數(shù)學(xué)本章整合：第二章統(tǒng)計(jì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一三種抽樣方法的比較簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較如下表：類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體中個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分中抽取在第一組抽取樣本時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)很多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取在各層抽取樣本時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成研究統(tǒng)計(jì)問題的基本思想方法就是從總體中抽取樣本,用樣本估計(jì)總體,因此選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ǔ槿【哂写硇缘臉颖緦?duì)整個(gè)統(tǒng)計(jì)問題起著至關(guān)重要的作用．高考中主要考查三種抽樣方法的比較和辨析以及應(yīng)用．eq\x(應(yīng)用）某高級(jí)中學(xué)有學(xué)生270人,其中一年級(jí)108人,二、三年級(jí)各81人．現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查,考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1,2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí),將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)為1,2，…,270，并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段．如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：①7,34，61,88,115,142,169,196，223,250；②5,9,100,107，111,121,180,195,200,265；③11,38，65,92，119，146，173，200，227,254；④30，57,84,111,138，165,192，219，246,270.關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是()A．②③都不能為系統(tǒng)抽樣B．②④都不能為分層抽樣C．①④都可能為系統(tǒng)抽樣D．①③都可能為分層抽樣提示：分層抽樣時(shí)，在各層所抽取的樣本個(gè)數(shù)與該層個(gè)體數(shù)的比值等于抽樣比；系統(tǒng)抽樣抽取的號(hào)碼按從小到大排列后，每一個(gè)號(hào)碼與前一個(gè)號(hào)碼的差都等于分段間隔．解析:按分層抽樣時(shí),在一年級(jí)抽取108×eq\f(10，270)＝4（人）,在二年級(jí)、三年級(jí)各抽取81×eq\f（10,270)＝3(人）,則在號(hào)碼段1，2,…，108中抽取4個(gè)號(hào)碼，在號(hào)碼段109，110,…，189中抽取3個(gè)號(hào)碼，在號(hào)碼段190,191，…,270中抽取3個(gè)號(hào)碼，①②③符合，所以①②③可能是分層抽樣，④不符合，所以④不可能是分層抽樣；如果按系統(tǒng)抽樣時(shí),抽取出的號(hào)碼應(yīng)該是“等距"的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能為系統(tǒng)抽樣，②④都不能為系統(tǒng)抽樣．答案：D專題二用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布通常利用樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖對(duì)總體情況作出估計(jì)，有時(shí)也利用頻率分布折線圖和莖葉圖對(duì)總體情況作出估計(jì)．頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在頻率分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式，這樣根據(jù)樣本的頻率分布,我們就可以大致估計(jì)出總體的分布．eq\x(應(yīng)用)某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某段時(shí)間內(nèi)有2000輛車通過該站，現(xiàn)隨機(jī)抽取其中的200輛進(jìn)行車速分析，分析結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖．則圖中a＝__________，估計(jì)在這段時(shí)間內(nèi)通過該站的汽車中速度不小于90km/h的約有__________輛．解析：在頻率分布直方圖中，(0。04＋0。025＋a＋0。01＋0.005)×10＝1，解得a＝0。02，由題圖可估計(jì)，速度不小于90km/h的汽車通過的頻率為（0。025＋0。005)×10＝0。3，則估計(jì)在這段時(shí)間內(nèi)通過該站的汽車中速度不小于90km/h的汽車的輛數(shù)為0.3×2000＝600。答案：0.02600專題三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征對(duì)總體的數(shù)字特征作出估計(jì)．眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值;中位數(shù)就是把樣本數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到?。┑捻樞蚺帕?，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，就是處于中間位置的數(shù)；若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),就是中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．平均數(shù)就是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值，用eq\x\to(x)表示；標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本數(shù)據(jù)分散程度大小的最常用統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算公式如下：s＝eq\r（\f（1,n）［（x1－\x\to(x））2＋（x2－\x\to(x))2＋…＋（xn－\x\to（x)）2]）。有時(shí)也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2-—方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，實(shí)質(zhì)一樣．eq\x（應(yīng)用1）對(duì)某種花卉的開放花期追蹤調(diào)查，調(diào)查情況如下：花期/天11～1314~1617～1920～22個(gè)數(shù)20403010則這種花卉的平均花期約為__________天．