第19講平行線分線段成比例（原卷版）-2023年新九年級數(shù)學(xué)暑假課（北師大版）

第19講平行線分線段成比例1.平行線分線段成比例及其推論.2.平行線分線段成比例及其推論的應(yīng)用.一、平行線截線段成比例基本事實：兩條直線被一組平行線(不少于3條)所截，所得的對應(yīng)線段成比例已知如圖，直線l1、l2、l3是一組等距離的平行線，l4、l5是任意畫的兩條直線，分別于這組平行線一下相交于點A，B，C，D，E，F(xiàn)，則比例式成立.要點：(1).對應(yīng)線段成比例可用下面的語言形象表示：等等.（2）有推論可以得出以下結(jié)論：二、把已知線段AB五等分.已知線段AB，請利用尺規(guī)作圖把線段AB五等分.作法以A為端點作一條射線，并在射線上依次截取線段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.連結(jié)A5B，并過點A1，A2，A3，A4分別作A5B的平行線，依次交AB于點B1，B2，B3，B4.則點B1，B2，B3，B4就是所求作的把線段AB五等分的點.依據(jù)：實際上，過點A作l∥A5B，根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實，就可以得到如下關(guān)系式∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,∴點B1，B2，B3，B4把線段AB五等分.要點：在射線上截取等長的線段時使用的作圖工具是圓規(guī),不能使用直尺進行量取,尺規(guī)作圖中的直尺是沒有刻度的,它的用途是畫線或者連線.考點1：A字三角形例1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，則BD的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．【解析】解：，，即，解得：，故選：C．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例2．如圖，在中，點、分別在、上，連接，，則的長為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，代入數(shù)據(jù)即可求解．【解析】解：∵，∴，即，解得，故選：A．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，找準對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．例3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，則EC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)平行線分線段成比例可得，代入計算可得：，即可解EC=2，故選B．例4．如圖，，，，則的長是（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例定理得到，然后利用比例的性質(zhì)可計算出的長．【解析】解：∵，∴，即，∴．故選：B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理．掌握平行線分線段成比例定理是解答本題的關(guān)鍵．例5．如圖，在中，若，，，則的長是______．【答案】【分析】利用平行線分線段成比例定理進行求解即可．【解析】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟知平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．例6．已知：如下圖，，，，，則_______．【答案】8【分析】根據(jù)平行線分線段成比例求出，減去可得結(jié)果．【解析】解：∵，∴，即，∴，∴，故答案為：8．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是能根據(jù)平行線得出正確的比例式．例7．如圖，在中，，，，則______．【答案】/0.6【分析】由平行線分線段成比例性質(zhì)，直接帶入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果．【解析】∵，∴，故答案為．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例．例8．如圖，在中，，則的長為_______．【答案】10【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得，即，求，根據(jù)求即可．【解析】解：∵，∴，即，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．例9．如圖，已知：中，．(1)若，，，求的長；(2)若，，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理,得出，代入數(shù)據(jù)計算即可；（2）利用平行線分線段成比例定理,，代入數(shù)據(jù)得出，根據(jù)即可求解．【解析】（1）∵，∴，∵，，，∴，解得；（2）∵，∴，∵，，，∴，解得；∴．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)題意靈活選擇不同的比例式是解題的關(guān)鍵．考點2：X字三角形例10．如圖，已知，那么（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由平行線分線段成比例定理，得到；利用AO、BO、CO的長度，求出DO的長度即可解決問題．【解析】解：∵AB∥CD，∴；∵AO=2，CO=6，BO=3，∴，解得：DO=4，故選B.【點睛】本題考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握平行線分線段成比例.例11．如圖，在中，點分別在邊的反向延長線上，且．若，，，則的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求解．【解析】解：∵，∴，∵，，，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握相關(guān)定理是解本題的關(guān)鍵．例12．如圖，已知，點D，E分別在邊，的反向延長線上，且．若，，，則AB為(

