甘肅省禮縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

禮縣第一中學(xué)2024學(xué)年高二第一次月考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，，，則（）A. B.C. D.2.一組數(shù)據(jù)23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位數(shù)是（）A.14 B.15 C.23 D.253.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.4.若角滿足，則（）A. B. C. D.5.直線關(guān)于對稱的直線方程為（）A. B. C. D.6.小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為，，，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為，則他三道題都答錯的概率為（）A. B. C. D.7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，分別是所在棱的中點，則下列3個直觀圖中滿足的有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個8.在中，，，是的外心，則的最大值為（）A.2 B.C. D.4二?多選題9.已知事件A、B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若A與B相互獨立，則 B.若，則事件A與相互獨立C.若A與B互斥，則 D.若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則10.已知圓：與圓：的一個交點為，動點的軌跡是曲線，則下列說法正確的是（）A.曲線的方程為B.曲線的方程為C.過點且垂直于軸的直線與曲線相交所得弦長為D.曲線上的點到直線的距離的最大值為11.已知四棱柱的底面是邊長為6的菱形，平面，，，點P滿足，其中，，，則（）A.當(dāng)P為底面的中心時，B.當(dāng)時，長度的最小值為C.當(dāng)時，長度的最大值為6D.當(dāng)時，為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，兩點到直線的距離相等，則__________．13.已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為__________．14.如圖，設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為______.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面內(nèi)兩點，．（1）求過點且與直線垂直的直線的方程．（2）若是以為頂點的等腰直角三角形，求直線的方程．16.甲、乙、丙三人打臺球，約定：第一局由甲、乙對打，丙輪空；每局比賽的勝者與輪空者進行下一局對打，負者下一局輪空，如此循環(huán).設(shè)甲、乙、丙三人水平相當(dāng)，每場比賽雙方獲勝的概率都為.（1）求甲連續(xù)打四局比賽的概率；（2）求在前四局中甲輪空兩局的概率；（3）求第四局甲輪空的概率.17.某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)文化知識競賽”，高二年級學(xué)生參加了這次競賽.為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計.將成績進行整理后，分為五組（，，，，），其中第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積.請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：（1）若根據(jù)這次成績，年級準備淘汰60%的同學(xué)，僅留40%的同學(xué)進入下一輪競賽，請問晉級分數(shù)線劃為多少合理？（2）從樣本數(shù)據(jù)在，兩個小組內(nèi)的同學(xué)中，用分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)，再從這6名同學(xué)中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率．（3）某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分數(shù)：，已知這10個分數(shù)的平均數(shù)，標(biāo)準差，若剔除其中的96和84兩個分數(shù)，求剩余8個分數(shù)的平均數(shù)與方差．18.已知P(，)是橢圓C：(a>b>0)上一點，以點P及橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形面積為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；（2）過F2作斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，M是l1與C兩交點的中點，N是l2與C兩交點的中點，求△MNF2面積的最大值．19.已知動直線與橢圓：交于，兩點，且的面積，其中為坐標(biāo)原點.（1）證明：和均為定值；（2）設(shè)線段的中點為，求的最大值；（3）橢圓上是否存在三點D，E，G，，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由.1.D因為全集，，所以，又因為，.故選：D.2.D把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.因為，上四分位數(shù)是.故選：D3.B設(shè)圓錐的底面半徑為r，由于圓錐的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的高為，母線長為2r，又軸截面面積為，故，則該圓錐的表面積為，故選：B4.B由，得，即，則所以.故選：B5.C取直線關(guān)于對稱的直線上任意一點，易知點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為，由點在直線上可知，即.