專(zhuān)題07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型（解析版）

專(zhuān)題07三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專(zhuān)題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下圖是某工人加工的一個(gè)機(jī)器零件（數(shù)據(jù)如圖），經(jīng)過(guò)測(cè)量不符合標(biāo)準(zhǔn)．標(biāo)準(zhǔn)要求是：，且、、保持不變?yōu)榱诉_(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，工人在保持不變情況下，應(yīng)將圖中（填“增大”或“減小”）度．【答案】減小15【分析】延長(zhǎng)EF到H與CD交于H，先利用對(duì)頂角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出DCE=60°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠DHE=∠E+∠DCE=100°，∠DFE=∠D+∠DHF，由此求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EF到H與CD交于H，∵∠DCE=∠ACB=180°-∠A-∠B，∠A=70°，∠B=50°，∴∠DCE=60°，∴∠DHE=∠E+∠DCE=100°，∵∠DFE=∠D+∠DHF，∴∠D=∠DFE-∠DHF=120°-100°=20°，∴∠D從35°減小到20°，減小了15°，故答案為：減小，15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．例2．（2023春·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，求的度數(shù)．

【答案】【分析】連結(jié)，令與交于點(diǎn)，由三角形內(nèi)角和得，從而所求角的和轉(zhuǎn)化為求五邊形的內(nèi)角和問(wèn)題解決．【詳解】連結(jié)，如圖，

設(shè)與交于點(diǎn)，∵，，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和定理，通過(guò)轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·甘肅白銀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知線段、相交于點(diǎn)O，連接、.（1）求證：；（2）如圖2，與的平分線、相交于點(diǎn)P，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°和對(duì)頂角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由（1）的證明方法可得∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，根據(jù)AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC，得到∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，化簡(jiǎn)即可得到.【詳解】（1）證明：在圖1中，有∠A+∠C=180°-∠AOC，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）由（1）的證明方法可得：∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，∴化簡(jiǎn)可得：2∠P=∠B+∠C，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義．例4．（2023·成都市·八年級(jí)月考）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，且AC、BD相交于點(diǎn)O．求證：（1）；（2）．（1）在中，，在中，，兩不等式相加得，∴即 （2）應(yīng)用上題的結(jié)論：，，∴．例5．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)部校考期中）探究題(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，，，四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，若，的角平分線，交于點(diǎn)，則與，的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；(3)如圖3，，分別平分，，當(dāng)時(shí)，試求的度數(shù)（提醒：解決此問(wèn)題可以直接利用上述結(jié)論）；(4)如圖4，如果，，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2，設(shè)，，根據(jù)外角的性質(zhì)得：，，所以，最后由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；(3)如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，根據(jù)（2）的結(jié)論，并將，代入可得結(jié)論；（4）如圖4，同理計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）在中，，在中，，∵，∴故答案為：（2）設(shè)，，∵，分別平分，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：（3）由（2）可知：，∵，∴，∴，∴，（4）如圖4，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，設(shè)，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題．模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·廣西北?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角求得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求鄰補(bǔ)角，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·山東泰安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，EF與△ABC的邊BC，AC相交，則∠1+∠2與∠3+∠4的數(shù)量關(guān)系為(

)A．∠1+∠2>∠3+∠4B．∠1+∠2<∠3+∠4C．∠1+∠2=∠3+∠4D．?dāng)?shù)量關(guān)系取決于∠C的度數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及對(duì)頂角相等，即可得到∠1+∠2=∠3+∠4．【詳解】解：∵∠1+∠2=180°-∠C，∠3+∠4=∠CEF+∠CFE=180°-∠C，∴∠1+∠2=∠3+∠4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及對(duì)頂角相等，熟練掌握三角形內(nèi)角和是180°及對(duì)頂角相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·廣西·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點(diǎn)，連接，求證．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：和是的外角，．又，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說(shuō)明∠DBC+∠DCB=90°，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．例5．（2023秋·新疆阿克蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）探索歸納：(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如圖2，已知中，，剪去后形成四邊形，則度．(3)如圖2，根據(jù)上面的求解過(guò)程，猜想與的關(guān)系是．(4)如圖3，若沒(méi)有剪掉，而是把它折成如圖3的形狀，請(qǐng)猜想與的關(guān)系是．【答案】(1)D(2)240(3)(4)【分析】（1）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案（2）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案（3）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案（4）由三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，故選：D．（2）解：，，，故答案為：240．（3）解：，，，故答案為：．（4）解：連接，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角，關(guān)鍵是掌握三角形的外角的性質(zhì)．例6．（2023春·浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用“模型”解決幾何綜合問(wèn)題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問(wèn)題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案．【詳解】解：（1）如圖（4），由三角形外角的性質(zhì)可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案為：180°；（2）如圖（5），由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個(gè)圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·四川廣元·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，將一副三角板按如圖放置，有下列結(jié)論：①；②如果，則有；③如果，則有；④如果，必有．其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)三角板的性質(zhì)，得到對(duì)①可進(jìn)行判斷；先求出，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行對(duì)②進(jìn)行判斷；利用三角板性質(zhì)結(jié)合已知可求出的度數(shù)為，即可對(duì)③進(jìn)行判斷；先求出，根據(jù)利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：①，，，故①正確；②，，，，，，，故②正確；③如圖，，，，，，，與不垂直，故③錯(cuò)誤；