)A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．【解析】解：∵，∴，∵，，，∴，解得：，故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式是解本題的關(guān)鍵．例13．如圖，，求的長．【答案】8【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得，進而即可求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考常考考點．考點3：類A字三角形例14．如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC邊上，DE∥BC，EF∥AB，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，在兩組平行線里面，通過，，逐項判斷，得出結(jié)論．【解析】∵，∴.∵，∴，∴，∴.故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是找準對應(yīng)線段，準確列出比例式，推理論證．例15．如圖，E是平行四邊形ABCD的BA邊的延長線上的一點，CE交AD于點F，下列各式中，錯誤的是(

).A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，再根據(jù)平行線分線段成比例得到==，用AB等量代換CD，得到==；再利用AF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例得=，由此可判斷A選項中的比例是錯誤的．【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，∴==，而AB=CD，∴==；又∵AF∥BC，∴=．故選A．例16．如圖，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小紅同學(xué)由此得出了以下四個結(jié)論：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正確結(jié)論的個數(shù)為(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】①∵MN∥BC，∴

AN：CN=AM：BM，該項錯誤；②∵DN∥MC，∴

AD：DM=AN：NC，再由（1）得

AD：DM=AM：BM，該項正確；③根據(jù)（1）知，此項正確；④根據(jù)（2）知，此項正確．所以正確的有3個，故選C．點睛：本題考查平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．考點4：類X字三角形例17．如圖，若，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，根據(jù)題意直接列出比例等式，對比選項即可得出答案．解：∵DC∥FE∥AB，∴OD：OE=OC：OF（A錯誤）；OF：OE=OC：OD（B錯誤）；OA：OC=OB：OD（C錯誤）；CD：EF=OD：OE（D正確）．故選D．考點5：A型平行線分線段成比例例18．如圖，已知AB∥CD∥EF，AC＝6，CE＝2，BD＝4，則DF的值為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．【解析】解：∵直線AB∥CD∥EF，AC=6，CE=2，BD=4，∴即，解得DF=．故選：B．【點睛】此題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是解答此題的關(guān)鍵．例19．如圖，已知直線，它們依次交直線、于點A、C、E和點B、D、F，下列比例式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例逐項判斷即可．【解析】∵，∴，，所以A，D，不正確；C正確．B中的線段不是對應(yīng)線段，所以不正確.故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分得的線段中，對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．例20．如圖，，下面等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，，然后根據(jù)比例的性質(zhì)對各選項進行判斷．【解析】解：∵AB//CD//EF，∴，，∴AC?DF=BD?CE；AC?BF=BD?AE；CE?BF=AE?DF．故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．考點6：X型平行線分線段成比例例21．如圖，，AF交BE于點G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進行逐項判斷即可．【解析】解：∵，∴，∵AC＝CG，∴，故A正確，不符合題意；∵，∴，∵AG＝FG，∴BG＝EG，∴BE＝2BG，∵，∴BG＝2DG，∴BE＝4DG，∴，故B錯誤，符合題意；∵，∴，∵BG＝2DG，BE＝4DG，∴DE＝3DG，∴，故C正確，不符合題意；∵，∴，∵DE＝3DG，∴EG＝2DG，∴，故D正確，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理逐一分析四個結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．例22．如圖，直線a∥b∥c，直線l1，l2分別交直線a，b，c于A，B，C和D，E，F(xiàn)，且，DF=15，則DE=（）A．3 B．6 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【解析】解：∵a∥b∥c，∴，∴，∵DF＝15，∴DE＝6，故選B．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點7：由平行線分線段成比例判斷平行或求值例23．已知線段、、，作線段，使，下列每個圖的兩條虛線都是平行線，則正確的作法是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【解析】解：∵，∴，觀察選項可知，選項B符合題意，故選：B．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理，找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例24．