解析：由題中表格可知，花期在11～13天的花卉個(gè)數(shù)為20，估計(jì)花期在11～13天的花卉的總花期天數(shù)為12×20＝240;花期在14~16天的花卉個(gè)數(shù)為40，估計(jì)花期在14～16天的花卉的總花期天數(shù)為15×40＝600；花期在17~19天的花卉個(gè)數(shù)為30,估計(jì)花期在17～19天的花卉的總花期天數(shù)為18×30＝540；花期在20～22天的花卉個(gè)數(shù)為10，估計(jì)花期在20~22天的花卉的總花期天數(shù)為21×10＝210，綜上所述，此種花卉的總花期數(shù)為240＋600＋540＋210＝1590,所以這種花卉的平均花期為eq\f(1590,100）＝15。9，所以這種花卉的平均花期約為16天．答案:16eq\x（應(yīng)用2）某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn)，他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的8次測(cè)試成績(jī)記錄如下:甲:9582888193798478乙：8392809590808575試比較哪個(gè)工人的成績(jī)較好．提示:成績(jī)較好要從兩方面來分析，一是平均成績(jī)比較高，二是成績(jī)波動(dòng)比較?。猓篹q\x\to(x甲）＝eq\f(1,8）(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95）＝85,eq\x\to(x乙）＝eq\f（1,8)（75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85。＝eq\f（1,8）[（78－85）2＋(79－85)2＋(81－85）2＋（82－85）2＋(84－85)2＋（88－85）2＋(93－85)2＋(95－85）2］＝35。5,＝eq\f(1,8）［(75－85）2＋(80－85)2＋（80－85）2＋（83－85)2＋（85－85)2＋（90－85)2＋(92－85）2＋（95－85)2]＝41?！遝q\x\to（x甲)＝eq\x\to(x乙)，,∴甲的成績(jī)較穩(wěn)定．綜上可知，甲的成績(jī)較好．專題四頻率分布直方圖和莖葉圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用（1)利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征．①眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)．②中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等．③平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．④中間小矩形最高,兩側(cè)小矩形較矮，說明方差、標(biāo)準(zhǔn)差較小，這組數(shù)據(jù)比較集中；反之，中間小矩形較矮，兩側(cè)小矩形較高,說明方差、標(biāo)準(zhǔn)差較大，這組數(shù)據(jù)比較分散．說明：利用直方圖求出的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致,但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．(2）利用莖葉圖估計(jì)數(shù)字特征．方法一，根據(jù)莖葉圖讀出所有數(shù)據(jù)，并根據(jù)定義，求出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的大??；方法二，粗略估計(jì)：①每個(gè)葉上出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，其對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是眾數(shù)；②每個(gè)葉上的數(shù)字按由小到大排列，位于“中間”的數(shù)字，其對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是中位數(shù)；③位于“中間”葉上的數(shù)字，其對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是平均數(shù)；④“葉”越集中，說明數(shù)據(jù)越集中，方差、標(biāo)準(zhǔn)差越小；“葉"越分散，說明數(shù)據(jù)越分散，方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大．eq\x（應(yīng)用1)某班甲乙兩名學(xué)生進(jìn)入高三以來5次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的莖葉圖如圖所示,甲乙兩人5次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的中位數(shù)分別為________、________；平均數(shù)分別為________、________。解析:甲同學(xué)5次數(shù)學(xué)考試成績(jī)分別是76,83，84,87，90，乙同學(xué)5次數(shù)學(xué)考試成績(jī)分別是79，80，82,88,91，可知甲乙兩人5次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的中位數(shù)分別為84，82，甲同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)eq\x\to(x甲)＝eq\f(76＋83＋84＋87＋90,5)＝84，乙同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)eq\x\to（x乙)＝eq\f(79＋80＋82＋88＋91，5）＝84.答案：84828484eq\x（應(yīng)用2)某校高中年級(jí)開設(shè)了豐富多彩的課外活動(dòng)課程,甲、乙兩班各隨機(jī)抽取了5名學(xué)生課外活動(dòng)課程的學(xué)分,用莖葉圖表示(如圖)．s1,s2分別表示甲、乙兩班各隨機(jī)抽取的5名學(xué)生學(xué)分的標(biāo)準(zhǔn)差，則s1__________s2（填“＞”“＜”或“＝”）．解析：甲班5名學(xué)生的學(xué)分分別是8,11,14，15,22，則平均數(shù)eq\x\to(x甲）＝eq\f(8＋11＋14＋15＋22，5)＝14，s1＝eq\r（\f（（8－14）2＋（11－14)2＋（14－14)2＋（15－14)2＋(22－14）2，5))＝eq\r(22),乙班5名學(xué)生的學(xué)分分別是6，7，10，13，14,eq\x\to（x乙）＝eq\f(6＋7＋10＋14＋13，5）＝10，s2＝eq\r(\f((6－10)2＋(7－10）2＋(10－10)2＋（13－10）2＋（14－10）2,5））＝eq\r（10)，所以s1＞s2.答案：＞eq\x(應(yīng)用3)從高三年級(jí)抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖所示的頻率分布直方圖．由于一些數(shù)據(jù)丟失,試?yán)妙l率分布直方圖估計(jì)：（1）這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)；(2）這50名學(xué)生的平均成績(jī)．解：(1)最高矩形的高是0.03，其底邊中點(diǎn)是eq\f(70＋80，2）＝75，則這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)估計(jì)是75分．頻率分布直方圖中，從左到右前3個(gè)和前4個(gè)矩形的面積和分別是（0.004＋0.006＋0。02）×10＝0。3＜0。5，（0.004＋0。006＋0。02＋0.03)×10＝0。6＞0.5，設(shè)中位數(shù)是m，則70＜m＜80,則0。3＋（m－70)×0.03＝0.5,解得m≈7