④，，，，，，故④正確，①②④正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角板的性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點(diǎn)E，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出的度數(shù)，再結(jié)合對(duì)頂角相等，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：在中，，，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角，牢記“三角形內(nèi)角和是”及“對(duì)頂角相等”是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一副三角尺按如圖所示疊放在一起，則圖中的度數(shù)為．【答案】15°/15度【分析】根據(jù)外角的性質(zhì)，，即可求得答案．【詳解】解：如圖，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．例4．（2023春·貴州遵義·八年級(jí)校聯(lián)考期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則．

【答案】【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和解答即可．【詳解】解：如圖可知：，，，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答．例5．（2023·甘肅慶陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀┮桓敝苯侨前灏凑杖鐖D所示放置，注意觀察和的數(shù)量關(guān)系.（1）如圖①，和的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖②，將兩個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)置于一點(diǎn)，無(wú)論如何旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)直角三角板（兩直三角板無(wú)重疊），和的數(shù)量關(guān)系是______；（3）如圖③，將兩個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)置于一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后使兩直三角板有重疊，請(qǐng)直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3），見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)平角的定義可求出和的數(shù)量關(guān)系；（2）利用周角的定義即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)求解即可.【詳解】（1）∵∠AOC+∠AOB+∠BOD=180°，又∠AOB=90°，∴.（2）∵∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠DOC=360°，又∠AOB=∠DOC=90°，∴.（3）.理由：因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題題考查了互補(bǔ)、互余的定義等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是理解重疊的部分實(shí)質(zhì)是兩個(gè)角的重疊．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（

）A．90° B．360° C．180° D．無(wú)法確定【答案】C【詳解】如圖，連接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故選：C．2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，解題關(guān)鍵在于根據(jù)四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解．3．（2023春·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，則的度數(shù)是．【答案】/360度【分析】如圖所示，與交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形的外角和的性質(zhì)可得，，由此可將轉(zhuǎn)化為求四邊形的內(nèi)角和，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，與交于點(diǎn)，連接，∴在中，，在中，，∴，∵，，∴，∵四邊形的內(nèi)角和為，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角和的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，°．【答案】180【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，由此不難證明結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠C＝180°，故答案為：180．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．5．（2023春·江西贛州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）一副直角三角板中，，，，現(xiàn)將直角頂點(diǎn)按照如圖方式疊放，點(diǎn)在直線上方，且，能使三角形有一條邊與平行的所有的度數(shù)為．

【答案】45°或135°或165°【分析】旋轉(zhuǎn)三角形，使其三邊分別與形成平行狀態(tài)，根據(jù)平行線的判定定理分情況討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，理由如下，如圖所示：