已知：，，，則滿足關(guān)系式的圖形是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進行求解即可【解析】解：，即A、∵，∴，即，故此選項不符合題意；B、∵，∴，即，故此選項不符合題意；C、∵，∴，即，故此選項符合題意；D、∵，∴，即，故此選項不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟知平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．考點8：平行線分線段成比例拓展例25．如圖，，與交于點，過點作，交線段于點，則下列各式錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理一一判斷即可．【解析】解：對A、B選項．∵，，∴，∴，，故AB正確，不符合題意；C．∵，，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，而，∴，故D錯誤，不符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．例26．如圖，是的中位線，點F在線段上，，連接交于點E，下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A．根據(jù)中位線性質(zhì)得出，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可判斷A正確；B．根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，，根據(jù)，得出，即可判斷B正確；C．根據(jù)，，即可判斷C錯誤；D．根據(jù)，，即可判斷D正確．【解析】解：A．∵是的中位線，∴，，，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴點E為的中點，∴，，∵，∴，∴，故B正確，不符合題意；C．∵M為的中點，∴，∵，∴，故C錯誤，符合題意；D．∵，，∴，故D正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．例27．如圖，在平行四邊形中，E是上一點，連接并延長交的延長線于點F，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，利用平行線分線段成比例定理逐項進行判斷即可．【解析】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴，∵，∴，故B正確，不符合題意；C．∵，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用平行線分線段成比例定理．例28．已知：在中，點D為上一點，過點D作的平行線交于點E，過點E作的平行線交于點F，連接，交于點K，則下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線分線段成比例，逐一進行判斷即可；【解析】A、∵，∴；選項正確，不符合題意；B、∵，∴；選項正確，不符合題意；C、∵，∴；選項錯誤，符合題意；D、∵，∴；∵，∴；∴；選項正確，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查平行線分線段成比例．熟練掌握平行線分線段對應(yīng)成比例，是解題的關(guān)鍵．例29．如圖，中，為邊上一點，過作交于，為的中點，作交于，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、中點定義及相似三角形對應(yīng)邊成比例逐項判斷即可得到答案．【解析】解：A、，由平行線分線段成比例定理可得，，，，，，即，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項正確，不符合題意；B、，，，，，為的中點，，，故該選項正確，不符合題意；C、，由平行線分線段成比例定理可得，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項正確，不符合題意；D、，由平行線分線段成比例定理可得，，由平行線分線段成比例定理可得，只有當(dāng)為中點時，即時，由于題中并未給出相關(guān)條件，故該選項錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查線段成比例，涉及平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、中點的定義等知識，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，可得再建立方程即可．【解析】解：，，，解得：經(jīng)檢驗符合題意故選C【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，證明“”是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出，即可求解．【解析】解：∵中，，∴，∵∴，故選：A．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應(yīng)線段成比例”．3．（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，直線、與、、分別交于點、、和點、、，若，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AB：BC=DE：EF，再求出答案即可．【解析】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC=DE：EF，∵AB：BC=2：3，EF=9，∴2：3=DE：EF，∴DE=6．故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解題的關(guān)鍵．4．（2020·遼寧營口·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且＝，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到比例式即可解答．【解析】解：∵DE//AB，∴∴的值為．故答案為A．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理確定對應(yīng)比例關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．5．（2020·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可．【解析】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．6．（2019·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D在AC邊上，，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則（

