蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步精講精練1.4用一元二次方程解決問題(八大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》1.4用一元二次方程解決問題知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)列一元二次方程解決問題的一般步驟(1)“審”：即審題，讀懂題意弄清題中的已知量和未知量；(2)“設(shè)”：即設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種；(3)“列”：即根據(jù)題中等量關(guān)系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的根；(5)“檢驗(yàn)”：即驗(yàn)證根是否符合題意；(6)“答”：即回答題目中要解決的問題．【注意】（1）設(shè)元時(shí)，可以問什么設(shè)什么（直接設(shè)元），也可設(shè)一個(gè)與問題有關(guān)聯(lián)且方便列方程的量（間接設(shè)元）．（2）對(duì)求出的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否為原問題的解以及是否符合題意，檢驗(yàn)一般只寫出驗(yàn)根后的結(jié)果，過程可以不必詳細(xì)，但此步驟必不可少，一定要充分利用題目中的條件把不符合題意的根設(shè)去.題型一增長(zhǎng)率問題題型一增長(zhǎng)率問題【例題1】（2022秋?安次區(qū)期末）某種品牌的手機(jī)經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由3200元降到了2500元，設(shè)平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是（）A．2500（1+x）2＝3200 B．2500（1﹣x）2＝3200 C．3200（1﹣x）2＝2500 D．3200（1+x）2＝2500解題技巧提煉平均增長(zhǎng)（降低）率問題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原有量是a，現(xiàn)有量是b,每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即原有量×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝現(xiàn)有量．平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x為減低率）【變式1-1】（2023?廬陽區(qū)校級(jí)三模）某工廠計(jì)劃用兩年時(shí)間使產(chǎn)值增加到目前的4倍，并且使第二年增長(zhǎng)率是第一年增長(zhǎng)率的2倍，設(shè)第一年增長(zhǎng)率為x，則可列方程得（）A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4 C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝4【變式1-2】（2022?渝北區(qū)校級(jí)模擬）某商場(chǎng)一月份的營(yíng)業(yè)額為400萬元，第一季度（包含一月、二月和三月）的營(yíng)業(yè)額共1800萬元，設(shè)該商場(chǎng)每月營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A．400（1+x）2＝1800 B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800 C．400×3+400x2＝1800 D．400+400×3x＝1800【變式1-3】（2022秋?平陰縣期末）某商品經(jīng)過兩次連續(xù)提價(jià)，每件售價(jià)由原來的100元上漲到了121元．設(shè)平均每次漲價(jià)的百分率為x，則x是．【變式1-4】（2023?德慶縣一模）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛，我國(guó)新能源汽車近幾年出口量逐年增加，2020年出口量為20萬臺(tái)，2022年出口量增加到45萬臺(tái)．（1）求2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長(zhǎng)率是多少？（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)速度，預(yù)計(jì)2023年我國(guó)新能源汽車出口量為多少？【變式1-5】（2023春?華龍區(qū)校級(jí)月考）受益于國(guó)家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”倡議等多重利好因素，我國(guó)某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤(rùn)逐年增高，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年利潤(rùn)為2億元，2021年利潤(rùn)為2.88億元．（1）求該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率；（2）若2022年保持前兩年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率不變，該企業(yè)2022年的利潤(rùn)能否超過3.4億元？題型二傳播問題題型二傳播問題式有意義的條件【例題2】在畢業(yè)季，某班同學(xué)互贈(zèng)畢業(yè)禮物，若每?jī)晌煌瑢W(xué)之間互贈(zèng)一件禮物，據(jù)統(tǒng)計(jì)，全班共贈(zèng)送了2070件禮物，請(qǐng)問這個(gè)班有多少位同學(xué)？解題技巧提煉◆傳播問題：對(duì)于傳播問題，應(yīng)弄清傳染源對(duì)應(yīng)的基數(shù)及每輪傳播后的總量．設(shè)a為傳染源數(shù)，x為每個(gè)傳染源傳播的個(gè)數(shù)，則傳播兩輪后感染的總個(gè)數(shù)為a(1+x)2．◆握手問題：假設(shè)有x個(gè)人，每個(gè)人都要和除自己外的（x﹣1）個(gè)人握手，則所有人需要握手的次數(shù)為．【變式2-1】（2022春?龍口市期中）一次座談會(huì)上，每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都互相握手一次，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，一共握手36次，則這次會(huì)議與會(huì)人數(shù)是共人．