專題04 二次函數(shù)與圖形問題（解析版）

專題04二次函數(shù)與圖形問題考法一：定長(zhǎng)圍面積最大1．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長(zhǎng)為多少厘米？(2)矩形框架ABCD面積最大值為______平方厘米．【答案】(1)AB的長(zhǎng)為8厘米或12厘米．(2)150【分析】（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為x厘米，則有厘米，然后根據(jù)題意可得方程，進(jìn)而求解即可；（2）由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S，則有，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：設(shè)AB的長(zhǎng)為x厘米，則有厘米，由題意得：，整理得：，解得：，∵，∴，∴都符合題意，答：AB的長(zhǎng)為8厘米或12厘米．（2）解：由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S平方厘米，則有：，∵，且，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，即為；故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題干中的等量關(guān)系．2．（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長(zhǎng)25m，木柵欄長(zhǎng)47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場(chǎng)面積的最大值．【答案】288m2【分析】設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長(zhǎng)為m，設(shè)雞場(chǎng)面積為ym2，根據(jù)矩形面積公式寫出二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．【詳解】解：設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長(zhǎng)為m，設(shè)雞場(chǎng)面積為ym2，根據(jù)題意，得，∴當(dāng)x=24時(shí)，y有最大值為288，∴雞場(chǎng)面積的最大值為288m2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出二次函數(shù)解析式．3．如圖，某養(yǎng)殖戶利用一面長(zhǎng)20m的墻搭建矩形養(yǎng)殖房，中間用墻隔成兩間矩形養(yǎng)殖房，每間均留一道1m寬的門.墻厚度忽略不計(jì)，新建墻總長(zhǎng)34m，設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，養(yǎng)殖房總面積為S.(1)求養(yǎng)殖房的最大面積.(2)該養(yǎng)殖戶準(zhǔn)備400元全部用于購買小雞和小鵝養(yǎng)殖，小雞每只5元，小鵝每只7元，并且小雞的數(shù)量不少于小鵝數(shù)量的2倍.該養(yǎng)殖戶有哪幾種購買方案？【答案】(1)108平方米(2)5種購買方案.小鵝05101520小雞8073665952【分析】（1）根據(jù)矩形的面積列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最大值；（2）設(shè)買小雞a只，小鵝b只，根據(jù)5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：由題意得：S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝6時(shí)，S有最大值，最大值為108，∴養(yǎng)殖房的最大面積為108平方米；（2）設(shè)買小雞a只，小鵝b只，則5a+7b＝400，且a≥2b，∴a＝＝80﹣≥2b，則b≤，且b≥0，又∵a，b都為非負(fù)整數(shù)，∴b可為0，5，10，15，20，此時(shí)a對(duì)應(yīng)為80，73，66，59，52，∴該養(yǎng)殖戶共有5種購買方案：方案1：小雞80只，小鵝0只；方案2：小雞73只，小鵝5只；方案3：小雞66只，小鵝10只；方案4：小雞59只，小鵝15只；方案5：小雞52只，小鵝20只．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的面積列出函數(shù)解析式．4．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，求此時(shí)x的值；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)x的值為2m；(2)當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時(shí)x的值為2m；；（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墻的長(zhǎng)度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4時(shí)，S隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，最大值為，即當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．北重一中計(jì)劃利用一片空地建一個(gè)學(xué)生自行車車棚，其中一面靠墻，墻的最大可用長(zhǎng)度為12米．另三邊用總長(zhǎng)為26米的木板材料圍成．車棚形狀如圖中的矩形。為了方便學(xué)生出行，學(xué)校決定在與墻平行的一面開一個(gè)2米寬的門。(1)求這個(gè)車棚的最大面積是多少平方米？此時(shí)與的長(zhǎng)分別為多少米？(2)如圖2，在（1）的結(jié)論下，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為70平方米，那么小路的寬度是多少米？【答案】(1)最大面積為96平方米，此時(shí)米，米；(2)小路的寬為1米【分析】（1）設(shè)為x米，則為米，列出車棚面積的函數(shù)表達(dá)式，求出x的取值范圍，再求出函數(shù)的最大值，同時(shí)求出AD和AB的長(zhǎng)即可；（2）設(shè)小路寬為m米．根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)為x米，則為米，根據(jù)題意得：，由題意得，解得0<x≤12，∵，開口向下，∴當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，，此時(shí)AD＝x＝12，AB＝＝8，答：最大面積為96平方米，此時(shí)米，米．（2）解：設(shè)小路寬為m米．根據(jù)題意得解得（舍），答：小路的寬為1米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，列出函數(shù)表達(dá)式和一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)）和長(zhǎng)的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長(zhǎng)；(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？【答案】(1)CG長(zhǎng)為8m，DG長(zhǎng)為4m(2)當(dāng)BC=m時(shí)，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=m2【分析】（1）兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式即可.【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴當(dāng)BC=m時(shí)，y最大=m2．