧線（a’a’

，b’b’等)，且靠上部的縮短靠下部的伸長。梁變形后觀察到的現(xiàn)象mmnnaabba’a’b'b'mmmmnnaabb（2）變形前垂直于縱向直線的橫向線（mm,nn等）變形后仍為直線（m’m’,n’n’等），但相對轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且與彎曲后的縱向直線垂直。m’m’n’n’a’a’b'b'平面假設(shè)

：梁在受力彎曲后，原來的橫截面仍為平面，它繞著該橫截面上的某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且仍垂直于梁彎曲后的軸線。由平面假設(shè)可知，在梁彎曲時(shí)，這兩個(gè)橫截面將相對地旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度d

。用兩個(gè)橫截面從梁中假想地截取長為dx

的一段。d

（3）公式推導(dǎo)d

橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)將使梁的凹邊的縱向線段縮短，凸邊的縱向線段伸長。由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向線段O1O2無長度改變。此層稱為中性層

。O1O2的長度為dx

。O1O2dxd

O1O2dx中性軸與橫截面的對稱軸成正交。中性層與橫截面的交線稱為中性軸

。d

O1O2dx中性層中性軸橫截面橫截面的對稱軸d

O1O2dxyZx將梁的軸線取為x

軸。橫截面的對稱軸取為

y

軸。中性軸取為

z

軸。d

O1O2dx作O2B1

與

O1A

平行。在橫截面上取距中性軸為y

處的縱向線

AB。

為中性層上的縱向線段O1O2

變彎后的曲率半徑。

AByB1

d

d

O2B1的長度為y

。yd

O1O2dx

AByB1

d

d

yAB1為變形前AB

的長度B1B

為AB1的伸長量

AB1

為A點(diǎn)的縱向線應(yīng)變。dxd

O1O2dx

AByB1

d

d

中性層的曲率為因?yàn)?/p>

是個(gè)非負(fù)的量于是dxyd

O1O2dx

AByB1

d

d

dxy因而，橫截面上到中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。變

該式說明，

和y

坐標(biāo)成正比,而與中性軸z坐標(biāo)無關(guān)。，dxd

O1O2dx

AByB1

d

d

dxydxxyZOy2.物理方面純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)處的處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉，壓彈性模量相等。由單軸應(yīng)力狀態(tài)下的

胡克定律可得物理關(guān)系假設(shè)：

=E上式為橫截面上

正應(yīng)力變化規(guī)律的表達(dá)式。上式說明，橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離

y

成正比；OxyZy1在距中性軸為y的同一橫線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均相等。yM需要解決的問題如何確定中性軸的位置？如何計(jì)算1/

?中性軸

彎曲正應(yīng)力yZxOM3.靜力學(xué)方面在橫截面上法向內(nèi)力元素

dA

構(gòu)成了空間平行力系。dAZydAdA

1dAyZxOMdAZydAdA

1dA該空間平行力系簡化為x軸方向的主矢對y軸和z

軸主矩因?yàn)樵摿憾问羌儚澢?，因此FN

和My均等于零，而Mz就是上橫截面的彎矩M

。yZxOMdAZydAdA

1dA中性軸必通過橫截面的形心中性軸過截面形心且與橫截面的對稱軸y垂直yyCZCZ中性軸中性軸中性軸將橫截面分為受拉和受壓兩部分。MMyyCZCZ中性軸中性軸拉拉壓壓因?yàn)閥軸是橫截面的對稱軸，所以Iyz

一定為零。該式自動(dòng)滿足中性軸是橫截面的形心主慣性軸EIz稱為截面的彎曲剛度M

橫截面上的彎矩。該式為等直梁純彎曲

時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處正應(yīng)力的計(jì)算公式y(tǒng)

求應(yīng)力點(diǎn)的y

坐標(biāo)。式中：橫截面對中性軸的慣性矩。Iz4.討論

（1）應(yīng)用公式時(shí)，一般將

M，y

以絕對值代入。根據(jù)梁變形

的實(shí)際情況直接判斷

的正，負(fù)號。以中性軸為界

梁變形后凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（

為負(fù)號）梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力（

為正號）（2）橫截面中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力最小。且

min=0MMyyCZCZ中性軸中性軸（3）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處

中性軸為對稱軸ZyCM

tmax

Cmax壓拉用ymax

表示最大拉（壓）應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離。ZyCM

tmax

Cmax壓拉WZ稱為彎曲截面系數(shù)。ZyCM

tmax

Cmax壓拉中性軸是對稱軸的梁橫截面上最大正應(yīng)力的計(jì)算公式為yzhb矩形截面的彎曲截面系數(shù)圓形截面的彎曲截面系數(shù)dyzM矩形截面梁橫截面上正應(yīng)力分部圖zy

