專題04 平行線的判定與性質(zhì)（八種考法）（解析版）

專題04平行線的判定與性質(zhì)（八種考法）直線平行的條件1．【四川省德陽市中江縣2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】下列說法正確的是（）A．不相交的兩條直線叫做平行線B．同一平面內(nèi)，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直C．過一點有且僅有一條直線與已知直線平行D．過同一平面內(nèi)三點中任意兩點，只能畫出3條直線【答案】B【分析】本題主要考查平行線的定義，垂線的性質(zhì)，平角的定義，直線，對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義，要善于區(qū)分不同概念之間的聯(lián)系和區(qū)別；根據(jù)平行線、垂線的性質(zhì)，角和直線的概念逐一判斷可求解【詳解】解：A、應(yīng)強調(diào)在同一平面內(nèi)，錯誤；B、同一平面內(nèi)，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂真，正確；C、過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行，錯誤；D、過同一平面內(nèi)三點中任意兩點，能畫出3條直線或1條直線，故錯誤；故選：B．2．【河北省唐山市遷安市2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】在同一平面內(nèi)，已知直線a及直線外一點M，過點M作3條直線，則這3條直線中與a平行的直線最多有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：過直線外一點可以畫一條已知直線的平行線；據(jù)此解答．【詳解】解：在同一平面內(nèi)，過直線外一點，能作一條直線與已知直線平行，所以這3條直線中與a平行的直線最多有1條，故答案為：一．【點睛】此題考查了平行線的含義和性質(zhì)，應(yīng)注意基礎(chǔ)知識的識記和理解．3．【河北省石家莊市第四十三中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】下列命題中，假命題是（

）A．平行于同一條直線的兩條直線平行 B．兩條直線相交形成的四個角中有一個角是，則這兩條直線互相垂直C．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行 D．如果，那么【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定定理，垂線的判定定理依次分析判斷即可．【詳解】解：A.平行于同一條直線的兩條直線平行，是真命題，不符合題意；B.兩條直線相交形成的四個角中有一個角是，則這兩條直線互相垂直，是真命題，不符合題意；C.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，是真命題，不符合題意；D.如果，那么，是假命題，故符合題意；故選：D．【點睛】此題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是理解平行線的判定，垂線的判定，難度不大．4．【四川省達州市開江縣開江縣永興中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】下列語句中：①經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直；④有公共頂點且相等的角是對頂角，其中錯誤的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)垂直的性質(zhì)，平行公理，鄰補角和角平分線的定義，對頂角的定義，逐一進行判斷即可．【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；故①錯誤；②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；故②錯誤；③∵互為鄰補角的兩個角的度數(shù)之和為，∴互為鄰補角的兩個角的平分線組成的夾角等于的鄰補角的和為，∴互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直；故③正確；④有公共頂點且相等的角不一定是對頂角，對頂角是有公共頂點，且角的兩邊互為反向延長線，故④錯誤；故選C．【點睛】本題考查垂直的性質(zhì)，平行公理，鄰補角和角平分線的定義，對頂角的定義，熟知相關(guān)定義，公理和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．5．【河南省鄭州市中原區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖是利用直尺移動三角板過直線外一點作直線的平行線的方法，小明經(jīng)過多次實踐后發(fā)現(xiàn)只能作一條平行線，這反映了．【答案】過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【分析】根據(jù)平行公理可得答案．【詳解】解：由圖可得，過直線外一點，能且只能畫出一條平行線，這反映了：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．故答案為：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．【點睛】本題考查平行公里，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．兩直線平行同位角相等6．【廣東省廣州市黃埔區(qū)廣附教育集團2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，已知且與不垂直，則與相等的角有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及對頂角相等求解即可.【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，故選：．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.7．【河南省焦作市博愛縣2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，直線，將一塊直角三角板的直角頂點落在直線b上，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故選：D．

