數(shù)學北師大版 九年級上冊 第二章 一元二次方程：《用因式分解法求解一元二次方程》教案（含答案）

數(shù)學北師大版九年級上冊第二章一元二次方程：《用因式分解法求解一元二次方程》教案（含答案）課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、設計思路本節(jié)課旨在讓學生掌握用因式分解法求解一元二次方程的方法，通過引導學生觀察、分析、歸納，培養(yǎng)學生解決問題的能力。課程設計以課本內容為基礎，結合九年級學生的認知水平，按照以下步驟展開：

1.回顧一元二次方程的定義及標準形式，鞏固基礎知識。

2.通過實例引入因式分解法，引導學生理解其原理。

3.逐步講解因式分解法的解題步驟，使學生掌握方法。

4.安排練習題，讓學生在實際操作中熟練運用因式分解法。

5.總結課堂內容，布置課后作業(yè)，鞏固所學知識。二、核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生邏輯思維能力和數(shù)學抽象能力，通過因式分解法求解一元二次方程的過程，提升學生分析問題和解決問題的能力。

2.增強學生數(shù)學運算技能，提高解題效率。

3.培養(yǎng)學生獨立思考和合作交流的能力，鼓勵學生在小組討論中分享解題策略和思路。

4.增強學生數(shù)學學習的興趣和自信心，通過解決實際問題感受數(shù)學的應用價值。三、學習者分析1.學生已經掌握了關于一元一次方程的解法，了解方程的基本概念，熟悉等式的基本性質，具備了一定的數(shù)學運算能力。

2.九年級學生的學習興趣較為廣泛，對于實際生活中的問題具有較強的探究欲望。在數(shù)學能力上，學生具備一定的邏輯思維和分析問題的能力，但個體差異較大，部分學生擅長抽象思維，而部分學生則更傾向于直觀操作。在學習風格上，學生喜歡互動討論和小組合作，希望通過實例來理解抽象概念。

3.學生在用因式分解法求解一元二次方程時可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：對因式分解的理解不深，不能熟練運用；在尋找方程的因式時缺乏策略，容易出錯；對一元二次方程的根的情況理解不透，容易忽略判別式的應用。此外，部分學生在解題過程中可能會因為計算失誤而得到錯誤的結果。四、教學資源1.硬件資源：多媒體投影儀、計算機

2.軟件資源：數(shù)學教學軟件（如幾何畫板）

3.課程平臺：校園教學管理系統(tǒng)

4.信息化資源：數(shù)字教材、在線習題庫

5.教學手段：板書、小組討論、互動式問答五、教學流程1.導入新課（5分鐘）

詳細內容：通過提問學生已學過的一元一次方程的解法，引導學生思考一元二次方程與一元一次方程的關聯(lián)。接著，給出一個簡單的一元二次方程實例，讓學生嘗試用已知的解法求解，從而引出一元二次方程的特性和本節(jié)課要學習的因式分解法。

2.新課講授（15分鐘）

詳細內容：

（1）介紹一元二次方程的定義和標準形式，強調其與一元一次方程的區(qū)別。

（2）講解因式分解法的原理，通過實例演示如何將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程的乘積形式。

（3）逐步演示因式分解法的解題步驟，包括提取公因式、使用公式法等，并強調注意事項和常見錯誤。

3.實踐活動（10分鐘）

詳細內容：

（1）給出幾個一元二次方程，讓學生嘗試獨立使用因式分解法求解。

（2）要求學生板演解題過程，及時給予反饋和指導。

（3）引導學生總結因式分解法的關鍵步驟，加深對方法的理解。

4.學生小組討論（10分鐘）

詳細內容：

（1）討論一元二次方程的根的情況，例如判別式的應用，根的判別條件。

（2）分析在因式分解過程中可能遇到的問題，如多項式的分解不徹底、計算錯誤等。

（3）分享解題過程中的經驗和技巧，如何避免常見錯誤，提高解題效率。

5.總結回顧（5分鐘）

詳細內容：回顧本節(jié)課的主要內容，強調因式分解法求解一元二次方程的步驟和注意事項。通過提問的方式檢驗學生對因式分解法的掌握程度，并對學生的表現(xiàn)給予肯定和鼓勵。最后布置相關的課后作業(yè)，鞏固所學知識。六、知識點梳理1.一元二次方程的定義與標準形式