對于中性軸不是對稱軸的橫截面M

tmax

Cmax應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離ytmax

和

yCmax

直接代入公式。求得相應(yīng)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。zyM

tmax

CmaxzyM

tmax

Cmax當(dāng)梁上有橫向力作用時(shí)，橫截面上既又彎矩

又有

剪力。梁在此種情況下的彎曲稱為

橫力彎曲。二、純彎曲理論的推廣橫力彎曲

時(shí)，梁的橫截面上既有正應(yīng)力

，又有切應(yīng)力

。切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力純彎曲時(shí)所作的

平面假設(shè)

和

各縱向線段間互不擠壓的假設(shè)都不成立。但工程中常用的梁，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力可以精確的計(jì)算公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力。等直梁橫力彎曲時(shí)，某一橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的位置。三、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在

最大彎矩的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處。該處的切應(yīng)力都等于零，縱截面上由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可略去不計(jì)。因此，可將橫截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，看作

單軸應(yīng)力狀態(tài)

。梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：梁的橫截面上最大工作正應(yīng)力

max

不得超過材料的許用彎曲正應(yīng)力[]

即1.對于中性軸為對稱軸的截面Wz

稱為抗彎截面系數(shù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件為2.對于中性軸不是對稱軸的截面比如鑄鐵等

脆性材料

制成的梁，由于材料的（兩者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上）且梁橫截面的中性軸

一般也不是對稱軸，所以梁的要求梁上最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力分別不超過材料的許用拉應(yīng)力

和

許用壓應(yīng)力

。正應(yīng)力強(qiáng)度條件為可對梁按正應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核3.正應(yīng)力強(qiáng)度條件解決三方面問題（中性軸是對稱軸）（中性軸不是對稱軸）選擇梁的截面確定梁的許可荷載例題：長為l

的矩形截面梁，在自由端作用有集中力F。已知：

h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F(xiàn)=1.5kN。求C

截面上K點(diǎn)的正應(yīng)力。ABCFalyKbhzABCFal解：（+）yKbhzBACP10mz12.556021166a5m例題：圖示簡支梁由

56a工字鋼制成，其橫截面見圖P=

150kN。求(1)梁上的最大正應(yīng)力

max(2)同一截面上翼緣與腹板交界處a

點(diǎn)的應(yīng)力BACP10mz12.556021166a5mRARB解：支座力為+375kN.m作彎矩圖z12.556021166a查型鋼表，56a

工字鋼中間截面為危險(xiǎn)截面。

最大彎矩為+375kN.mz12.556021166a+375kN.m166(1)梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面距中性軸最遠(yuǎn)的上，下邊緣各點(diǎn)處，即(2)危險(xiǎn)截面上a點(diǎn)的正應(yīng)力a點(diǎn)到中性軸的距離為所以a

點(diǎn)的正應(yīng)力為z12.556021166a+375kN.m例題

:跨長l=2m

的鑄鐵梁受力如圖所示。已知材料的拉，壓許用應(yīng)力分別為[

t]=30MPa，[

C]=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求：（1）確定T字形截面梁橫截面的一個(gè)尺寸

。（2）校核梁的強(qiáng)度。AB1m2mP=80kN220y60280z解：AB梁各截面彎矩均為正值，且中間截面是危險(xiǎn)截面。假設(shè)截面形心位置如圖所示，z軸為中性軸。要使截面最合理，必須使同一截面的oz220y60280z已知：oz220y60280z

tmax

Cmaxoz220y60280z

tmax

Cmax以上邊緣為參考邊oz220y60280z

tmax

Cmax12220y60280z12220y60280z(2)校核梁的強(qiáng)度12220y60280zoz220y60280z

tmax

Cmax例題

:一槽形截面鑄鐵梁如圖所示。已知，b=2m，Iz=5493104mm4

，鑄鐵的許用拉應(yīng)力[

t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

C]=90MPa。試求梁的許可荷載[P]。bCbDAPbB-+CB解：彎矩圖如圖所示。最大負(fù)彎矩在B

截面上，最大正彎矩在C

上。bCbDAPbBy202013486120180z40Cy1y2梁的截面圖如圖所示，中性軸到上，下邊緣的距離分別為C截面y202013486120180z40Cy1y2-+CBC截面的強(qiáng)度條件由最的拉應(yīng)力控制y202013486120180z40Cy1y2-+CBB截面y202013486120180z40Cy1y2-+CB取其中較小者，得該梁的許可荷載為10m2.5m75kN75kN75kN2.5m2.5mAB例題