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．8．【云南省昆明市西山區(qū)昆明師范專科學校附屬中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，已知直線，若，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵，，∴∴．故選：B．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．9．【江蘇省泰州市靖江市實驗學校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】將一個含角的直角三角板放置在一個如圖所示的長方形直尺上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對頂角相等可得，再由三角形的內(nèi)角和可求，再次利用對頂角相等得，由平行線的性質(zhì)即可求．【詳解】解：如圖，標注圖形，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．10．【河南省新鄉(xiāng)市牧野區(qū)河南師范大學附屬中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，已知直線，直線與直線，分別交于，兩點，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】有平行線性質(zhì)可得，由垂直的定義，可得，從而推出，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，

，，，，，，．故選：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的意義，熟記平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．兩直線平行內(nèi)錯角相等11．【黑龍江省哈爾濱市蕭紅中學2023-2024學年七年級上學期期中數(shù)學試題】如圖，，，，則圖中與相等的角（除外）共有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，對頂角相等．根據(jù)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，以及對頂角相等，找到與相等的角即可．【詳解】解：如圖，

∵，，，∴，又∵，∴；綜上：與相等的角（除外）共有5個；故選B．12．【浙江省溫州市樂清市山海聯(lián)盟2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置，其中、兩點分別落在直線，上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)可知，，計算求解即可【詳解】解：直線，∴，故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．熟練掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．13．【山東省濟南市章丘區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，有一塊含有角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊可以自由滑動上．當時，的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得到，依據(jù)，由角的和差關(guān)系可求．【詳解】解：如圖，

∵，∴，∵，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．14．【山東省淄博市張店區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】一副直角三角板如圖擺放，點F在的延長線上，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題根據(jù)一副直角三角板，可知，，再借助平行線的性質(zhì)，先求出，從而求出的大?。驹斀狻拷猓骸吲c為一副直角三角板，∴，，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，學生需悉知一副直角三角板各個角的大小特點，再結(jié)合平行線的性質(zhì)便可解決問題．體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想、模型思想．15．【福建省寧德第一中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，，，下列說法正確的是（

）A．因為，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以．B．因為，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以．C．因為，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，所以．D．因為，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，所以．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐項分析即可．【詳解】解：A．因為，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以，故原說法不正確．B．因為，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以，正確．C．因為，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以，故原說法不正確．

D．因為，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以，故原說法不正確．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯角相等，③兩直線平行同旁內(nèi)角互補．兩直線平行同旁內(nèi)角互補16．【山東省濟南市萊蕪區(qū)勝利中學等八校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由知，由知，結(jié)合得，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，又∵，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和垂線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)．17．【湖南省懷化市芷江縣2022-2023學年七年級下學期期末教學數(shù)學試題】如圖所示，直線，被直線所截，，則可能等于（

）．A． B． C． D．以上答案都正確【答案】A【分析】當時，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求得；結(jié)合題意即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖：

根據(jù)直線a與直線b在圖中的關(guān)系，假設(shè)直線a與直線b平行，∵，∴，∴；故的度數(shù)可能是．故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關(guān)鍵．18．【山西省晉中市靈石縣2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，先證明，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，，最后利用角的和差關(guān)系求解即可．【詳解】解：過點作，

∵，∴，，，又，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．19．【河南省平頂山市2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖是一塊玻璃的，兩面，且，現(xiàn)有一束光線從玻璃中射向空氣時光線變成，為射線上一點．已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及對頂角相等可知，再根據(jù)角的和差關(guān)系解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選．

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等，角的和差關(guān)系，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)21．【廣西壯族自治區(qū)河池市鳳山縣2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，將直尺與含角的三角尺疊放在一起，角的頂點落在直尺的一邊上，其兩邊與直尺相交，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計算，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出，即可求出的度數(shù)，結(jié)合含角的三角尺即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，

，，，，由題意得，，故選：B．22．【黑龍江省哈爾濱市第三十九中學2023-2024學年七年級上學期期中數(shù)學試題】如圖，已知點C在點B的北偏西方向，點B在點A的北偏東方向，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，平角的定義，求出即可．【詳解】解：如圖，由題意，得：，