）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【答案】B【分析】過O作BC的平行線交AC與G，由中位線的知識可得出，根據(jù)已知和平行線分線段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底與三角形面積的關(guān)系可求出的比．【解析】解：如圖，過O作，交AC于G，∵O是BD的中點，∴G是DC的中點．又，設(shè)，又，，故選B．【點睛】考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識，難度較大，注意熟練運用中位線定理和三角形面積公式．二、填空題7．（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D是的中點，過點D作，垂足為點E，連接，若，，則________．【答案】3【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再說明DE∥AC，得到，即可求出DE．【解析】解：∵∠ACB=90°，點D為AB中點，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案為：3．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是通過平行得到比例式．8．（2020·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，．若，，則______．【答案】10【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，由條件即可算出DF的值．【解析】解：∵，∴，又∵，，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2018·湖南永州·中考真題）如圖1．在△ABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點G、H分別在BC、AC上，CD是邊AB上的高，CD交GH于點I．若CI＝4，HI＝3，AD．矩形DFGI恰好為正方形．（1）求正方形DFGI的邊長；（2）如圖2，延長AB至P．使得AC＝CP，將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，當(dāng)點G剛好落在CP上時，試判斷移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形，為什么？（3）如圖3，連接DG，將正方形DFGI繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分別與線段DG、DB相交于點M、N，求△MNG′的周長．【答案】（1）2；（2）三角形；（3）4．【分析】(1)由HI∥AD，得到，求出AD即可解決問題；(2)如圖2中，設(shè)點G落在PC時對應(yīng)的點為G′，點F的對應(yīng)的點為F′．求出IG′和BD的長比較即可判定；(3)如圖3中，如圖將△DMI′繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DF′R，此時N、F′、R共線．想辦法證明MN=MI′+NF′，即可解決問題.【解析】(1)∵HI∥AD，∴，∴，∴AD＝6，∴ID＝CD﹣CI＝2，∴正方形的邊長為2；(2)三角形，理由如下：如圖2中，設(shè)點G落在PC時對應(yīng)的點為G′，點F的對應(yīng)的點為F′．∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P，∵HG′∥PA，∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P，∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′，∴IH＝IG′＝DF′＝3，∵IG∥DB，∴，∴，∴DB＝3，∴DB＝DF′＝3，∴點B與點F′重合，∴移動后的矩形與△CBP重疊部分是△BGG′，∴移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形；(3)如圖3中，如圖將△DMI′繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DF′R，此時N、F′、R共線．∵∠MDN＝∠NDF+∠MDI′＝∠NDF′+∠DF′R＝∠NDR＝45°，∵DN＝DN，DM＝DR，∴△NDM≌△NDR，∴MN＝NR＝NF′+RF′＝NF′+MI′，∴△MNG′的周長＝MN+MG′+NG′＝MG′+MI′+NG′+F′R＝2I′G′＝4．【點睛】本題考查的是四邊形綜合題，涉及了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行線等分線段定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．一、單選題1．如圖，在△ABC中，DEBC，若，則等于(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵DEBC，∴，故選C．【點睛】考點：平行線分線段成比例．2．中，直線交于，交于點，那么能推出的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖像證明△ABC∽△ADE即可解題.【解析】解：見下圖,當(dāng)時,∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC,故選C.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),屬于簡單題,作出圖像,熟悉相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.3．如圖，已知：AB、CD相交于點O，由下列哪一組條件可以推出AC∥BD（