-一元二次方程是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程。

-標準形式為ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0。

2.一元二次方程的根的判別式

-判別式Δ=b2-4ac。

-當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

-當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。

-當Δ<0時，方程沒有實數(shù)根。

3.因式分解法的基本原理

-因式分解法是將一元二次方程左邊的多項式分解成兩個一次多項式的乘積。

-目標是找到兩個數(shù)m和n，使得m+n=b且mn=ac，從而將方程轉化為(x-m)(x-n)=0。

4.因式分解法的解題步驟

-首先觀察方程，確定a、b、c的值。

-對a進行因式分解，若a不為1，則先提取公因數(shù)。

-尋找m和n，使得m+n=b且mn=ac。

-將方程重寫為(x-m)(x-n)=0的形式。

-分別解兩個一次方程x-m=0和x-n=0，得到方程的兩個根。

5.因式分解法的特殊情況

-當a=1時，方程可以簡化為x2+bx+c=0的形式，此時尋找m和n更為直觀。

-當b是偶數(shù)時，可以嘗試將方程重寫為(x+b/2)2=b2/4-ac的形式，然后利用平方差公式分解。

6.因式分解法的應用

-因式分解法不僅用于求解一元二次方程，還廣泛應用于多項式的運算和分解中。

-掌握因式分解法有助于解決更復雜的數(shù)學問題，如二次函數(shù)的圖像分析等。

7.常見錯誤與注意事項

-在尋找m和n時，注意不要忽略方程的對稱性，即如果x-m是因式之一，那么x+m也可能是因式之一。

-在計算過程中，注意保持方程兩邊的平衡，避免計算錯誤。

-對于一些特殊形式的一元二次方程，如完全平方公式，可以直接利用公式進行分解，避免復雜的計算。

8.實際應用舉例

-例如，對于方程x2-5x+6=0，首先找到m和n，使得m+n=-5且mn=6，可以找到m=-2和n=-3，因此方程可以分解為(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。

-又如，對于方程x2-4x+4=0，這是一個完全平方公式，可以直接分解為(x-2)2=0，解得x=2。七、板書設計1.一元二次方程的標準形式及解法概述

①一元二次方程的標準形式：ax2+bx+c=0（a≠0）

②解法概述：因式分解法

2.因式分解法的步驟與關鍵點

①因式分解的目標：找到兩個數(shù)m和n，使得m+n=b且mn=ac

②因式分解的步驟：提取公因數(shù)（若a≠1）→尋找m和n→分解為(x-m)(x-n)=0→解兩個一次方程

③關鍵點：確保找到的m和n滿足條件，注意方程兩邊的平衡

3.特殊情況的處理與常見錯誤

①特殊情況：完全平方公式

②常見錯誤：忽略方程的對稱性，計算錯誤，忽略判別式的應用

③注意事項：保持方程兩邊的平衡，對于特殊形式的方程直接利用公式分解八、教學反思今天的課堂上，我講授了用因式分解法求解一元二次方程的內容。整體來看，學生們對這一新方法的接受度較高，但在教學過程中我也發(fā)現(xiàn)了一些值得反思和改進的地方。

首先，導入環(huán)節(jié)的設計起到了較好的激發(fā)興趣的作用。通過回顧一元一次方程的解法，學生們能夠迅速進入學習狀態(tài)。然而，我也注意到在提問環(huán)節(jié)，部分學生對于一元二次方程的定義和特點掌握得不夠牢固，未來我需要在復習舊知識時更加細致，確保每位學生都能夠扎實掌握。

在講授新課內容時，我按照預定的步驟逐一講解，并且通過板書和實際例題來演示因式分解法的解題過程。我覺得這一點做得不錯，因為學生們能夠直觀地看到解題的每一步。但是，我也發(fā)現(xiàn)有些學生在跟隨我解題時，對于尋找m和n的步驟感到困惑。我意識到，我在講解這一部分時可能沒有足夠強調思維的靈活性和策略性，未來我需要更多地引導學生去觀察和思考，而不是僅僅告訴他們答案。

在實踐活動環(huán)節(jié)，我讓學生們獨立完成了一些練習題。雖然大多數(shù)學生能夠按照步驟進行解題，但仍有少數(shù)學生在計算過程中出現(xiàn)了錯誤。這讓我思考，是否我在演示時沒有充分強調計算的準確性，或者學生們在練習時沒有足夠的時間去消化和理解。下次上課時，我計劃增加一些時間讓學生們充分練習，并在旁邊提供即時反饋。

小組討論環(huán)節(jié)是一個亮點，學生們積極參與，分享了自己的解題策略和遇到的問題。我聽到一些學生提出了很好的問題，比如關于如何確定判別式的符號，以及如何處理特殊情況下的一元二次方程。我覺得這個環(huán)節(jié)增強了學生們之間的交流，也讓他們意識到解題不是孤軍奮戰(zhàn)，而是可以相互學習和幫助的。

最后，在總結回顧環(huán)節(jié)，我通過提問來檢驗學生們對本節(jié)課內容的掌握程度。大多數(shù)學生能夠回答出關鍵知識點，但也有學生顯得不夠自信。我想，這可能是因為他們對新知識還沒有完全吸收。因此，我計劃在課后提供一些額外的學習資源，幫助學生們在家中繼續(xù)學習和鞏固。重點題型整理題型一：基礎因式分解

題目：解方程x2-5x+6=0。

解答：首先，尋找兩個數(shù)m和n，使得m+n=-5且mn=6?？梢缘玫絤=-2和n=-3。因此，方程可以分解為(x-2)(x-3)=0。解得x=2或x=3。

題型二：提取公因式

題目：解方程4x2-12x+9=0。

解答：首先，可以觀察到方程的每一項都可以被4整除，所以先提取公因數(shù)4，得到4(x2-3x+2.25)=0。接著，尋找m和n，使得m+n=-3且mn=2.25，可以得到m=-1.5和n=-1.5。因此，方程可以分解為4(x-1.5)2=0。解得x=1.5。

題型三：完全平方公式

題目：解方程x2-6x+9=0。

解答：這是一個完全平方公式，可以直接分解為(x-3)2=0。解得x=3。

題型四：判別式應用

題目：不解方程，判斷方程2x2-4x+3=0有幾個實數(shù)根。

解答：計算判別式Δ=(-4)2-4*2