∵，，∴．又∵，∴；當(dāng)時(shí)，，理由如下，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，．理由如下：延長(zhǎng)AC交BE于F，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，綜上，三角形有一條邊與平行的所有∠ACE的度數(shù)的為：45°或135°或165°故答案為：45°或135°或165°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，三角形外角定理，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江寧波·七年級(jí)?？计谥校┮桓比前灏慈鐖D所示疊放在一起，其中點(diǎn)B、D重合，若固定三角形AOB，改變△ACD的位置（其中A點(diǎn)位置始終不變），使CDOB，則∠BAD＝【答案】15°或165°【分析】由平行內(nèi)錯(cuò)角相等得：∠AEC=∠B=45°，再由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得α=15°．【詳解】解：設(shè)∠BAD=α，∵CDOB，∴∠AEC=∠B=45°，∵∠D=30°，∴α=∠BAD=45°-30°=15°，∴當(dāng)α=15°時(shí)，CDOB，∴∠BAD=15°，當(dāng)CD在點(diǎn)A的上方時(shí)，DC邊與OB邊平行時(shí)，∴∠CEA=∠B=45°，∴∠DAE=∠CEA-∠D=45°-30°=15°，∴α=∠BAD=180°-15°=165°，∠BAD=135°+30°=165°，故答案為：15°或165°．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解答．7．（2023春·江蘇徐州·七年級(jí)期末）如圖，在四邊形紙片中，，若沿圖中虛線剪去，則°．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系可求解.【詳解】解：三角形的內(nèi)角和等于，，，.，.故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是明確三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系和三角形的內(nèi)角和等于的知識(shí)點(diǎn).8．（2023·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┨剿鳉w納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2=°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2=°．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過(guò)程，請(qǐng)你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是．【答案】270°/270度220°/220度180°+∠A【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫(xiě)出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°，∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案為：270°；（2）∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A=180°+40°=220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關(guān)系是：∠1+∠2=180°+∠A；證明：∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案為：180°+∠A．【點(diǎn)睛】主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理．熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．9.（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，度．【答案】360【分析】首先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：圖示這幾個(gè)角是一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：如圖，，，，故答案為：360．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外角以及四邊形的內(nèi)角和，正確掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2023春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)校考期中）如圖，．【答案】【分析】利用三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】如圖：∠1是△ADH的一個(gè)外角，∴∠1=∠A+∠D，同理：∠2=∠B+∠E，∠3=∠C+∠G，∠4=∠2+∠F，∵∠1+∠3+∠4=∠A+∠D+∠C+∠G+∠2+∠F=∠A+∠D+∠C+∠G+∠B+∠E+∠F=180，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180．故答案為：180．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·河北秦皇島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，則為.【答案】/55度【分析】由，可得，故，由三角形的外角的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．【詳解】解：由圖可得：是的外角，，，，，是的外角，，故填：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題關(guān)鍵．12．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角尺如圖擺放，其中，，，，則．

【答案】/165度【分析】利用三角形的外角性質(zhì)求得的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)．掌握“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·甘肅隴南·八年級(jí)校考期中）如圖，中，若圖中沿虛線剪去，則°．【答案】295【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，再利用四邊形的內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．【詳解】∵，，，，故答案為：295．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和，掌握三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，CE是的外角的平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：．(2)若，時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用外角的性質(zhì)，，，再利用角平分線的定義推出，通過(guò)等量代換即可求證；（2）先利用，，求出，進(jìn)而求出，再代入（1）中結(jié)論即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的外角，∴，∵是的外角，∴，∵CE是的平分線，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，解得．∵，∴，∴，由（1）知，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義，角平分線的定義等，牢固掌握上述知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，平分．(1)求證：．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)36°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等推知，于是；（2）由已知條件可導(dǎo)出，于是，由外角定理知，，設(shè)，在運(yùn)用內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∴．∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，由相關(guān)定理導(dǎo)出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問(wèn)題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時(shí)，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“8字形”共有6個(gè)；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進(jìn)而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點(diǎn)N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點(diǎn)M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個(gè)，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【點(diǎn)睛】此題也是屬于規(guī)律的題型，但也涉及到已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，讀懂題目是關(guān)鍵，融合已學(xué)知識(shí)，進(jìn)行運(yùn)用.17．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們將內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形稱為“對(duì)頂三角形”．例如，在圖中，△AOB的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對(duì)頂角，則與為“對(duì)頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對(duì)頂三角形”有如下性質(zhì)：．

(1)如圖1，在“對(duì)頂三角形”與中，若，則；(2)如圖2，在中，、分別平分和，若，比大，求的度數(shù)．(3)如圖3，、是的角平分線，且和的平分線和相交于點(diǎn)，設(shè)，直接寫(xiě)出的度數(shù)（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用對(duì)頂三角形的性質(zhì)求解即可；（2）利用對(duì)頂三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形進(jìn)行分析即可求解；（3）由題意得，再由角平分線的定義可求得：，，從而可求解即可．【詳解】（1）解：在“對(duì)頂三角形”與中，則，，故答案為：；（2）在中，，，、分別平分和，，，又，，；（3）在中，，，、是分別平分和，，，，和的平分線和相交于點(diǎn)，，，，，，，．即．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系，并熟記三角形的內(nèi)角和為．18．（2023·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┮阎涸诤椭校?，，將如圖擺放，使得的兩條邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C．(1)當(dāng)將如圖1擺放時(shí)，則______；(2)當(dāng)將如圖2擺放時(shí)，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)能否將擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得同時(shí)平分和？并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）要求的度數(shù)，只要求出，利用三角形內(nèi)角和定理得出；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，，得出；（2）要求的度數(shù)，只要求出的度數(shù)．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，，得出；（3）不能．假設(shè)能將擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得同時(shí)平分和．則，那么，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以不能．【詳解】（1）在中，∴在中，，∴，在中，，∴，∴，∴．故答案為：；（2）；理由如下：∵∴，∴==30°；（3）不能．假設(shè)能將擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得同時(shí)平分和．則，那么，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以不能．【點(diǎn)睛】此題考查三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)．熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇蘇州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）已