專題05直接開平方法配方法公式法解一元二次方程（重點(diǎn)突圍）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）

專題05直接開平方法、配方法、公式法解一元二次方程考點(diǎn)一直接開平方法解一元二次方程考點(diǎn)二配方法解一元二次方程考點(diǎn)三配方法的應(yīng)用考點(diǎn)四根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況考點(diǎn)五根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)考點(diǎn)六公式法解一元二次方程考點(diǎn)一直接開平方法解一元二次方程例題：（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）解方程：（1）x(x+5)=x4（2）4（x﹣1）2＝9．(3)；(4)100（x－1）2＝121．【答案】（1）；（2）x＝或x＝﹣；(3)，；(4)x1＝，x2＝－【解析】【分析】把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后選取適當(dāng)?shù)姆椒纯汕蠼猓驹斀狻拷猓海?），，，．（2）4（x﹣1）2＝9，則（x﹣1）2＝，故x﹣1＝±，解得：x＝或x＝﹣．(3)移項(xiàng)得：，開平方得：，解得：，；(4)解∶（x－1）2＝，x－1＝±，即x1＝，x2＝－．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）方程的解是_______．【答案】【解析】【分析】先移項(xiàng)化為，再利用直接開平方的方法解方程即可.【詳解】解：即或故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接開平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵.2．（2022·全國·九年級(jí)）將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成

，定義

＝ad﹣bc，上述記號(hào)就叫做2階行列式．若，則x＝___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中已知的新定義列出式子，然后化簡(jiǎn)得到關(guān)于x的一元二次方程，開方即可求出x的值．【詳解】解：∵，∴，∴x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，∴，∴，∴x＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的運(yùn)用以及解一元二次方程，理解并運(yùn)用新定義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二配方法解一元二次方程例題：（2022·河南安陽·九年級(jí)期末）解下列方程：(1)；(2)【答案】(1)，；(2)【解析】【分析】（1）先移項(xiàng)，然后配方，再開平方，求出方程的解即可；（2）先移項(xiàng)，然后分解因式，最后求出方程的解即可．(1)解：，移項(xiàng)得：，配方得：，即，開平方得：，∴，．(2)，，，，，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟練進(jìn)行配方和因式分解，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室九年級(jí)期末）用配方法解一元二次方程，變形后的結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先將二次項(xiàng)配成完全平方式，再將常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)，即得答案．【詳解】解：∵，∴，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．2.（2022·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）解方程：．【答案】,【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程．【詳解】解：x2+4x=8，x2+4x+4=8+4，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查利用配方法解一元二次方程，解決問題的關(guān)鍵是降次．考點(diǎn)三配方法的應(yīng)用例題：（2022·全國·九年級(jí)）當(dāng)a＝_____時(shí)，多項(xiàng)式a2+2a+2有最小值為_____．【答案】

1

1【解析】【分析】利用配方法將多項(xiàng)式a2+2a+2，轉(zhuǎn)化為（a+1）2+1，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵a2+2a+2＝（a+1）2+1，∴當(dāng)a＝﹣1時(shí)，多項(xiàng)式a2+2a+2有最小值，最小值是1．故答案為：﹣1，1．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．【變式訓(xùn)練】1．（2021·四川·成都新津?yàn)槊鲗W(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）代數(shù)式的最小值是_______．【答案】##0.25【解析】【分析】利用配方法得到：．利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)作答．【詳解】解：因?yàn)椤?，所以當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式的最小值是，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．2．（2022·云南昆明·一模）我們可以用以下方法求代數(shù)式的最小值．∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值．請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時(shí)x的值；(3)求證：無論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．【答案】(1)2(2)當(dāng)時(shí)，有最大值(3)證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給方法進(jìn)行求解即可；（2）由題中所給方法可得，然后問題可求解；（3）由題意可得，進(jìn)而問題可求解．(1)解：由題意得：，∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值．(2)解：由題意得：，∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最大值．(3)解：由題意得：==；∵∴，∴無論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法的應(yīng)用及完全平方公式，熟練掌握配方法及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況例題：（2022·云南·昆明八中模擬預(yù)測(cè)）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程跟的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．選項(xiàng)實(shí)數(shù)根為，故該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；B．選項(xiàng)實(shí)數(shù)根為和，故該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；C．選項(xiàng)依題意得：，則，故該一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；D．選項(xiàng)實(shí)數(shù)根為，故該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，時(shí)一元二次方程有實(shí)數(shù)根．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北荊州·中考真題）關(guān)于x的方程實(shí)數(shù)根的情況，下列判斷正確的是（