【變式2-2】（2023?富錦市校級(jí)二模）某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的1個(gè)主干上長(zhǎng)出x個(gè)枝干，每個(gè)枝干上再長(zhǎng)出x個(gè)小分支．若在一個(gè)主干上的主干，枝干和小分支的數(shù)量之和是57個(gè)，則x等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-3】（2023?臨潼區(qū)三模）春節(jié)過后，甲型流感病毒（以下簡(jiǎn)稱：甲流）開始悄然傳播，某辦公室最初有三人同時(shí)患上甲流，經(jīng)過兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有27人確診甲流，請(qǐng)問在兩輪傳染過程中，平均一人會(huì)傳染給幾個(gè)人？【變式2-4】（2023春?廬陽區(qū)校級(jí)期中）隨著通信事業(yè)的日益發(fā)達(dá)，信息傳播越來越快捷，如果有一個(gè)人收到一條信息后，轉(zhuǎn)發(fā)了此信息，收到轉(zhuǎn)發(fā)的信息的人中有13【變式2-5】（2022秋?昭通期中）新年到了，為增進(jìn)同學(xué)友誼，某班主任規(guī)定本班同學(xué)間，每?jī)蓚€(gè)人必須相互通電話1次．（1）若本班人數(shù)為20，則共通話次，若本班人數(shù)為n（n≥2，且n為正整數(shù)），則共通話次；（2）若同學(xué)們共通話1225次，求該班同學(xué)的人數(shù)；（3）王峰同學(xué)由打電話問題想到了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：若線段AB上共有m個(gè)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），線段總數(shù)為多少呢？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．題型三面積問題----幾何圖形的問題題型三面積問題----幾何圖形的問題綜合應(yīng)用【例題3】（2022秋?鞍山期末）如圖1，將一張寬10cm的矩形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分（兩個(gè)正方形，兩個(gè)矩形）之后，恰好折成如圖2的底面為正方形的有蓋紙盒（底面積大于側(cè)面積），紙盒側(cè)面積為32cm2，求該有蓋紙盒的底面邊長(zhǎng)．（單位：cm）解題技巧提煉根據(jù)把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的規(guī)則圖形從而列出一元二次方程．【變式3-1】（2023春?金寨縣期末）用一條長(zhǎng)50cm的繩子圍成一個(gè)面積為100cm2的矩形，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x（50﹣x）＝100 B．x（25﹣x）＝100 C．x（50+x）＝100 D．x（25+x）＝100【變式3-2】（2023?和平區(qū)模擬）南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問長(zhǎng)闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬的和是60步，問它的長(zhǎng)和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為x步，根據(jù)題意可以列方程為（）A．x2﹣60x﹣864＝0 B．x（x+60）＝864 C．x2﹣60x+864＝0 D．x（x+30）＝864【變式3-3】（2023?青海模擬）一塊矩形菜地的面積是120m2，如果它的長(zhǎng)減少2m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長(zhǎng)是m．【變式3-4】（2023春?舒城縣校級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)為10cm，寬為8cm，現(xiàn)在它的四個(gè)角上剪去邊長(zhǎng)為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋的長(zhǎng)方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【變式3-5】（2022秋?南岸區(qū)期末）如圖，一個(gè)長(zhǎng)為acm，寬為bcm的矩形鐵片．（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一個(gè)200cm2的矩形后，成為一個(gè)各條邊一樣寬的鐵框，求這個(gè)鐵框的寬度；（2）如果a＝2b，在四個(gè)角上分別裁掉四個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形，把它制作成一個(gè)體積為4576cm3的無蓋長(zhǎng)方體，求原矩形的面積．題型四面積問題----邊框與甬道問題題型四面積問題----邊框與甬道問題綜合應(yīng)用【例題4】（2022秋?中山市期末）如圖，矩形ABCD是一塊長(zhǎng)16米、寬12米的荒地，要在這塊荒地上建造一個(gè)矩形花園EFGH，在花園的外圍是寬度相等的小路．要使花園所占面積為荒地面積的一半，則小路的寬為多少米？解題技巧提煉根據(jù)把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的規(guī)則圖形從而列出一元二次方程．【變式4-1】（2022秋?成武縣校級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)為30m，寬20m的矩形田地中開辟兩條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為551m2，求道路的寬度．設(shè)道路的寬度為xm，則可列方程（）A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551 C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551【變式4-2】（2022秋?遵義期末）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為60m，寬為40m的矩形場(chǎng)地內(nèi)修筑兩條等寬的道路，剩余部分為綠化用地，如果綠化用地的面積為2204m2，那么道路的寬為m．【變式4-3】（2022秋?中寧縣期末）某校學(xué)生會(huì)組織周末愛心義賣活動(dòng)，義賣所得利潤(rùn)將全部捐獻(xiàn)給希望工程，活動(dòng)選在一塊長(zhǎng)40米、寬28米的矩形空地上．