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．考法二：動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象判斷7．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰與矩形DEFG在同一水平線上，，現(xiàn)將等腰沿箭頭所指方向水平平移，平移距離x是自點(diǎn)C到達(dá)DE之時(shí)開始計(jì)算，至AB離開GF為止．等腰與矩形DEFG的重合部分面積記為y，則能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)平移過程，可分三種情況，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用直角三角形的性質(zhì)及面積公式分別寫出各種情況下y與x的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】過點(diǎn)C作CM⊥AB于N，，在等腰中，，，①當(dāng)時(shí)，如圖，，，，∴，y隨x的增大而增大；②當(dāng)時(shí)，如圖，，∴當(dāng)時(shí)，y是一個(gè)定值為1；③當(dāng)時(shí)，如圖，，，,當(dāng)x=3，y=1，當(dāng)3<x<4，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=4，y=0，結(jié)合ABCD選項(xiàng)的圖象，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問題，涉及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確理解題意并分情況討論是解題的關(guān)鍵．8．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以的速度勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，則下列圖象能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】分別求出M在AD和在BD上時(shí)△MND的面積為S關(guān)于t的解析式即可判斷．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠B＝60°，，，∵CD⊥AB，∴，，，∴當(dāng)M在AD上時(shí)，0≤t≤3，，，∴，當(dāng)M在BD上時(shí)，3＜t≤4，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．9．（2022·廣東東莞·東莞市萬江第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，等邊的邊長(zhǎng)為，沿運(yùn)動(dòng)，沿運(yùn)動(dòng)，且速度都為每秒個(gè)單位，面積為，則與運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒的函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】分兩個(gè)階段進(jìn)行計(jì)算：當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即當(dāng)0≤x≤3時(shí)，如圖，當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即當(dāng)3<x≤6時(shí)，如圖，分別根據(jù)三角形面積公式代入求面積即可，得到解析式后確定函數(shù)圖象形狀，作判斷．【詳解】解：根據(jù)題意得：PC=BQ=2x，如圖，當(dāng)時(shí)，BP=6-2x，過點(diǎn)Q作QD⊥BC于點(diǎn)D，∵△ABC是等邊三角形，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，BP=AQ=2x-6，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，∴，∴，∴，綜上所述，當(dāng)時(shí)，，y是x的二次函數(shù)，且開口向下；當(dāng)時(shí)，，y是x的二次函數(shù)，且開口向上，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的問題，明確動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離和位置是關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合的思想，把不同階段時(shí)面積的解析式求出即可作出判斷．10．（甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的路徑勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P向?qū)蔷€AC作垂線，垂足為Q，設(shè)AQ＝x，△APQ的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理可得AC＝5，然后分兩段討論：當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B=90°，由勾股定理得AC＝5，根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，需要分段討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠B＝90°，∵∠BAC＝∠BAC，∴△APQ∽△ACB，∴PQ：BC=AQ∶AB=AP∶AC，∴PQ：AQ：AP＝BC：AB：AC＝4：3：5，∵AQ＝x，∴PQx，APx；此時(shí)0x≤3，即0≤，∴，是開口向上的一段拋物線；當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，∵PQ⊥AC，∴∠CQP＝∠B＝90°，∵∠BCA＝∠BCA，∴△CPQ∽△ACB，∴CQ∶AB=PQ∶CB=CP∶AC，∴CQ：PQ：CP＝BC：AB：AC＝4：3：5，∵AQ＝x，∴CQ＝5﹣x，∴PQ（5﹣x），AP（5﹣x）；此時(shí)0（5﹣x）≤4，即，∴，開口向下的拋物線，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．也涉及到了相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)．11．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為邊，中點(diǎn)，點(diǎn)O為正方形的中心，連接，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，連接，的面積為，下列圖像能正確反映出S與t的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2兩種情形，確定解析式，判斷即可．【詳解】當(dāng)0≤t≤1時(shí)，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為正方形的中心，∴直線EO垂直BC，∴點(diǎn)P到直線BC的距離為2-t，BQ=t，∴S=；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)F分別為邊，中點(diǎn)，點(diǎn)O為正方形的中心，∴直線OF∥BC，∴點(diǎn)P到直線BC的距離為1，BQ=t，∴S=；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)解析式，正確確定面積，從而確定解析式是解題的關(guān)鍵．12．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝2，點(diǎn)P為射線BC上一點(diǎn)，連接DP，將DP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EP，過B作EP平行線交DC延長(zhǎng)線于F．