廣東省梅州市梅縣東山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期月考（一） 數(shù)學(xué)試卷

東山中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二第一學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)試題說(shuō)明：1．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。2．填空題直接把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)橫線上。3．試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．點(diǎn)到直線的距離為（）A．B．C．D．2．已知直線的傾斜角為，若直線過(guò)點(diǎn)，且與直線的傾斜角互余，則直線的方程為（）A．B．C．D．3．已知，與的夾角為，則（）A．B．C．D．4．已知直線，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．B．C．D．5．如圖在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，，則這個(gè)二面角的度數(shù)為（）A．B．C．D．6．己知直線與的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A．B．C．D．7．已知P為平行四邊形ABCD外的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．與是共線向量B．與同向的單位向量為C．與夾角的余弦值為D．平面PBD的一個(gè)法向量為8．己知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，的最小值為（）A．B．C．D．5二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．若三條直線可以圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)a的值可以為（）A．B．0C．1D．310．下列說(shuō)法正確的是（）A．若直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直B．若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若點(diǎn)P滿足，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若為空間的一個(gè)基底，則不可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底11．如圖，在多面體ABCDES中，平面ABCL，四邊形ABCD是正方形，且，，M，N分別是線段BC，SB的中點(diǎn)，Q是線段DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)D，C），則下列說(shuō)法正確的是（）A．存在點(diǎn)Q，使得B．存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線DC與平面QMN所成的角逐漸增大三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于上平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．13．在中，己知，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_________．14．空間四邊形ABCD中，，且異面直線AD與BC成，求異面直線AB與CD所成角的余弦值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）已知直線和直線的交點(diǎn)為P．（1）求過(guò)點(diǎn)P且與直線平行的直線方程；（2）若點(diǎn)P到直線距離為，求m的值．16．（15分）如圖，在空間四邊形OABC中，，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，設(shè)．（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值．17．（15分）己知的三個(gè)頂點(diǎn)是．（1）求邊AC上的高所在直線的方程；（2）求的角平分線所在直線的方程．18．（17分）如圖，等腰梯形ABCD中，，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置，且．（1）證明：平面平面ACD；（2）若M為PD上的一點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ACM的距離為，求平面ACM與平面ACD夾角的余弦值．19．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)，寬，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，如下圖所示．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．（I）求折疊前直線AC與直線BD所成角隊(duì)銳角）的余弦值；（II）若折痕所在直線的斜率為k，求折痕所在直線的方程（用斜率k表示）；（III）求折痕的長(zhǎng)的最大值．可能用到的結(jié)論：函數(shù)在上遞減，在上遞增．

東山中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二第一學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.題號(hào)12345678答案BBCCBDCD二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。題號(hào)91011答案BDABDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。題號(hào)121314答案四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．解：（1）聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)3分又所求直線與直線平行，所以所求直線的斜率為5分則所求的直線方程為：，即．7分（2）點(diǎn)P的距離為，解方程可得．13分16．解（1），，故，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，故．7分（2）由題意得，故，故．15分17．解：（1）設(shè)AC邊上的高所在直線的斜率為k，直線AC的斜率，所以，所以，故所求直線方程為，即．6分（2）由題意得，所以，則為等腰三角形，BC的中點(diǎn)為，故，由等腰三角形的性質(zhì)知，AD為的平分線，故所求直線方程為，即．15分18．解：（1）在梯形ABCD中，取AD中點(diǎn)N，連接CN，四邊形ABCN為平行四邊形，，；平面PAC，平面PAC，平面ACD，平面平面ACD．6分（2）分別取AC，AD中點(diǎn)O，G，連接PO，OG，，O為AC中點(diǎn)，，又平面平面ACD，平面平面，平面PAC，平面ACD，O，G分別為AC，AD中點(diǎn)，平面PAC，8分則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，9分則，，設(shè)，則，設(shè)平面ACM的法向量，則，解得12分點(diǎn)P到平面ACM的距離，解得：；14分平面軸，平面ACD的一個(gè)法向量，15分，16分所以，平面ACD與平面ACM夾角的余弦值為17分19．解：（I）法一：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則．在中，，在中，由余弦定理得，故直線AC與直線BD所成角的余弦值為．4分法二：由題設(shè)得．，，故直線AC與直線BD所成角的余弦值為．4分法三：由題設(shè)得．，，，故直線AC與直線BD所成角的余法弦為4分（II）①當(dāng)時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程．5分②當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為，所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱(chēng)，有，即．故G點(diǎn)坐標(biāo)為從而折痕所在的直線與AG的交點(diǎn)坐標(biāo)（即線段AG的中點(diǎn)）為．折痕所在的直線方程，即．由①②得折痕所在的直線方程為．9分（II）（i）當(dāng)時(shí)，折痕的長(zhǎng)為2；10分（ii）當(dāng)時(shí)，①如下圖，折痕所在的直線與邊AD．BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為．這時(shí)．12分②如下圖，折痕所在的直線與邊AD、AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為．這時(shí)．令，其中，則，令．函數(shù)在上遞減，在上遞增．在上遞減，在上遞增．．，即14分③如下圖，折痕所在的直線與邊CD、AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為．這時(shí)．16分綜上述，即折痕的長(zhǎng)度平方的最大值為，所以折痕的長(zhǎng)度的最大值．17分（不化簡(jiǎn)不扣分）部分小題詳解：6．【解析】由題意可得，兩條直線不平行，故它們的斜率不相等，即，由，解得，兩直線的交點(diǎn)在第四象限，則有，解得或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為．故選：D．8．【解折】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為C，因?yàn)橹本€的方程為，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形AMNC為平行四邊形，所以,所以,又，當(dāng)且僅當(dāng)C，N，B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)N為線段CB與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為5，故選：D．10．【解析】對(duì)A，由題意知，所以直線l與m垂直，故A正確；對(duì)B，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則共面，因?yàn)?，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)C，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則且，而，可知，所以P，A，B，C不共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，不能做為基底，則線性相關(guān)，假設(shè)存在m，n使得，化簡(jiǎn)解之可得，則不可作為基底，故D正確．故選：ABD．11．【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，；對(duì)于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，又，所以，解得，即點(diǎn)Q與D重合時(shí)，，A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線NQ與SA所成的角為，因?yàn)椋?，方程無(wú)解；所以不存在點(diǎn)Q，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接AQ，AM，AN，設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，取得最大值2