∴；故選C．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，是解題的關(guān)鍵．23．【湖北省來鳳縣實大接思四校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】將一副三角板如圖放置，使點A在上，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出，然后求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等．24．【山東省菏澤市牡丹區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，將一張長方形紙條沿折疊后，與交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)可得，利用平行線的性質(zhì)可得，則可求得，可求得，即可求的度數(shù)．【詳解】解：由題意得：，，，，，．故選：A【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．25．【甘肅省張掖市甘州區(qū)甘州區(qū)大成學校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，，平分，若，則（

）A．65° B．115° C．125° D．130°【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，以及角平分線平分角，即可得解．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴；故選A．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，以及角平分線平分角，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)求角度26．【湖北省隨州市廣水市西協(xié)作區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，作，可得，推出，再利用角的和差求解即可.【詳解】解：如圖，∵，∴，作，∵，∴，∴，∵，∴；故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、垂直的定義等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.27．【河南省洛陽市澗西區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】將一副三角板按如圖放置，其中，則下列結(jié)論正確的序號有（

）如果與互余，則；如果，則有；；如果，必有．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行逐一判斷即可．【詳解】解：與互余，，，，，與不平行，故錯誤，不符合題意；，，，故正確，符合題意；如圖，點在的延長線上，

，，又，，又，，故正確，符合題意；，，，，，，，，，，，故正確，符合題意；故選：C．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．28．【貴州省黔西南州義龍藍天學校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，直線，與直線、分別交于，，與直線，分別交于，，若，，則的度數(shù)為（

）．A．115° B．126° C．131° D．154°【答案】C【分析】過點作，得到，推出，進而求出的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角求出的度數(shù)即可．【詳解】解：過點作，

∵，∴，∴，∴，∴，∴；故選C．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過拐點作平行線．29．【福建省廈門市雙十中學海滄附屬學校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，直線，，已知，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵∴(同位角相等，兩直線平行)，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵，∴．【點睛】本題考查平行線，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．【陜西省榆林市橫山區(qū)橫山中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】已知，點是上一點，平分交于點．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，，，判斷與之間的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)．理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，再根據(jù)角平分線的定義，平分，得，平分，得，然后等量代換，根據(jù)平行線的判定即可．【詳解】（1）解：，．，．又平分，．，．（2）解：．理由：，．，．，．，．平分，．平分，，，．【點睛】本題主要考查了垂直定義和平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，能熟練地運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵．平行線中的證明與計算問題31．【福建省莆田市涵江區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中綜合評估數(shù)學試題】如圖，，分別是，的平分線，，求證：．【答案】見解析【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到，由平行線的判定得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：證明：，分別是，的平分線，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系；平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．32．【江西省贛州市定南縣第三中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，已知．(1)你添加一個已知條件后，能證出平分你添加的條件是．(2)寫出證明過程．【答案】(1)平分（答案不唯一）(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意添加條件平分即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，，證明，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：可以添加的條件是平分．故答案為：平分．（2）證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴平分．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．33．【四川省成都市成華區(qū)成都雙語實驗學校和悅分校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，已知點E、F在直線上，點G在線段上，與交于點H，，．(1)求證：；(2)若，求度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)等量關(guān)系得到，根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和鄰補角的定義即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．34．【北京市西城區(qū)三帆中學2022~2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖是一種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手與底座都平行于地面，前支架與后支架分別與交于點G和點D，與交于點N，．(1)求證：；(2)若平分，，求扶手與靠背的夾角的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）只需要證明即可證明；（2）先證明，進而利用平行線的性質(zhì)求出，則由角平分線的性質(zhì)得到，再求出的度數(shù)即可利用平角的定義求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴；（2）解：∵扶手與底座都平行于地面，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．35．【湖北省武漢市硚口區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試卷】如圖，三角形中，平分，，求證：平分．【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，，繼而得出，即可得證．【詳解】證明：如圖所示，∵平分，∴，∵，∴，∴∵∴，，∴，∴，∴平分．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．平行線中的拐點模型36．【廣東省汕尾市2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試卷】如圖，若，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，則∠α應(yīng)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】過點E作，過點G作，根據(jù)平行推理得到，結(jié)合平行線性質(zhì)得到角度關(guān)系即可得到答案；【詳解】解：如圖，過點E作，過點G作，∵，，，∴，∴，，，∴，，∴．故選D；【點睛】本題考查平行線性質(zhì)探究角度關(guān)系問題，解題的關(guān)鍵是作出輔助線結(jié)合平行線性質(zhì)得到角的關(guān)系．37．【廣東省惠州一中教育集團2022-2023學年七年級下學期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷】①如圖1，，則；②如圖2．，則；③如圖3，，則；④如圖4．，則．以上結(jié)論正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④【答案】C【分析】①過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③過點E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出結(jié)論；④先過點P作直線，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和同位角相等即可作出判斷．【詳解】解：①過點E作直線，