設(shè)BP長(zhǎng)為x，四邊形BFEP的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x函數(shù)關(guān)系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】方法一：根據(jù)P點(diǎn)在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，BP越大，則四邊形BFEP的面積越大，即可以得出只有D選項(xiàng)符合要求；方法二：分兩種情況分別求出y與x的關(guān)系式，根據(jù)x的取值判斷函數(shù)圖象即可．【詳解】方法一：由題意知，當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，BP越大，則則四邊形BFEP的面積越大，故D選項(xiàng)符合題意；方法二：如下圖，當(dāng)P點(diǎn)在BC之間時(shí)，作EH⊥BC于H，∵∠DPE＝90°，∴∠DPC+∠EPH＝90°，∵∠DPC+∠PDC＝90°，∴∠EPH＝∠PDC，在△EPH和△PDC中，，∴△EPH≌△PDC（AAS），∵BP＝x，AB＝BC＝2，∴PC＝EH＝2﹣x，∴四邊形BPEF的面積y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，同理可得當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，EH＝PC＝x﹣2，∴四邊形BPEF的面積y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，綜上所述，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，函數(shù)圖象為開口方向向下的拋物線，當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)圖象為開口方向向上的拋物線，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．13．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，點(diǎn)B，C，D，E在一條直線上，點(diǎn)C，D重合，△ABC沿射線DE方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABC運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABC與Rt△DEF重疊部分的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分三種情形∶①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，重疊部分為△CDG，②當(dāng)2＜x≤4時(shí)，重疊部分為四邊形AGDC，③當(dāng)4＜x≤8時(shí)，重疊部分為△BEG，分別計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作AM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，在等邊△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴ACEF，在等邊△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，∴S△ABC＝BC?AM＝4，①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，設(shè)AC與DF交于點(diǎn)G，此時(shí)△ABC與Rt△DEF重疊部分為△CDG，由題意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD?DG＝x2；②當(dāng)2＜x≤4時(shí)，設(shè)AB與DF交于點(diǎn)G，此時(shí)△ABC與Rt△DEF重疊部分為四邊形AGDC，由題意可得：CD＝x，則BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③當(dāng)4＜x≤8時(shí)，設(shè)AB與EF交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，此時(shí)△ABC與Rt△DEF重疊部分為△BEG，由題意可得CD＝x，則CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE?GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，綜上，選項(xiàng)A的圖像符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖形等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，利用割補(bǔ)法求多邊形的面積是解題的關(guān)鍵．14．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)Q，將沿直線折疊得到，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意易得，，則有，進(jìn)而可分當(dāng)點(diǎn)P在AB中點(diǎn)的左側(cè)時(shí)和在AB中點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，然后分類求解即可．【詳解】解：∵，∴，由題意知：，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，當(dāng)點(diǎn)P與AB中點(diǎn)重合時(shí)，則有，當(dāng)點(diǎn)P在AB中點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，即，∴與重疊部分的面積為；當(dāng)點(diǎn)P在AB中點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，即，如圖所示：由折疊性質(zhì)可得：，，∴，∴，∴，∴與重疊部分的面積為；綜上所述：能反映與重疊部分的面積S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象只有D選項(xiàng)；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·遼寧本溪·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，BD是AC邊上的中線，將△BCD沿射線CB方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，平移后的三角形記為△B1C1D1，設(shè)△B1C1D1與△ABD重疊部分的面積為y，平移運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，當(dāng)點(diǎn)C1與點(diǎn)B重合時(shí)，△B1C1D1停止運(yùn)動(dòng)，則下列圖象能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分類討論：當(dāng)時(shí)利用平移的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形即可求出y值，可解決C、D；當(dāng)時(shí)，利用三角形相似面積比是相似比的平方，可表示出y的函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖像的性質(zhì)，即可解決A、B．【詳解】解：如圖：在中，，，∴，，∵BD是AC邊上的中線，∴，∵△BCD沿射線CB方向平移得到△B1C1D1，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，∴，，當(dāng)時(shí)，，∵∴，∵，∴，∴是邊上的中線，∴，即，，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，