）A．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根的判別式直接判斷即可得出答案．【詳解】解：對(duì)于關(guān)于x的方程，∵，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．2．（2022·福建省福州外國語學(xué)校八年級(jí)期末）已知兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，其中．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．若方程M有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則方程N(yùn)也有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根C．若5是方程M的一個(gè)根，則是方程N(yùn)的一個(gè)根D．若方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，則這個(gè)根一定是【答案】D【解析】【分析】利用根的判別式判斷A；利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷B；利用一元二次方程的解的定義判斷C與D．【詳解】解：A、如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么△=b24ac=0，所以方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論正確，不符合題意；B、若方程M有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，那么△=b24ac>0，<0，所以a與c符號(hào)相反，<0，所以方程N(yùn)也有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，結(jié)論正確，不符合題意；C、如果5是方程M的一個(gè)根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時(shí)除以25，得c+b+a=0，所以是方程N(yùn)的一個(gè)根，結(jié)論正確，不符合題意；D、如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（ac）x2=ac，由a≠c，得x2=1，x=±1，結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b24ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根，以及根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解等知識(shí)，掌握它們是關(guān)鍵．考點(diǎn)五根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)例題：（2022年湖南省岳陽市中考數(shù)學(xué)真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式求出的取值即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖南·邵陽縣教育科學(xué)研究室模擬預(yù)測(cè)）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為_______．【答案】12或16【解析】【分析】分6為等腰三角形的腰長(zhǎng)和6為等腰三角形的底邊長(zhǎng)兩種情況，再利用一元二次方程根的定義、根的判別式求解即可得．其中，每種情況下都要根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理（兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)是否滿足三角形的三邊關(guān)系．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)6為等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí)，則關(guān)于x的方程x2?8x+m=0的一個(gè)根x1=6代入方程得，3648+m=0解得m=12則方程為x2?8x+12=0解方程，得另一個(gè)根為x2=2∴等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為6，6，2，經(jīng)檢驗(yàn)滿足三角形的三邊關(guān)系定理；（2）當(dāng)6為等腰三角形的底邊長(zhǎng)時(shí)，則關(guān)于x的方程x2?8x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴根的判別式解得，m=16則方程為x2?8x+16=0解方程，得x1=x2=4∴等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，4，6，經(jīng)檢驗(yàn)滿足三角形的三邊關(guān)系定理．綜上，m的值為12或16．故答案為：12或16．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的定義，根的判別式，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)．正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．2．（2022·遼寧本溪·三模）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____．【答案】且【解析】【分析】由關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，知△且，解之即可．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，△且，解得且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式和一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：①當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．千萬要注意一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)非零．考點(diǎn)六公式法解一元二次方程例題：（2022·云南·九年級(jí)期末）按要求解方程．(1)2x25x+1＝0(公式法)(2)．（公式法）【答案】(1)x1＝，x2＝；(2)，【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法，可得方程的解；（2）先計(jì)算根的判別式，再利用公式法解方程即可．(1)解：∵a＝2，b＝5，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝(5)24×2×1＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝．(2)解：則解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法與公式法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022·重慶市育才中學(xué)八年級(jí)期中）解方程：(1)；(2)【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．（1），，，，，，，，(2)解：方程中的，，則，故．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解題關(guān)鍵．2.（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程是一元二次方程．(1)求m的值；(2)解這個(gè)一元二次方程．【答案】(1)1(2)，【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義求解即可，一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可．(1)關(guān)于x的方程是一元二次方程，解得(2)方程為，即，，解得，【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解一元二次方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·河南許昌·九年級(jí)期末）用配方法解方程時(shí)，配方結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)完全平方差公式即可求解．【詳解】解：，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握用完全平方差公式進(jìn)行配方過程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣西·藤縣教學(xué)研究室八年級(jí)期中）下列方程中，無解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直接開平方法解一元二次方程，一元二次方程根的判別式逐個(gè)檢驗(yàn)即可求解．【詳解】解：A.，，，故該選項(xiàng)有解，不符合題意；B.，，，故該選項(xiàng)有解，不符合題意；C.，，故該選項(xiàng)有解，不符合題意；D.，，，故該選項(xiàng)無解，符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．3．（2022·廣西防城港·九年級(jí)期末）如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序，則輸入的值為（