如圖，空地被劃分出6個(gè)矩形區(qū)域，分別擺放不同類別的商品，區(qū)域之間用寬度相等的小路隔開，已知每個(gè)區(qū)域的面積均為128平方米，小路的寬應(yīng)為多少米？【變式4-4】（2023春?合肥期末）某工廠利用空地新建一個(gè)長(zhǎng)方形電動(dòng)車棚，其中一面靠院墻，如圖1，這堵墻的長(zhǎng)度為10米．已知現(xiàn)有的木板材料（圖中細(xì)線部分）可新建圍墻26米，同時(shí)在與院墻平行的一面開一個(gè)2米寬的門，設(shè)該長(zhǎng)方形電動(dòng)車棚與院墻垂直的一邊長(zhǎng)為a米．（1）求與墻平行的一邊長(zhǎng)為多少米？（用含a的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)a＝10時(shí)，為了方便職工通行，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路（如圖2中內(nèi)部陰影區(qū)域），使得停放電動(dòng)車的空白面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？【變式4-5】（2022秋?欽州期末）如圖①，某校進(jìn)行校園改造，準(zhǔn)備將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域栽種鮮花，原空地一邊減少了4m，另一邊減少了5m，剩余部分面積為650m2．（1）求原正方形空地的邊長(zhǎng)；（2）在實(shí)際建造時(shí)，從校園美觀和實(shí)用的角度考慮，按圖②的方式進(jìn)行改造，先在正方形空地一側(cè)建成1m寬的畫廊，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花，如果栽種鮮花區(qū)域的面積為812m2，求小道的寬度．題型五面積問題----圍墻問題題型五面積問題----圍墻問題【例題5】（2022秋?南宮市期末）如圖，有一段長(zhǎng)為20米的籬笆，利用一面墻，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃ABCD，設(shè)花圃的寬AB為x米（其中AB＜BC）．（1）請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)．（2）若此時(shí)花圃的面積剛好為42m2，求此時(shí)花圃的寬AB的長(zhǎng)度．解題技巧提煉圍墻問題難點(diǎn)是用材料圍成的圖形的邊如何表示及所圍圖形的平行于墻的線段的取值范圍.【變式5-1】（2023?揭陽一模）如圖，有一面積為600m2的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)35m），另三邊用竹籬笆圍成，其中一邊開有1m的門，竹籬笆的總長(zhǎng)為69m．設(shè)雞場(chǎng)垂直于墻的一邊為xm，則列方程正確的是（）A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600 C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600【變式5-1】（2022秋?昆都侖區(qū)期末）如圖，一農(nóng)戶準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形豬舍，其中一邊靠墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，已知墻長(zhǎng)為12m，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80m2？【變式5-3】某校為了在學(xué)生中進(jìn)行黨史教育，決定在操場(chǎng)舉行“中國(guó)共產(chǎn)黨歷史知識(shí)展覽”，需要一塊面積為480平方米的矩形場(chǎng)地．若矩形場(chǎng)地的一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度足夠），另外三邊由總長(zhǎng)為60米的圍繩圍成，并且在垂直于墻的邊上各設(shè)置了一個(gè)開口寬為1米的入口和出口（如圖）．請(qǐng)根據(jù)方案計(jì)算出矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)米．【變式5-4】學(xué)校打算用21米的籬笆圍成兩間長(zhǎng)方形兔舍飼養(yǎng)小兔，兔舍的一面靠墻（如圖，墻足夠長(zhǎng)）．（1）如果AB邊長(zhǎng)為x米，求BC邊長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若兩間兔舍的總面積是30平方米，求AB的長(zhǎng)．【變式5-5】（2022秋?白云區(qū)校級(jí)期末）用54m長(zhǎng)的竹柵欄圍一個(gè)矩形菜園，菜園的一邊靠長(zhǎng)為am的墻，另三邊用竹柵欄圍成，且在與墻平行的一邊開兩扇門，寬度都是1m，設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm．（1）當(dāng)a＝41時(shí)，矩形菜園面積是320m2，求x；（2）當(dāng)a足夠大時(shí)，問矩形菜園的面積能否達(dá)到400m2？題型六數(shù)字問題題型六數(shù)字問題【例題6】已知一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x，列出關(guān)于x的方程：．解題技巧提煉解決數(shù)字問題的關(guān)鍵是用代數(shù)式表示出這個(gè)多位數(shù)的數(shù)值，設(shè)未知數(shù)時(shí)，通常采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，即設(shè)這個(gè)多位數(shù)的某一位上的數(shù)字為x，然后將其它數(shù)位上的數(shù)字用含x的式子表示出來，最后根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解即．【變式6-1】一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)大4．設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則方程為（）A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4 C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4 D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4【變式6-2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字的平方少9．