∴，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像是開口向上拋物線．可判斷A正確，B錯(cuò)誤．A、圖像是開口向上的拋物線的一部分，故選項(xiàng)正確，符合題意；B、當(dāng)時(shí)，圖像是一條線段故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形相似比、三角形面積比是相似比的平方、平移的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和準(zhǔn)確的分析圖像是解決本題的關(guān)鍵．16．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，，，動(dòng)點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止，動(dòng)點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2.5cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為S，則S與對(duì)應(yīng)關(guān)系的的圖象大致是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】分別求出當(dāng)時(shí)，時(shí)和時(shí)S關(guān)于t的函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式判斷函數(shù)圖象即可．【詳解】解：由題意得：AB，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在AB上，則AP＝AC－CP＝4－2t，AQ＝AB－BQ＝5－2.5t，如圖，過點(diǎn)Q作QM⊥AC于M，∴sin∠A＝，即，∴，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AC上，則AP＝2t－4，AQ＝2.5t－5，如圖，過點(diǎn)P作PN⊥AC于N，同理可得：，此時(shí)，∵二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為二次函數(shù)的圖象的一部分，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為直線的一部分，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正確表示出的面積并能夠根據(jù)函數(shù)解析式選擇相應(yīng)的函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．17．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，E是AD的中點(diǎn)，連接BE，CE．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BE-EC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，若△BPQ的面積為y（cm2），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），則下列最能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】先利用勾股定理計(jì)算出與的長(zhǎng)，以及、運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)所用的時(shí)間，將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分為兩段，分別計(jì)算與時(shí)的表達(dá)式，進(jìn)而分析其函數(shù)圖象．【詳解】解：是的中點(diǎn)，，在中，，同理，．．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，（如圖①所示），由三角形高相同可得：，函數(shù)的圖象是一條開口向上的拋物線，故排除AC；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，（如圖2所示），，函數(shù)的圖象是一條直線，排除B．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)和的位置不同確定三角形面積的表達(dá)式不同，解決本題的關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用，以及函數(shù)關(guān)系式的建立．18．（2022·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，中，，點(diǎn)為邊上一個(gè)不與、重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作與點(diǎn)，作的中線，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，設(shè)的面積為，，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則的面積為（

）A． B． C．19 D．18【答案】A【分析】分析可知當(dāng)，此時(shí)，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，此時(shí)，求出，，利用，求出，進(jìn)一步求出AB，再利用即可求出結(jié)果．【詳解】解：由題意可知：當(dāng)，此時(shí)，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，此時(shí)，設(shè)，∵，∴，∵，∴，即：，∴，，∵，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題、勾股定理、正切值、二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象找出AB，DE的長(zhǎng)．19．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，射線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)M從A出發(fā)，沿A→B→F的路線勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F停止．過點(diǎn)M作MN⊥AF于點(diǎn)N．設(shè)AN的長(zhǎng)為x，△AMN的面積為S，則能大致反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再求出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，然后分①和②兩種情況，分別解直角三角形求出的長(zhǎng)，最后利用三角形的面積公式可得與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可得．【詳解】解：在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，，①如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，即時(shí)，在中，，在中，，，解得，則此時(shí)；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，即時(shí)，在中，，在中，，，解得，則此時(shí)；綜上，，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)B符合，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用、二次函數(shù)的圖象等知識(shí)點(diǎn)，正確分兩種情況討論，并熟練掌握二次函數(shù)的圖象特征是解題關(guān)鍵．