故選C.6.C記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨立，且.恰好能答對兩道題事件，且兩兩互斥，所以，整理得，他三道題都答錯為事件，故.故選：C.7.B在從左往右第一個圖中，因為，所以，因側(cè)棱垂直于底面，所以面，如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因為分別是所在棱的中點，所以所以，，故，即得證，在從左往右第二個圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，此時，所以，，故，所以不垂直，在從左往右第三個圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，此時，故，，即，所以不垂直，則下列3個直觀圖中滿足的有個，故B正確.故選：B8.B設(shè)角所對的邊分別為，，，因為是的外心，記中點為，則有，即，可得，在中，由正弦定理可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：B.9.ABD對于A，若A與B相互獨立，則，所以，故A對；對于B，因，，則，因為，所以事件與相互獨立，故B對；對于C，若A與B互斥，則，故C錯；對于D，若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則，則，故D對．故選：ABD10.BCD對A選項與B選項，由題意知圓與圓交于點，則，，所以，所以點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，且，，即，，所以，所以曲線的方程為，故A選項錯誤，B選項正確；對C選項，通徑的長度為，故C選項正確；對D選項，設(shè)與直線平行的直線為，，將與聯(lián)立得，令，解得，此時直線與橢圓相切，當(dāng)時，切點到直線的距離最大，直線的方程為，此時兩平行線的距離為，故曲線上的點到直線的距離的最大值為，故D選項正確.故選BCD.11.BCD對于A，當(dāng)為底面的中心時，由，則故，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，取最小值為，故B正確;對于C，當(dāng)時，，則點在及內(nèi)部，而是以為球心，以為半徑的球面被平面所截圖形在四棱柱及內(nèi)的部分，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得最大值為，故C正確；對于D，，，而，所以，則為定值，故D正確.故答案選：BCD.12.1或2由題意可得：，即，可得或，解得或.故答案為：1或2.13.由題意設(shè)三棱臺為，如圖，上底面所在平面截球所得圓的半徑是，為上底面截面圓的圓心下底面所在平面截球所得圓的半徑是，為下底面截面圓的圓心由正三棱臺的性質(zhì)可知，其外接球的球心在直線上，當(dāng)在線段上時，軸截面中由幾何知識可得，無解；當(dāng)在的延長線上時，可得，解得，因此球的表面積是．故答案為：連接，，由點在以為直徑的圓上，故.又，在橢圓上，故有，.設(shè)，則，，，.在中，由勾股定理得，解得，于是，，故.15.（1）由題意得，則直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線的方程為：，即．（2）的中點坐標(biāo)為，由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，即．因為是以為頂點的等腰直角三角形，所以點在直線上，故設(shè)點為，由可得：，解得或，所以點坐標(biāo)為或，則直線的方程為或．16.（1）若甲連續(xù)打四局，根據(jù)比賽規(guī)則可知甲前三局都要打勝，所以甲連續(xù)打四局比賽的概率；（2）在前四局中甲輪空兩局的情況為，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，故在前四局中甲輪空兩局的概率；（3）甲第四輪空有兩種情況：第1種情況，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，第2種情況，第一局甲勝，第二局甲勝，第三局甲敗，第四局輪空，第1種情況的概率；第2種情況的概率；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲輪空的概率為.17.（1）由第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積可知，，解得，又，解得，所以，，成績落在內(nèi)的頻率為：，落在內(nèi)的頻率為：，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，所以晉級分數(shù)線劃為73分合理；（2）由圖可知，按分層抽樣法，兩層應(yīng)分別抽取4人和2人，分別記為，，，和，，則所有的抽樣有：，共15個樣本點，“抽到的兩位同學(xué)來自不同小組”，則共8個樣本點，所以.（3）因為，所以，所以，所以，剔除其中的96和84兩個分數(shù)，設(shè)剩余8個數(shù)為，，，…，，平均數(shù)與標(biāo)準差分別為，，則剩余8個分數(shù)的平均數(shù)：，方差：18.（1）由題意可得，解得：，，∴橢圓的標(biāo)準方程為：；（2）由(1)可得右焦點，由題意設(shè)直線的方程為：，設(shè)直線與橢圓的交點，，，，則中點的縱坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得：，，∴，同理可得直線與橢圓的交點的縱坐標(biāo)，∴，設(shè)，令，則，令，，，，恒成立，∴在，單調(diào)遞增，∴．∴面積的最大值為：．19.（1）（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時，，兩點關(guān)于軸對稱，所以，，因為在橢圓上，所以，①又因為，所以，②由①②得，，此時，.（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由題意知，將其代入得，其中，即，（*）又，，所以，因為點到直線的距離為，所以，又，整理得，且符合（*）式，此時，，綜上所述，，，結(jié)論成立。（2）解法一：（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時