）A．， B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)解答即可．【解析】解：由，才能得出AC∥DB，A、=，不能得出AC∥DB，錯誤；B、，不能得出AC∥DB，錯誤；C、∵，∴，∴，又∵∠AOC=∠BOD∴△AOC∽△BOD∴∠C=∠D∴AC∥DB，正確；D、，不能得出AC∥DB，錯誤；故選：C．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知直線a//b//c，直線m分別交直線a，b，c于點A，B，C；直線n分別交直線a，b，c于點D，E，F(xiàn).若，則＝()A． B． C． D．1【答案】A【分析】先由得出，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【解析】解：∵，∴，∵a∥b∥c，∴．故選：A．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．5．如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，BE的延長線交AD于點G，且，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】C【分析】根據(jù)，可得＝，，即可判斷ABC選項，根據(jù)，可得△AFD∽△CFH，根據(jù)平行線分線段成比例可得＝，即可判斷D選項．【解析】解：∵，∴∴＝，，∴A選項結(jié)論正確，不符合題意；C選項結(jié)論錯誤，符合題意；B選項結(jié)論正確，不符合題意；∵，∴＝，D選項結(jié)論正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，找出對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．6．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點D、E、F，AC與DF相交于點H，且AH=2，HB=1，BC=5，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由題意易得AB=3，然后根據(jù)平行線所截線段成比例直接求解即可．【解析】解：AH=2，HB=1，BC=5，AB=3，，；故選A．【點睛】本題主要考查平行線所截線段成比例，熟練掌握平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．7．如圖，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線所截線段成比例直接判斷即可．【解析】如圖：，只有B選項符合，A、C、D都錯誤．故選B．【點睛】本題主要考查平行線所截線段成比例，關(guān)鍵是根據(jù)題意及結(jié)合圖形得到相應(yīng)線段成比例即可．8．如圖，在中，，兩邊上的中線，相交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因為BE、CD是△ABC中的兩條中線，可知DE是△ABC的中位線，于是，，根據(jù)，可得出，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵BE、CD是△ABC中的兩條中線，∴DE是△ABC的中位線，∴，DE=BC，∴，∴，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查的是三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，根據(jù)題意得出，是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，，，已知，則的長是A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】由于D、E、F和G、H、I分別是AB、AC的四等分點，則DG∥EH∥FI，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例關(guān)系，由此可求出DG+EH+FI的長．【解析】∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，∴DG∥EH∥FI；∴，即DG=BC；同理可得：EH=BC，F(xiàn)I=BC；∴DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3；故選B．【點睛】此題主要考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用．10．在中，D．F．E分別在邊BC．AB．AC上一點，連接BE交FD于點G，若四邊形AFDE是平行四邊形，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)四邊形AFDE是平行四邊形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，利用平行線分線段成比例定理，分別找出對應(yīng)線段即可得到結(jié)論．【解析】解：∵四邊形AFDE是平行四邊形，∴DF∥AC，DE∥AB．∴．故A錯誤；∵DE∥AB，∴．故B正確；∵DF∥AC，∴，．∴．故C正確；∵DF∥AC，DE∥AB，∴，．∴．故D正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了平分線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例定理并能準確找出成比例的對應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，已知，、交于點，若，則______．【答案】【分析】由AE∥BC可知△AED∽△CBD，從而可求得＝，然后即可求得的值．【解析】解：∵AE∥BC，∴△AED∽△CBD，∴，∴＝，∴＝，故答案為【點睛】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知，則______，______，______，______．【答案】或【分析】根據(jù)，可知AC∥EF∥BD，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可.【解析】∵，∴AC∥EF∥BD，∴，，，或.故答案為，，，或.【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例.13．如圖，，如果，那么________．