:

圖示梁由工字鋼制成。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[]=152MPa，試選擇工字鋼的號碼。解：梁的最大彎矩為+37528128110m2.5m75kN75kN75kN2.5m2.5mABRARBRA=RB=112.5kN單位:kN.m梁所必需的抗彎截面系數(shù)為由型鋼表查得

56b

號工字鋼的誤差不到1%，故可選用56b號工字鋼。80y1y22020120z例題：T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示。鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為[

t]=30MPa,抗壓許用應(yīng)力為[

C]=160MPa。已知截面對形心軸Z的慣性矩為Iz=763cm4,y1=52mm。校核梁的強(qiáng)度。

P1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1mRARB80y1y22020120z解：P1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1m80y1y22020120z最大正彎矩在截面C上最大負(fù)彎矩在截面B上+-2.5kN4kNCBP1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1m80y1y22020120z+-2.5kN4kNCBP1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1mB截面{80y1y22020120z+-2.5kN4kNCBP1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1mC截面故該梁滿足強(qiáng)度要求例題：由n片薄片組成的梁lFZbh當(dāng)每片間的磨擦力甚小時(shí)，每一薄片就獨(dú)立彎曲lFZbh近似地認(rèn)為每片上承擔(dān)的外力等于每一薄片中的最大正應(yīng)力等于lFZbhlFZbh若用剛度足夠的螺栓將薄片聯(lián)緊，桿就會(huì)象整體梁一樣彎曲最大正應(yīng)力等于圖示一矩形截面梁受任意橫向荷載作用。4-5梁橫截面上的切應(yīng)力?切應(yīng)力強(qiáng)度條件F2F1q(x)一、梁橫截面上的切應(yīng)力1.矩形截面梁mmnnF2F1q(x)mmnnxdx（1）推導(dǎo)公式的思路MM+dMFsFs1假想地用橫截面m—m,

n—n

從梁中截取dx

一段。剪力產(chǎn)生切應(yīng)力。兩橫截面上均有剪力和彎矩。彎矩產(chǎn)生正應(yīng)力，兩橫截面上的彎矩不等

。所以兩截面上到中性軸距離相等的點(diǎn)（用y

表示）其正應(yīng)力也不等。正應(yīng)力（）分布圖mmnnMM+dMFsFsmmnnymnnmohbdxxyz2假想地從梁段上截出體積元素mB1yABA1B1y體積元素mB1在兩端面mA1

,nB1

上兩個(gè)法向內(nèi)力不等。3mnnmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1dxymnnmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1dx4在縱截面AB1上必有沿x

方向的切向內(nèi)力dFs。此面上也就有切應(yīng)力’dFs因?yàn)槲⒃?/p>

dx

的長度很小，所以假設(shè)切應(yīng)力在

AB1

面上均勻分布。ymnnmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1dxdFs根椐切應(yīng)力互等定理，在橫截面的橫線AA1

上也應(yīng)有切應(yīng)力。且橫截面的橫線AA1上各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。由靜力平衡方程，求出dFs。推導(dǎo)公式的步驟1和分別求出橫截面mA1和nB1上正應(yīng)力的合力234dFs

除以AB1

面的面積得縱截面上的切應(yīng)力

。

由此得到橫截面上距中性軸為任意y的點(diǎn)上的切應(yīng)力

。yxzyBmnB1A1AdFsdxb（2）公式推導(dǎo)yxzBmnAB1A1假設(shè)m—m,n—n上的彎矩為M

和M+dM

。兩截面上距中性軸y1

處的正應(yīng)力為

1

和

2。y1dAdFs1求yxzBmnAB1A1y1用A*

記作mA1的面積dFsyxzBmnAB1A1y1Sz*是面積A*對中性軸z的靜矩。同理A*為橫截面距中性軸為y的橫線以外部分mA1

的面積。dFsyxzBmnAB1A1y1dFs2由靜力平衡方程求dFs3求縱截面AB1上的切應(yīng)力’yxzBmnAB1A1y1dFs4橫截面上距中性軸為任意y的點(diǎn)，其切應(yīng)力

的計(jì)算公式。上式為

矩形截面梁對稱彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力計(jì)算公式。ZbyIz—整個(gè)橫截面對中性軸的慣性矩b—矩型截面的寬度Sz*—過求切應(yīng)力的點(diǎn)做與中性軸平行的直線，該線任一邊的橫截面面積對中性軸的靜矩