20．（2022·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)校考二模）如圖，中，AB=4，BC=8，∠A=60°，動(dòng)點(diǎn)P沿A-B-C-D勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過速度為2cm/s，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)Q到點(diǎn)D時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q走過的路程為x(s)，的面積為y(cm2)，能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出當(dāng)0≤x≤2時(shí)，，是一段開口向上的拋物線，從而可得出答案．【詳解】解：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，，∴0≤x≤2時(shí)，y隨著x的增大而增大，函數(shù)圖象的開口向上，是拋物線的一部分，故選項(xiàng)A，C、D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．21．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，中，和在一條直線上，當(dāng)從點(diǎn)G和點(diǎn)B重合時(shí)開始向右平移，直到點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)平移的距離為x，與正方形重疊部分的面積為y，則下列圖象中能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】分，，，，五種情況，求出重疊部分的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，判斷即可．【詳解】∵△EFG中EF=EG=，F(xiàn)G=2，過點(diǎn)E作EM⊥FG于點(diǎn)M，則，∴FG上的高；∵四邊形ABCD為正方形，BC和FG在一條直線上，∴中△EFG移動(dòng)過程中，（1）當(dāng)時(shí)，EG與AB交于點(diǎn)H，如圖所示：此時(shí)，∵，∴，即，∴，∴，即，此時(shí)的函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，EF與AB交于點(diǎn)H，如圖所示：此時(shí)，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴，此時(shí)函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，且當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，△EFG在正方形的內(nèi)部，∴重疊部分的面積為△EFG的面積，此時(shí)函數(shù)圖象為平行x軸的一條線段；（4）當(dāng)時(shí)，EG與CD交于點(diǎn)H，如圖所示：此時(shí)，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴，此時(shí)函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，且當(dāng)時(shí)，；（5）當(dāng)時(shí)，EF與CD交于點(diǎn)H，如圖所示：此時(shí)，∵，∴，即，∴，∴，∴，此時(shí)函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且當(dāng)時(shí)，；綜上分析可知，四個(gè)選項(xiàng)中B選項(xiàng)符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想分類討論進(jìn)行解答．22．（2022·新疆昌吉·統(tǒng)考一模）如圖所示，P是菱形的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作垂直于的直線交菱形的邊于M點(diǎn)，于N點(diǎn)．設(shè)，，，的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像的大致形狀是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】△AMN的面積＝AP×MN，通過題干已知條件，用x分別表示出AP、MN，根據(jù)所得的函數(shù)，利用其圖象，可分兩種情況解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；【詳解】解：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝1，∴AC與BD互相垂直平分；∴AO＝AC＝1，∵M(jìn)N⊥AC，BD⊥AC∴MNBD；∴∠ANM＝∠ADB，∠AMN＝∠ABD∴△AMN∽△ABD，∴，即，∴MN＝x；∴y＝AP×MN＝x2（0＜x≤1），∵＞0，∴函數(shù)圖象開口向上；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝1時(shí)，y取最大值；當(dāng)1＜x＜2，如圖2，與（1）同理可證得，△CDB∽△CNM，，即，∴MN＝2﹣x；∴y＝AP×MN＝x×（2﹣x），即y＝﹣x2+x；∵﹣＜0，∴函數(shù)圖象開口向下；綜上，選項(xiàng)C的圖象大致符合；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生從圖象中讀取信息的數(shù)形結(jié)合能力，體現(xiàn)了分類討論的思想．考法三：圖形綜合問題23．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖1，中，，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作，垂足為P，PQ交的邊于點(diǎn)Q，設(shè)，的面積為y．y與x之間的函數(shù)關(guān)系大致如圖2所示，則當(dāng)時(shí)，y的值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像可知，在中，由三角函數(shù)及勾股定理可計(jì)算，，當(dāng)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，借助以及可計(jì)算出此時(shí)，．當(dāng)點(diǎn)Q在AC段時(shí)，借助三角函數(shù)可知，由三角形面積公式可知，即（）；當(dāng)點(diǎn)Q在BC段時(shí)，借助三角函數(shù)計(jì)算，故，即．由兩段函數(shù)解析式的自變量取值范圍可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q在BC段，借助函數(shù)解析式可解得．【詳解】解：由圖像可知，，在中，，∴，可設(shè)，，根據(jù)勾股定理可知，即，解得或（不合題意，舍去），∴，．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，可有，即，解得，此時(shí)由，可解得，當(dāng)點(diǎn)Q在AC段時(shí)，由，可知，∴，即有（），當(dāng)點(diǎn)Q在BC段時(shí)，如下圖所示，，∵，∴，∴，即，∴，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，可知．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)解直角三角形、勾股定理、二次函數(shù)的綜合問題等知識(shí)，解題關(guān)鍵是弄清圖形中各線段的關(guān)系，分段求出函數(shù)解析式及自變量的取值范圍．24．