如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)小27，則原來的兩位數(shù)是．【變式6-3】有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)．【變式6-4】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字的平方小2，如果把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換，那么所得到的兩位數(shù)比原來的數(shù)小36，求原來的兩位數(shù)．【變式6-5】（2022秋?沈丘縣校級(jí)月考）有一個(gè)兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求這個(gè)兩位數(shù)．題型七商品銷售問題題型七商品銷售問題【例題7】（2023?偃師市模擬）某種服裝平均每天可銷售20件，每件盈利44元，在每件降價(jià)幅度不超過10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降價(jià)多少元？設(shè)每件降價(jià)x元，則可列方程為（）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600解題技巧提煉◆商品銷售問題：利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=利潤(rùn)進(jìn)價(jià)×100%售價(jià)=進(jìn)價(jià)×（1+利潤(rùn)率）；總利潤(rùn)=總售價(jià)－總進(jìn)價(jià)=（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）×銷售量【變式7-1】某商品進(jìn)價(jià)為3元，當(dāng)售價(jià)為x元時(shí)可銷售商品（x+3）個(gè)，此時(shí)獲利160元，則該商品售價(jià)為元．【變式7-2】某種服裝，平均每天可以銷售20件，每件盈利44元．在每件降價(jià)幅度不超過10元的情況下，若每件每降價(jià)1元，則每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，則每件應(yīng)降價(jià)元．【變式7-3】在水果銷售旺季，某水果店購(gòu)進(jìn)一種優(yōu)質(zhì)水果，進(jìn)價(jià)為20元/千克，售價(jià)不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）滿足的關(guān)系為一次函數(shù)y＝﹣2x+80．（1）某天這種水果的售價(jià)為23.5元/千克，求當(dāng)天該水果的銷售量；（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為多少元？【變式7-4】（2022秋?天府新區(qū)期末）2022年11月29日，神舟十五號(hào)發(fā)射升空，中國(guó)首次實(shí)現(xiàn)空間站三船三艙構(gòu)型，以及6名航天員同時(shí)在軌駐留．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國(guó)空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個(gè)，每個(gè)盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過一段時(shí)間測(cè)算，每個(gè)模型每降低1元，平均每天可以多售出2個(gè)．（1）若每個(gè)模型降價(jià)4元，平均每天可以售出多少個(gè)模型？此時(shí)每天獲利多少元？（2）在每個(gè)模型盈利不少于25元的前提，要使“中國(guó)空間站”模型每天獲利1200元，每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)多少元？【變式7-5】（2023春?舒城縣校級(jí)期中）某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為20元的商品按每件32元售出，每天可銷售100件，現(xiàn)在采取降低售價(jià)，增加售貨量的方法增加利潤(rùn)，已知這種商品每降價(jià)0.5元，其銷量增加5件．（1）若降價(jià)x元，則每天的銷量為件（用含x的代數(shù)式表示）；（2）要使每天獲得720元的利潤(rùn)，請(qǐng)你幫忙確定售價(jià)；（3）該商店能否通過降價(jià)銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤(rùn)？并說明理由．題型八動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題題型八動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題【例題8】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P在AB上以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q在BC上以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)．下列時(shí)刻中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（）A．2s B．3s C．4s D．5s解題技巧提煉以“靜”制“動(dòng)”求解動(dòng)態(tài)問題1、分析出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，用含未知數(shù)的代數(shù)式把相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度表示出來是解決這類問題的關(guān)鍵；2、結(jié)合題意，用“靜”的方法處理“動(dòng)”的問題.【變式8-1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P在AB上以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q在BC上以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)．下列時(shí)刻中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【變式8-2】（2022秋?