—其方向與剪力Fs

的方向一致y3.切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律nBmAxyzOy

沿截面高度的變化由靜矩Sz*

與y

之間的關(guān)系確定。nBmAxyzOybh/2A1B1m1y1dy1可見，切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。

處，（即在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)處)，切應(yīng)力等于零y=0處，(

即在中性軸上各點(diǎn)處），切應(yīng)力達(dá)到最大值式中，

A=bh

,為矩形截面的面積。矩形截面切應(yīng)力沿截面高度的變化如圖所示。

maxz截面靜矩的計(jì)算方法AA為截面面積yC為截面的形心坐標(biāo)yC例題：一矩形截面簡支梁。已知l=3m，h=160mm，b=100mm，

h1=40mm，F(xiàn)=3kN，求m—m上K點(diǎn)的切應(yīng)力。l/6ABFFmml/3l/3l/3bhzKh1解：因?yàn)閮啥说闹ёs束力均為F=3kN所以m—m截面的剪力為Fs=3kNl/6ABFFmml/3l/3l/3bhzKh1A*y02.工字形截面梁橫截面腹板上的切應(yīng)力假設(shè)求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離為y。toyhbxdzyFs——距中性軸為

y

的橫線以外部分的橫截面面積對中性軸的靜矩。d

——腹板的厚度ozydxyo(c)zy（2）最大切應(yīng)力也在中性軸上。這也是整個(gè)橫截面上的最大切應(yīng)力。（1）腹板上的切應(yīng)力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化。ozy式中——中性軸任一邊的半個(gè)橫截面面積對中性軸的靜矩。zy3.薄壁環(huán)形截面梁圖式為薄壁環(huán)形梁橫截面截面。環(huán)壁厚度為，環(huán)的平均半徑為r0。（

?r0）zy（1）橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化。（2）切應(yīng)力的方向與圓周相切。假設(shè)：zyA=2r0

為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的切應(yīng)力發(fā)生中性軸上，其值為4.圓截面梁在截面邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力的方向與圓周相切。yzodyzod假設(shè)：（1）沿寬度kk′上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于o′點(diǎn)。（2）各點(diǎn)處切應(yīng)力沿

y

方向的分量沿寬度相等。k′kyo′yzodk′kyo′為圓截面的面積最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上5.等直梁橫截面上最大切應(yīng)力的一般公式對于等直梁，其最大切應(yīng)力

max

一定在最大剪力Fs,max所在的橫截面上，而且一般說是位于該截面的中性軸上。全梁各橫截面中最大切應(yīng)力可統(tǒng)一表達(dá)為b——

橫截面在中性軸處的寬度——全梁的最大剪力——

整個(gè)橫截面對中性軸的慣性矩——中性軸一側(cè)的橫截面面積對中性軸的靜矩例題：圖示簡支梁由56號a工字鋼制成。求梁的最大切應(yīng)力

max和同一截面腹板部分a點(diǎn)處的切應(yīng)力

a，并分析切應(yīng)力沿腹板高度的變化規(guī)律。a1665602112.5zABF5m10m解：作剪力圖75kN75kNa1665602112.5zABF5m10m查型鋼表將代入公式d=12.5mm,,和a1665602112.5za點(diǎn)以外的截面面積對中性軸的靜矩

為a1665602112.5zdthtbz切應(yīng)力的變化規(guī)律應(yīng)與Sz*

的變化規(guī)律相同。y12此式說明

沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化。二、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁除滿足正應(yīng)力強(qiáng)度外，還需滿足切應(yīng)力強(qiáng)度。對于橫力彎曲下的等直梁，其橫截面上一般既有彎矩又有剪力。梁上最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處。而梁上最大的切應(yīng)力發(fā)生在剪力最大的橫截面上中性軸的各點(diǎn)處

。等直梁的最大切應(yīng)力一般在最大剪力所在橫截面的中性軸上各點(diǎn)處，這些點(diǎn)的正應(yīng)力

=0

，略去縱截面上的擠壓力后，最大切應(yīng)力所在的各點(diǎn)均可看作是處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。討論:全梁承受均布荷載的矩形截面簡支梁C,D,E,F,G,H各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。EGHCDFmqlmEGHCDFmqlm在最大彎矩截面上，距中性軸最遠(yuǎn)的C

和D

點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)