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形水池進(jìn)行加長(zhǎng)改造（如圖①，改造后的水池仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1），同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為的矩形水池（如圖②，以下簡(jiǎn)稱水池2）．【建立模型】如果設(shè)水池的邊加長(zhǎng)長(zhǎng)度為，加長(zhǎng)后水池1的總面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：；設(shè)水池2的邊的長(zhǎng)為，面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：，上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③．【問題解決】(1)若水池2的面積隨長(zhǎng)度的增加而減小，則長(zhǎng)度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________；(2)在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是_________，此時(shí)的值是_________；(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，的取值范圍是_________；(4)在范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)的值；(5)假設(shè)水池的邊的長(zhǎng)度為，其他條件不變（這個(gè)加長(zhǎng)改造后的新水池簡(jiǎn)稱水池3），則水池3的總面積關(guān)于的函數(shù)解析式為：．若水池3與水池2的面積相等時(shí)，有唯一值，求的值．【答案】(1)；9(2)C，E；1，4；(3)或(4)(5)【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可解決問題；（2）交點(diǎn)即為面積相等的點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)C，點(diǎn)E的坐標(biāo)可得結(jié)論；（4）求出面積差的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（5）根據(jù)面積相等列出一元二次方程，依據(jù)，求出b的值即可．（1）∵∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9），對(duì)稱軸為x=3，∵水池2的面積隨長(zhǎng)度的增加而減小，∴長(zhǎng)度的取值范圍是；水池2面積的最大值是9；故答案為：；9；（2）由圖象得，兩函數(shù)交于點(diǎn)C，E，所以，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是C，E；聯(lián)立方程組解得，∴x的值為1或4，故答案為：C，E；1或4（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），又直線在拋物線上方時(shí)，或，所以，水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，的取值范圍是或，故答案為或；（4）在范圍內(nèi)，兩個(gè)水池面積差，∵∴函數(shù)有最大值，∵∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，為即，當(dāng)時(shí)，面積差的最大值為（5）∵水池3與水池2的面積相等，∴，整理得，∵有唯一值，∴解得，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．25．已知：如圖，在中，，，，為邊上的高，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，；(2)當(dāng)中點(diǎn)在上時(shí)，求t的值；(3)設(shè)四邊形的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S最小值．【答案】(1)；(2)；(3)，S的最小值為．【分析】（1）由，知，根據(jù)得，據(jù)此列式求解即可；（2）證得，據(jù)此求得，作作交于E，證得，再證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可；（3）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)G，證得，據(jù)此求得，然后根據(jù)可得函數(shù)解析式，繼而配方可得其最小值．【詳解】（1）解：如圖1，由題意知，，則，∵，∴，即，解得，即時(shí)，；（2）解：如圖2，∵，，∴，∴，即，解得，∵，∴，作交于E，則，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得；（3）解：如圖3，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)G，則，∵，∴，∴，∵，∴，解得，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，S取得最小值，最小值為，∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：，S的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)及二次函數(shù)最值的求法．26．（2022·寧夏吳忠·校考一模）已知：如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？(2)設(shè)四邊形的面積為y（cm2），試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，請(qǐng)說明理由，若存在，求出t的值．【答案】(1)(2)(3)存在，2【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)作，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出、，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，，，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，，即，解得，，答：當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形；（2）解：過點(diǎn)作，垂足為，，，，，即，解得，，，，，，，即，解得，，；（3）解：若存在某一時(shí)刻，使，則，，解得，（舍去），，則為時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理．27．（2022·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，，邊上的高，，分別是邊，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），與交于點(diǎn)，且，以為邊，在點(diǎn)的下方做正方形．(1)當(dāng)正方形的邊在上時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．(2)設(shè)，與正方形重疊部分的面積為，則當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)正方形的邊長(zhǎng)為；(2)當(dāng)時(shí)，y有最大值為15．