確山縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，若使△PBQ的面積為15cm2，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A．3.5s B．5s C．4s D．3s【變式8-3】如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以1cm/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以2cm/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則當(dāng)△BPQ的面積為8cm2時(shí)，t的值（）A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4【變式8-4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，Rt△CPQ的面積Scm2．（1）用含t的代數(shù)式表示S．（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，Rt△CPQ的面積等于5cm2？【變式8-5】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A﹣B﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)，沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的49（2）是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為5cm？若存在，求出該時(shí)刻；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》1.4用一元二次方程解決問題知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)列一元二次方程解決問題的一般步驟(1)“審”：即審題，讀懂題意弄清題中的已知量和未知量；(2)“設(shè)”：即設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種；(3)“列”：即根據(jù)題中等量關(guān)系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的根；(5)“檢驗(yàn)”：即驗(yàn)證根是否符合題意；(6)“答”：即回答題目中要解決的問題．【注意】（1）設(shè)元時(shí)，可以問什么設(shè)什么（直接設(shè)元），也可設(shè)一個(gè)與問題有關(guān)聯(lián)且方便列方程的量（間接設(shè)元）．（2）對(duì)求出的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否為原問題的解以及是否符合題意，檢驗(yàn)一般只寫出驗(yàn)根后的結(jié)果，過程可以不必詳細(xì)，但此步驟必不可少，一定要充分利用題目中的條件把不符合題意的根設(shè)去.題型一增長(zhǎng)率問題題型一增長(zhǎng)率問題【例題1】（2022秋?安次區(qū)期末）某種品牌的手機(jī)經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由3200元降到了2500元，設(shè)平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是（）A．2500（1+x）2＝3200 B．2500（1﹣x）2＝3200 C．3200（1﹣x）2＝2500 D．3200（1+x）2＝2500【分析】可根據(jù)：原售價(jià)×（1﹣降低率）2＝降低后的售價(jià)得出兩次降價(jià)后的價(jià)格，然后即可列出方程．【解答】解：依題意得：兩次降價(jià)后的售價(jià)為3200（1﹣x）2＝2500，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查降低率問題，由：原售價(jià)×（1﹣降低率）2＝降低后的售價(jià)可以列出方程．解題技巧提煉平均增長(zhǎng)（降低）率問題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原有量是a，現(xiàn)有量是b,每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即原有量×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝現(xiàn)有量．平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x為減低率）【變式1-1】（2023?廬陽區(qū)校級(jí)三模）某工廠計(jì)劃用兩年時(shí)間使產(chǎn)值增加到目前的4倍，并且使第二年增長(zhǎng)率是第一年增長(zhǎng)率的2倍，設(shè)第一年增長(zhǎng)率為x，則可列方程得（）A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4 C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝4【分析】由增長(zhǎng)率間的關(guān)系，可得出第二年增長(zhǎng)率為2x，設(shè)該工廠原產(chǎn)值為a，則兩年后產(chǎn)值為4a，利用兩年后產(chǎn)值＝原產(chǎn)值×（1+第一年增長(zhǎng)率）×（1+第二年增長(zhǎng)率），即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵第二年增長(zhǎng)率是第一年增長(zhǎng)率的2倍，且第一年增長(zhǎng)率為x，∴第二年增長(zhǎng)率為2x．設(shè)該工廠原產(chǎn)值為a，則兩年后產(chǎn)值為4a，根據(jù)題意得：a（1+x）（1+2x）＝4a，即（1+x）（1+2x）＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022?渝北區(qū)校級(jí)模擬）某商場(chǎng)一月份的營(yíng)業(yè)額為400萬元，第一季度（包含一月、二月和三月）的營(yíng)業(yè)額共1800萬元，設(shè)該商場(chǎng)每月營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A．400（1+x）2＝1800 B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800 C．400×3+400x2＝1800 D．