）A． B． C．3或 D．2或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)運(yùn)算程序可知，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意可知∴解得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于列出一元二次方程．4．（2022·河北廊坊·二模）已知關(guān)于的一元二次方程有解，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定義以及△的意義得到k1≠0且△≥0，即4+4（k1）≥0，然后解不等式組即可得到k的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴k1≠0且△≥0，即k1≠0且4+4（k1）≥0，解得且k≠1．故選D【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式Δ=b24ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定義．二、填空題5．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室八年級(jí)期中）關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)沒有實(shí)數(shù)解可得m+1<0，解之即可．【詳解】∵無實(shí)數(shù)解，∴m+1<0，解得故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查直接開平方法解一元二次方程及平方根的概念，解題關(guān)鍵是知道負(fù)數(shù)沒有平方根．6．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為－1，則m的值是______．【答案】1或1【解析】【分析】將x=1代入方程,解關(guān)于m方程即可．【詳解】解：將x=1代入方程得到,解得m=1或1．故答案為：1或1．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解，已知方程的解時(shí)應(yīng)將解代入方程求某字母系數(shù)的值．7．（2022年上海市松江區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么的值是____________．【答案】2【解析】【分析】先把方程化成一元二次方程一般式，然后利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．8．（2022·四川涼山·中考真題）已知實(shí)數(shù)a、b滿足a－b2＝4，則代數(shù)式a2－3b2＋a－14的最小值是________．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)a－b2＝4得出，代入代數(shù)式a2－3b2＋a－14中，通過計(jì)算即可得到答案．【詳解】∵a－b2＝4∴將代入a2－3b2＋a－14中得：∵∴當(dāng)a=4時(shí)，取得最小值為6∴的最小值為6∵∴的最小值6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握代數(shù)式的性質(zhì)，從而完成求解．三、解答題9．（2021·河北保定·九年級(jí)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可．(1)解：方程兩邊同除以2得：開方得：∴(2)解：移項(xiàng)得：配方得：化簡(jiǎn)得：開方得：∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2020·全國·九年級(jí)期中）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)x1=，x2=(2)x1=，x2=(3)x1=x2=(4)方程無解【解析】【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可；（3）用直接開平方法求解即可；（4）用公式法求解即可．(1)解：，2x2+8x1=0，∵Δ==72>0，∴x=，∴x1=，x2=；(2)解：，3x211x+9=0，∵Δ=>0，∴x=∴x1=，x2=；(3)解：，(2x+1)2=02x+1=0，∴x1=x2=；(4)解：，∵Δ=(6)24×1×10＝4<0，∴方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用直接開方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022·全國·九年級(jí)）（1）請(qǐng)用配方法解方程；（2）請(qǐng)用配方法解一元二次方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫成完全平方式，最后再直接開平方；（2）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫成完全平方式，最后再直接開平方；【詳解】解：（1）兩邊同時(shí)除以2得：，移項(xiàng)得：，兩邊同時(shí)加上得：，配方得：，解得：；（2）兩邊同時(shí)除以得：，移項(xiàng)得：，兩邊同時(shí)加上得：，配方得：，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，該方程無實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題主要考查用配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確運(yùn)用，在含字母參數(shù)時(shí)要注意是否需要分類討論．12．（2022·全國·九年級(jí)）下面是聰聰同學(xué)解一元二次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．．解：，…………………第一步，……………第二步，即，………………第三步，………………第四步．………………第五步(1)任務(wù)一：填空：①以上解方程的步驟中，第______步利用完全平方公式配方．②第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是______．(2)任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該一元二次方程的正確解．(3)任務(wù)三：除上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，寫出一條利用配方法解一元二次方程時(shí)要注意的事項(xiàng)．【答案】(1)①三；②四，開平方時(shí)有兩個(gè)平方根，過程中只寫出了一個(gè)；(2)，；(3)答案不唯一，如移項(xiàng)要變號(hào)．【解析】【分析】（1）①根據(jù)完全平方公式即可得出答案，②由一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，從而得出答案；（2）根據(jù)配方法求解一元二次方程即可得出答案；（3）根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟即可得出配方時(shí)的注意事項(xiàng)．