【分析】（1）由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得，又由正方形的各邊都相等，即可求得的長(zhǎng)，即正方形的邊長(zhǎng)；（2）①由正方形在的內(nèi)部，可得與正方形重疊部分的面積為正方形的面積，根據(jù)正方形面積的求解方法，易得，s根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得此時(shí)y的最大值；②當(dāng)正方形的一部分在的外部時(shí)，由，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得此時(shí)二次函數(shù)的最大值；比較后即可求得y的最大值．【詳解】（1）解：當(dāng)正方形的邊在上時(shí)，則，∵，∴，∵，∴，∴，解之得，∴當(dāng)正方形的邊在上時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為；（2）解：①當(dāng)正方形在的內(nèi)部時(shí)，與正方形重疊部分的面積為正方形的面積，∵，∴，∵，∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，函數(shù)y的值隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y取最大值為；②當(dāng)正方形的一部分在的外部時(shí)，∵，∴，而，∴，解得．所以，即，∵，且，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為15，∵，∴與正方形重疊部分的面積的最大值為15．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)．此題綜合性很強(qiáng)，解題時(shí)要仔細(xì)分析．28．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長(zhǎng)度的比值；(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．【答案】(1)；(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；當(dāng)時(shí)，y的最大值為；(3)當(dāng)EF∥BD時(shí)，能使EM＝HM．理由見解析【分析】（1）延長(zhǎng)DF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證得，可得，根據(jù)題意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再證明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三種情況討論：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上；當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)在BD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E、F均在BD上，即可求解；（3）當(dāng)EF∥BD時(shí)，能使EM＝HM．理由：連接DH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．（1）解：如圖，延長(zhǎng)DF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，此時(shí)AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如圖，過點(diǎn)E作交于H，∴，∴；∴當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，此時(shí)當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值3；當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)在BD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，如圖，過點(diǎn)E作交于N，過點(diǎn)D作交于M，則EN∥DM，根據(jù)題意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此時(shí)該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，此時(shí)當(dāng)時(shí)，y有最大值；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E、F均在BD上，過點(diǎn)E作交于Q，過點(diǎn)F作交于P，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此時(shí)y隨x的增大而減小，此時(shí)當(dāng)時(shí)，y有最大值；綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為當(dāng)時(shí)，y最大值為；（3）解：當(dāng)EF∥BD時(shí)，能使EM＝HM．理由如下：連接DH，如圖，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此時(shí)，∵M(jìn)是DF的中點(diǎn)，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．29．（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠BCA＝90°，AB=5cm，BC=3cm．動(dòng)點(diǎn)E從B出發(fā)沿線段BA方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作ED⊥BA交射線BC于點(diǎn)D，以DE和DC為鄰邊作平行四邊形EDCF，過點(diǎn)D作DHCA，交射線BA于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HG⊥CA，交射線CA于點(diǎn)H．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．(1)直接寫出CD的長(zhǎng)度（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)點(diǎn)F落在DH上時(shí)，求t的值．(3)求平行四邊形EDCF與矩形CDHG重合圖形部分的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)解析式．(4)若DH將平行四邊形EDCF分成兩部分的面積之比為k，當(dāng)0＜k≤時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)當(dāng)＜t≤時(shí)，；當(dāng)＜t＜且t≠時(shí)，(4)＜t≤，≤t＜【分析】（1）由三角函數(shù)的知識(shí)求出與即可，注意點(diǎn)可能在線段上，也可能是在線段的延長(zhǎng)線上．（2）畫出圖形，可用表示出的長(zhǎng)度，結(jié)合和的比例關(guān)系求解．（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程，畫出所有可能的球框，在分析每種情況下陰影部分面積的組成，選擇割補(bǔ)法和直接三角形面積的方法計(jì)算即可．（4）根據(jù)題目條件得出當(dāng)時(shí)，一定過的中點(diǎn)或者的中點(diǎn)，結(jié)合圖形和線段長(zhǎng)度，列方程求解．(1)解：（1），由題意可得：．，①當(dāng)時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，．(2)由題意可知，當(dāng)落在時(shí)，點(diǎn)在線段上，如圖所示：，．．，解得：，符合題意．(3)當(dāng)時(shí)，取與的交點(diǎn)為，則重合部分的面積．．．．當(dāng)時(shí)，去與的交點(diǎn)為，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，同上可得：．綜上：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)且時(shí)，．