∵，∴，∴，，∴，故①錯誤；②過點E作直線，

∵，∴，∴，，∴，故②正確；③過點E作直線，

∵，∴，∴，，∴，即，故③正確；④如圖，過點P作直線，

∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，即，故④正確．綜上所述，正確的小題有②③④，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．38．【江西省南昌市第二中學2022—2023學年七年級下學期期中數(shù)學試卷】如圖已知：，，平分，，有以下結(jié)論：①；②；③；④，其中，正確的結(jié)論有．（填序號）【答案】①②③④【分析】根據(jù)平行公理判斷①；根據(jù)角平分線得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂線的定義分別得到，，進一步推出，可判斷②；結(jié)合，得到，根據(jù)兩式相減可判斷③；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)垂直得到，從而進一步推出，可判斷④．【詳解】解：，，，故①正確；平分，，，，（1），，（2），（1）（2）得，，故②正確；，，平分，，，（3），（1），（3）（1）得，，故③正確；，，，，，，，，，，故④正確．故正確的結(jié)論有：①②③④．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．39．【山東省淄博市周村區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題（五四學制）】閱讀下列材料：如圖，，，分別是，上的點，點在，之間，連接，我們可以通過作輔助線證明結(jié)論：．請你利用這個結(jié)論或證明思路，完成下列問題．已知，，分別是，上的點，點在，之間，連接，．(1)如圖，若，，請直接寫出的度數(shù)；(2)如圖，與的平分線交于點，用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖，與的平分線交于點，直接用等式表示與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可知，，可得，從而可得答案；（2）由（1）同理可得：，，再證明，，從而可得答案；（3）由（1）同理可得：，，再證明，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意知，，，，．．（2）解：由（1）同理可得，，與的平分線交于點，，，．∴．（3）解：由（1）同理可得，，與的平分線交于點，，，，．∴．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．一、單選題1．【廣東省深圳市南山第二外國語學校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試卷】下列說法中，正確的是（

）A．互為補角的兩個角可以都是銳角 B．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行C．同一平面內(nèi)，若且，則 D．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】B【分析】根據(jù)余角和補角，平行公理和推論，平行線的性質(zhì)，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A．互為補角的兩個角不可能都是銳角，故A不符合題意；B．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，故B符合題意；C．同一平面內(nèi)，若且，則，故C不符合題意；D．平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，余角和補角，平行公理和推論，熟練掌這些數(shù)學概念是解題的關(guān)鍵．2．【安徽省宿州市碭山鐵路中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，直線，在上任選一點E，將一直角三角板直角頂點放在E處，，當，此時的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點G作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，則，進而得出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點G作，則，

∵，∴，∴，∴．∴．∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補．3．【福建省福州現(xiàn)代中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，，OE平分，，，，則下列結(jié)論；①；②OF平分；③；④．其中正確結(jié)論的是（