【答案】12【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，分別求出AE、GC的長，計算即可．【解析】∵DE∥FG∥BC，∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，∵EG=4，，．故答案為：12．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，是中線，是重心，過點作，分別交、于點、，若，則____________．【答案】12【分析】如圖，運用平行線分線段成比例定理列出比例式：，根據(jù)AC=18，求出AF即可解決問題．【解析】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2DG，AD=3DG；∵EF∥BC，∴，∵AC=18，∴AF=12．故答案為12．【點睛】該題主要考查了三角形重心的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；牢固掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖，的中線、交于點，點在邊上，，那么的值是__________.【答案】【分析】根據(jù)三角形的重心和平行線分線段成比例解答即可．【解析】∵△ABC的中線AD、CE交于點G，∴G是△ABC的重心，∴，∵GF∥BC，∴，∵DC=BC，∴，故答案為：.【點睛】此題考查三角形重心問題以及平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心得出比例關(guān)系．16．如圖，△ABC的兩條中線AD，BE交于點G，EF∥BC交AD于點F．若FG＝1，則AD＝_____．【答案】6【分析】利用平行線分線段長比例定理得到=1，即AF=FD，所以EF為△ADC的中位線，則EF=CD=BD，再利用EF∥BD得到，所以DG=2FG=2，然后計算FD，從而得到AD的長．【解析】解：∵△ABC的兩條中線AD，BE交于點G，∴BD＝CD，AE＝CE，∵EF∥CD，∴＝1，即AF＝FD，∴EF為△ADC的中位線，∴EF＝CD，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴，∴DG＝2FG＝2，∴FD＝2+1＝3，∴AD＝2FD＝6．故答案為：6．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．也考查了三角形中位線性質(zhì)和平行線分線段成比例定理．17．如圖所示，AB∥CD∥EF，AC與BD相交于點E，若CE=4，CF=3，AE=BC，則的值是_____．【答案】【分析】先利用AB∥EF得到，求得AE=12，然后利用AB∥CD，根據(jù)定理可即求出的值．【解析】∵AB∥EF，∴，∵CE=4，CF=3，AE=BC，∴，解得AE=12，∵AB∥CD，∴．故答案為.【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.18．如圖，在中，為邊上的中線，是的角平分線，交于點F．則的長為______．【答案】【分析】過點E作EG⊥AB，垂足為G，證明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的長，過點F作FO⊥AC，垂足為O，利用平行線分線段成比例定理求解即可．【解析】∵∴AB==10，過點E作EG⊥AB，垂足為G，∵是的角平分線，∴∠CBE=∠GBE，∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，∴△CBE≌△GBE，∴BC=BG=6，EC=EG，設(shè)CE=x，則EG=x，AE=8x,AG=ABBG=4,在直角三角形AEG中，根據(jù)勾股定理，得，即，解得x=3，∴CE=3，AE=5，過點F作FO⊥AC，垂足為O，，∴FO∥BC，∴，∴即FO=2OE，∵AD是中線，BC=6，∴CD=3，∵FO∥DC，∴，∴，解得OE=，在直角三角形OEF中，，∴EF==．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形全等，平行線分線段成比例定理，中線，角的平分線，構(gòu)造輔助線實施全等證明，平行線分線段成比例證明是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別與AB、AC交于點D、E，若AE：EC=2：3，DBAD=3，求AD和DB的長．【答案】AD和DB的長分別為6和9【分析】首先由在△ABC中，DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得AE：EC=2：3=AD：BD，設(shè)AD=2k，BD=3k，再根據(jù)DBAD=3，可得AD和DB的值．【解析】解：∵DE∥BC∴AE：EC=2：3=AD：BD設(shè)AD=2k，BD=3k，則k=3∴AD=6，BD=9【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意線段的對應(yīng)關(guān)系．20．已知，如圖，在中，，求證：

(1)(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)成比例線段的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)成比例線段的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）證明：∵∴∴；（2）證明：∵∴，∴．【點睛】此題考查了成比例線段，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段成比例的性質(zhì)．21．在中，點、分別在邊、上，根據(jù)下列條件，試判斷與是否平行．(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，．【答案】(1)平行(2)平行(3)不平行(4)平行【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例判斷即可；（2）同（1）圖，根據(jù)平行線分線段成比例判斷即可；（3）同（1）圖，根據(jù)平行線分線段成比例判斷即可；（4）根據(jù)題意得出，，根據(jù)平行線分線段成比例判斷即可．【解析】（1）解：如圖所示：

∵，∴；（2），，∴；（3），，∴不相等，不平行；（4）∵，，∴，，∴，∴．【點睛】考查三角形一邊平行線判定定理的內(nèi)容，根據(jù)比例性質(zhì)進行相關(guān)變形應(yīng)用是解題關(guān)鍵．22．如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若，求的值．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式，代入計算即可．【解析】解：∵，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理內(nèi)容是關(guān)鍵：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．23．如圖，為平行四邊形的對角線上一點，，的延長線交的延長線于點，交于點，求的值．

【答案】【分析】由，可得，即，得出，由，可得：．【解析】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，即，∴，∵，∴．【