；在最大剪力截面上，中性軸上的E,F

點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài);而G,H

點(diǎn)處于一般應(yīng)力狀態(tài)。Fs

圖M

圖㈩EGHCDFmqlmC,D為單軸應(yīng)力狀態(tài)CDFs

圖M

圖㈩EGHCDFmqlmFEE

,F

為純剪切應(yīng)力狀態(tài)Fs

圖M

圖㈩EGHCDFmqlmG

,H

為一般應(yīng)力狀態(tài)GHFs

圖M

圖㈩仿照純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件公式，即梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為式中：[]

為材料在橫力彎曲時(shí)的許用切應(yīng)力。為中性軸任一邊的半個(gè)橫截面面積對中性軸的靜矩在選擇梁的截面時(shí)，通常先按正應(yīng)力選出截面，再按切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。例題：

簡支梁受均布荷載作用，其荷載集度梁的跨長l=3m,橫截面為,許用彎曲正應(yīng),許用切應(yīng)力,校核梁的強(qiáng)度。

力ABq(1)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度校核最大彎矩發(fā)生在跨中截面上，其值為ABq梁橫截面的的抗彎截面系數(shù)為橫截面上的最大正應(yīng)力(2)梁的切應(yīng)力強(qiáng)度校核矩形截面的面積為梁橫截面上的最大切應(yīng)力梁最大的剪力為

所以此木梁是安全的。p例題：一簡易起重設(shè)備如圖a所示。起重量（包含電葫蘆自重）P=30kN。跨長l=5m。吊車大梁AB

由20a工字鋼制成。其許用彎曲正應(yīng)力[]=170MPa，許用彎曲切應(yīng)力[]=100MPa，試校核梁的強(qiáng)度。5mAB解：此吊車梁可簡化為簡支梁p2.5mPC37.5kN.m+力P在梁中間位置時(shí)有最大彎矩。由型鋼表查得20a工字鋼的所以梁的最大正應(yīng)力為(1)正應(yīng)力強(qiáng)度校核(2)切應(yīng)力強(qiáng)度校核在計(jì)算最大切應(yīng)力時(shí)，應(yīng)取荷載P

在緊靠任一支座。例如支座A

處所示，因?yàn)榇藭r(shí)該支座的支反力最大，而梁的最大切應(yīng)力也就最大。5mABP查型鋼表中，20a號工字鋼，有

d=7mm+FsmaxRARB以上兩方面的強(qiáng)度條件都滿足，所以此梁是安全的。據(jù)此校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度例題：一簡支梁受四個(gè)集中荷載P1=120kN，P2=30kN，P3=40kN，P4=12kN。此梁由兩根槽鋼組成，已知梁的許用應(yīng)力

=170MPa，=100MPa。試選擇槽鋼型號。zyo0.60.40.40.32.4ABzyo0.60.40.40.32.4ABRARB解：支座約束力為RA=138kNRB=64kN138181252+55.262.45438.464畫內(nèi)力圖Fs,max=138kNMmax=62.4kN.mFs--(kN)M--(kN.m)（1）由正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件公式，此梁所需要的抗彎截面系數(shù)為138181252+55.262.45438.464Fs--(kN)M--(kN.m)每一槽鋼所需要的抗彎截面系數(shù)為從型鋼表中選用

20a

號槽鋼，其抗彎截面系數(shù)為小于所需

Wz約

3%

。當(dāng)此梁選用兩根20a

號槽鋼時(shí)，梁的最大正應(yīng)力超過許用正應(yīng)力約3%

，在工程上是允許的。（2）校核最大切應(yīng)力2007310011713818125264Fs--(kN)由型鋼表查得20a

號槽鋼的Iz=1780cm4。由此可見，所選的20a

號工字鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件，

因而可用。由于梁是由兩根槽鋼組成，故每一根槽鋼分擔(dān)的最大剪力為例題：對于圖中的吊車大梁，現(xiàn)因移動(dòng)荷載P

增加為50kN，故在20a號工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為120mm10mm而長度2.2mm的鋼板加強(qiáng)，加強(qiáng)段的橫截面尺寸如圖所示。已知許用彎曲正應(yīng)力[]=152MPa,許用切應(yīng)力[]=95MPa。試校核此梁的強(qiáng)度。2.2m200Z22012010解：加強(qiáng)后的梁是階梯狀變截面梁。所以要校核（3）P

移至未加強(qiáng)的梁段在截面變化處的正應(yīng)力（2）P

靠近支座時(shí)支座截面上的切應(yīng)力（1）P位于跨中時(shí)跨中截面上的彎曲正應(yīng)力（1）校核P位于跨中時(shí)截面時(shí)的彎曲正應(yīng)力從型鋼表中查得20a

工字鋼最大彎矩值