(4)由題意可知，點(diǎn)在線段上．當(dāng)與相交時(shí)，若，則可得，即，解得：．當(dāng)與相交時(shí)，若，則可得，即，解得．的取值范圍是：或【點(diǎn)睛】本題屬于難題，正確分析運(yùn)動(dòng)過程，熟練運(yùn)用相似三角形和三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．已知，如圖，在中，，，．將與重合在一起，讓在邊BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），且在運(yùn)動(dòng)過程中滿足：DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于點(diǎn)G．解決下列問題：(1)求證：；(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，為等腰三角形；(3)當(dāng)線段AG最短時(shí)，求的面積．【答案】(1)見解析(2)2或秒(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠CEG=∠BAE，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分別從AE=EG與AG=EG去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；（3）設(shè)BE=x，AP=y，根據(jù)△ABE∽△ECG得到比例式，求出y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠DEF=∠ABC，∴∠DEF+∠CEG=∠AEC=∠ABC+∠BAE，∴∠CEP=∠BAE，又∠B=∠C，∴△ABE∽△ECG；（2）∵∠DEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，∴∠AGE＞∠DEF，∴AE≠AG；當(dāng)AE=EG時(shí)，則△ABE≌△ECG，∴CE=AB=6，∴BE=BC-EC=8-6=2；當(dāng)AG=EG時(shí)，則∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴，∴；∴BE=2或．故當(dāng)∠DEF運(yùn)動(dòng)2或秒時(shí)，△AEG為等腰三角形；（3）設(shè)BE=x，AG=y，由（1）得△ABE∽△ECG，∴，∵CG=AC-AG=6-y，EC=BC-BE=8-x，∴，即，∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最小值為，∴當(dāng)BE為4時(shí)，AG有最小值是，∵BE=4，BC=8，∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∵△ABE∽△ECG，∴EG⊥AC，∴，∴△AEG的面積=．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到二次函數(shù)的解析式、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．31．（2022·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為等邊三角形，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，為直角三角形，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上，，，．(1)如圖①，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將沿軸向右平移，得到，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，設(shè)，與重疊部分的面積為．①如圖②，當(dāng)與重疊的部分為四邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)，試用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）根據(jù)Rt中，，，得到，根據(jù)，得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)為等邊三角形，得到，，得到，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）①過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，根據(jù)為等邊三角形，得到，得到，得到，根據(jù)，得到，得到，得到，根據(jù)，得到，；②分和時(shí)，分類討論，分別計(jì)算面積，求出最大值和最小值比較即可．(1)解：如圖①，在Rt中，，，∴，∴，過點(diǎn)D作于點(diǎn)，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)①如圖②，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，∵為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，

∵，∴，在Rt中，，，∴．∴，∴，∴，在平移過程中，線段經(jīng)過A點(diǎn)之后，到線段經(jīng)過A點(diǎn)之前，重疊部分為四邊形，當(dāng)線段經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，,當(dāng)線段經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，，，∴，；②∵，且，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，取得最大值，為，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，，當(dāng)時(shí)，設(shè)與AO交于點(diǎn)G，與AB交于點(diǎn)H，∵，，∴，∴,∴，∴，，∴對(duì)稱軸為，開口向下當(dāng)時(shí)取得最大值為，當(dāng)時(shí)取得最小值為，∵，∴，∴當(dāng)，時(shí)，S的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形，平移，含30°角的直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的邊的性質(zhì)，深刻理解并熟記特殊角的三角函數(shù)值．32．如圖，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個(gè)根，連接BD，并過點(diǎn)C作CN⊥BD，垂足為N，點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)到D為止；點(diǎn)M沿線段DA以每秒1個(gè)單位的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A為止，點(diǎn)P與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)求線段CN的長(zhǎng)；(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)△PMN的面積取得最大值，最大值是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，【分析】（1）首先解一元二次方程得到BC=4，CD=2，然后利用等積法求出CN；（2）分0＜t≤和＜t≤4兩種情況列出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．（1）解：解得，∵∴，∵四邊形ABCD是矩形，，∴∴∴；（2）由題可知，①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)M作MH⊥BD，垂足為H設(shè)△PMN的面積為S則∵∴