(1)解：①由完全平方公式可得，，第三步利用完全平方公式配方；②一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，過程中只寫出了一個(gè)平方根，第四步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是開平方時(shí)有兩個(gè)平方根，過程中只寫出了一個(gè)；故答案為：①三；②四，開平方時(shí)有兩個(gè)平方根，過程中只寫出了一個(gè)；(2)解：．，，，即，，，，(3)解：因?yàn)槔门浞椒ㄇ蠼庖辉畏匠痰牟襟E為：①把原方程化為一般形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；.⑤進(jìn)一步通過直接開平方法求出方程的解，如果右邊是非負(fù)數(shù)，則方程有兩個(gè)實(shí)根；如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則方程有一對(duì)共軛虛根．所以利用配方法解一元二次方程時(shí)要注意的事項(xiàng)不唯一，可以是移項(xiàng)時(shí)要變號(hào)，也可以是開平方時(shí)有兩個(gè)平方根等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．13．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2＝﹣4(1)如果方程的根的判別式的值為4，求k的值；(2)如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)k≤2且k≠1【解析】【分析】（1）先把方程化為一般式，再根據(jù)根的判別式的定義得到Δ=（4）24（k1）×4=4，然后解關(guān)于k的方程即可；（2）利用判別式的意義得到k1≠0且Δ=（4）24（k1）×4≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．(1)方程化為：（k1）x24x+4=0，根據(jù)題意得Δ=（4）24（k1）×4=4，解得k=；(2)根據(jù)題意得：k1≠0且Δ=（4）24（k1）×4≥0，解得k≤2且k≠1，即k的取值范圍為k≤2且k≠1．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b24ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．14．（2020·全國·九年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若m為整數(shù)，當(dāng)此方程有兩個(gè)互不相等的負(fù)整數(shù)根時(shí)，求m的值；【答案】(1)見解析(2)1【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）先求出方程的兩根為x1＝，x2＝﹣1．再根據(jù)題意方程有兩個(gè)互不相等的負(fù)整數(shù)根，可得＜0．從而得到0＜m＜4．再由m為整數(shù)，且，可得m＝1或2．即可求解．(1)解：根據(jù)題意得∶△＝42﹣4m（4﹣m）＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0，∴無論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)根；(2)解∶∵，∴x1＝＝，x2＝＝﹣1．∵方程有兩個(gè)互不相等的負(fù)整數(shù)根，∴＜0．∴或，∴0＜m＜4．∵m為整數(shù)，且，∴m＝1或2．當(dāng)m＝1時(shí)，x1＝＝﹣3≠x2，符合題意；當(dāng)m＝2時(shí)，x1＝＝﹣1＝x2，不符合題意；∴m＝1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程解的情況求參數(shù)，熟練掌握一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．15．（2022·河南漯河·九年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)當(dāng)k取滿足條件的最小整數(shù)時(shí)，求出方程的根．【答案】(1)且(2)，【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式Δ＞0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍；（2）依照題意，找出k值，進(jìn)而可得出原方程，解之即可得出結(jié)論．(1)∵關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x22kx+k2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：k＞2且k≠1，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＞2且k≠1．(2)∵k＞2且k≠1，∴滿足條件的k的最小整數(shù)值為0，此時(shí)原方程為x22=0，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式Δ＞0，找出關(guān)于k的一元一次不等式組；（2）根據(jù)題意，確定k的值．16．（2022·安徽·馬鞍山中加雙語學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程：．(1)求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若等腰的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）先計(jì)算，化簡(jiǎn)得到，易得，然后根據(jù)的意義即可得到結(jié)論；（2）利用求根公式計(jì)算出方程的兩根，，則可設(shè)，，然后討論：當(dāng)、為腰；當(dāng)、為腰，分別求出邊長(zhǎng)，但要滿足三角形三邊的關(guān)系，最后計(jì)算周長(zhǎng)．(1)證明：，無論取什么實(shí)數(shù)值，，，無論取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)解：，，，，恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，，當(dāng)、為腰，則，即，解得，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)；當(dāng)、為腰時(shí)，，此時(shí)，故此種情況不存在．綜上所述，的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．17．（2022·全國·九年級(jí)）我們知道“a2≥0”，其中a表示任何有理數(shù)，也可表示任意代數(shù)式．有時(shí)我們通過將某些代數(shù)式配成完全平方式進(jìn)行恒等變形來解決符號(hào)判斷、大小比較等問題，簡(jiǎn)稱“配方法”．例如：x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝（x＋1）2＋1∵（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋1≥1．即：x2＋2x＋2≥1試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q以下問題：(1)填空：x2﹣2x＋4＝（A）2＋B，則代數(shù)式A＝，常數(shù)