）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得的度數(shù)，的度數(shù)；又由，即可求得的度數(shù)，得到平分，又由，即可求得與的度數(shù)．【詳解】解：，，，平分，；故①正確；，，，平分；故②正確；，，，，，；故③正確；，，，，，，，④錯誤，正確的有：①②③．故選：B．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、垂線的定義以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．【山東省青島市市北區(qū)2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】按如圖方式折疊一張對邊互相平行的紙條，是折痕，若，則以下結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)對各結(jié)論進行逐一分析，即可解答．【詳解】解：，，，①結(jié)論正確；由折疊可知，，，②結(jié)論錯誤；，，③結(jié)論正確；，且，，④結(jié)論正確；所以，以上結(jié)論正確的是①③④，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是平行線的性質(zhì)．5．【河北省石家莊市藁城區(qū)第一中學初中部和九門中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，已知，平分，，，，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到，再根據(jù)角平分線的定義可得，可判斷①；根據(jù)已知可得，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，繼而得到，再根據(jù)已知可得，繼而得到，可判斷③；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，得到，可判斷②；根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求得，繼而得到，再計算，可判斷④．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，故結(jié)論①正確；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故結(jié)論③正確；∵，∴，∴，∴，∴平分，故結(jié)論②正確；∵，，∴，∴，∵，∴，故結(jié)論④不正確，∴正確的結(jié)論有①②③．故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義．熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．【廣東省深圳市展華實驗學校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，已知，現(xiàn)將一直角放入圖中，其中，交于點E，交于點．若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角度和差即可求解，掌握作平行線的方法、平行線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過作，

∵，∴，∴，，∵，∴，故答案為：．7．【廣東省香港中文大學（深圳）附屬禮文學校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖所示，的兩邊均為平面反光鏡，在射線上有一點P，從點P射出一束光線經(jīng)上的點Q反射后，反射光線恰好與平行，已知，，則的度數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)恰好與平行，可得，，再利用，計算出的度數(shù)，即可解答，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：反射光線恰好與平行，，，，，故答案為：．8．【浙江省溫州市樂清市山海聯(lián)盟2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，已知，，平分，且交于點，則的度數(shù)為．【答案】【分析】由角平分線的性質(zhì)可求得的大小，再由平行線的性質(zhì)可得出與互補，可求出結(jié)論．【詳解】解：平分，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．9．【四川省成都市武侯區(qū)武侯區(qū)西川實驗學校2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】折紙是一門古老而有趣的藝術(shù)，現(xiàn)代數(shù)學家藤田文章和羽鳥公士郎甚至為折紙建立了一套完整的“折紙幾何學公理”．如圖，小明在課余時間拿出一張長方形紙片，他先將紙片沿折疊，再將折疊后的紙片沿折疊，使得與重合，展開紙片后測量發(fā)現(xiàn)，則．【答案】【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角之間的關(guān)系．由折疊的性質(zhì)可得，，，，由平行線的性質(zhì)可求得，，從而可求得，則有，由對頂角相等得，從而得．【詳解】解：由折疊得：，，，，是長方形，，，，，，，，，與重合，，，故答案為：三、解答題10．【黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)風華中學校2023-2024學年七年級上學期期中數(shù)學試題】如圖，已知，．(1)與平行嗎？請說明理由．(2)若平分，于點A，，求的度數(shù)．【答案】(1)與平行，理由見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，兩直線垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由可得，進一步可推得；（2）由角平分線的定義可得，結(jié)合（1）的結(jié)論可推得，根據(jù)兩直線垂直的定義可得，由此即得答案．【詳解】（1）與平行，理由如下：，，，，，；（2），，，平分，，，，，，．11．【陜西省西安高新第十二初級中學2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖，，與交于點，平分，．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（）根據(jù)垂直的定義和角平分線的定義進行解答即可；（）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】（1）∵，即，∴，∴∵平分，∴，∴；（2）∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．【點睛】此題考查了垂線的定義，角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用．12．【山東省濟寧市汶上縣2022-2023學年七年級下學期期中數(shù)學試題】如圖1，，點C在射線上，．(1)若，求的度數(shù)；(2)若把“”改為“”，將射線沿射線方向