400+400×3x＝1800【分析】先得到二月份的營(yíng)業(yè)額，三月份的營(yíng)業(yè)額，等量關(guān)系為：一月份的營(yíng)業(yè)額+二月份的營(yíng)業(yè)額+三月份的營(yíng)業(yè)額＝1800，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【解答】解：∵一月份的營(yíng)業(yè)額為400萬元，平均每月增長(zhǎng)率為x，∴二月份的營(yíng)業(yè)額為400×（1+x），∴三月份的營(yíng)業(yè)額為400×（1+x）×（1+x）＝400×（1+x）2，∴可列方程為400+400×（1+x）+400×（1+x）2＝1800，即400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022秋?平陰縣期末）某商品經(jīng)過兩次連續(xù)提價(jià)，每件售價(jià)由原來的100元上漲到了121元．設(shè)平均每次漲價(jià)的百分率為x，則x是．【分析】可先表示出第一次提價(jià)后的價(jià)格，那么第一次提價(jià)后的價(jià)格×（1+提價(jià)的百分率）＝121，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：設(shè)平均每次提價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意，得100（1+x）2＝121．解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．故答案是：10%．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握求平均變化率的方法：若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023?德慶縣一模）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛，我國(guó)新能源汽車近幾年出口量逐年增加，2020年出口量為20萬臺(tái)，2022年出口量增加到45萬臺(tái)．（1）求2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長(zhǎng)率是多少？（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)速度，預(yù)計(jì)2023年我國(guó)新能源汽車出口量為多少？【分析】（1）根據(jù)2020年某款新能源車銷售量為20萬輛，到2022年銷售量為45萬輛，若年增長(zhǎng)率x不變，可得關(guān)于x的一元二次方程；（2）利用（1）中所求，進(jìn)而利用2023年出口量＝2022年出口量×（1+增長(zhǎng)率），即可得出答案．【解答】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合題意舍去），答：2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長(zhǎng)率是50%；（2）由（1）得，45×（1+50%）＝67.5（萬），答：預(yù)計(jì)2023年我國(guó)新能源汽車出口量為67.5萬輛．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2023春?華龍區(qū)校級(jí)月考）受益于國(guó)家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”倡議等多重利好因素，我國(guó)某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤(rùn)逐年增高，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年利潤(rùn)為2億元，2021年利潤(rùn)為2.88億元．（1）求該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率；（2）若2022年保持前兩年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率不變，該企業(yè)2022年的利潤(rùn)能否超過3.4億元？【分析】（1）設(shè)該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該企業(yè)2021年的利潤(rùn)＝該企業(yè)2019年利潤(rùn)×（1+該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率）2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）利用該企業(yè)2022年的利潤(rùn)＝該企業(yè)2021年的利潤(rùn)×（1+該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率），可求出該企業(yè)2022年的利潤(rùn)，再將其與3.45億元比較后，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率為20%；（2）∵2.88×（1+20%）＝3.456（億元），3.456＞3.4，∴該企業(yè)2022年的利潤(rùn)能超過3.4億元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型二傳播問題題型二傳播問題式有意義的條件【例題2】在畢業(yè)季，某班同學(xué)互贈(zèng)畢業(yè)禮物，若每?jī)晌煌瑢W(xué)之間互贈(zèng)一件禮物，據(jù)統(tǒng)計(jì)，全班共贈(zèng)送了2070件禮物，請(qǐng)問這個(gè)班有多少位同學(xué)？【分析】設(shè)這個(gè)班有x位同學(xué)，則每位同學(xué)需送出（x﹣1）件禮物，根據(jù)全班共贈(zèng)送了2070件禮物，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這個(gè)班有x位同學(xué)，則每位同學(xué)需送出（x﹣1）件禮物，依題意得：x（x﹣1）＝2070，整理得：x2﹣x﹣2070＝0，解得：x1＝46，x2＝﹣45（不符合題意，舍去）．答：這個(gè)班有46位同學(xué)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉◆傳播問題：對(duì)于傳播問題，應(yīng)弄清傳染源對(duì)應(yīng)的基數(shù)及每輪傳播后的總量．設(shè)a為傳染源數(shù)，x為每個(gè)傳染源傳播的個(gè)數(shù)，則傳播兩輪后感染的總個(gè)數(shù)為a(1+x)2．◆握手問題：假設(shè)有x個(gè)人，每個(gè)人都要和除自己外的（x﹣1）個(gè)人握手，則所有人需要握手的次數(shù)為．【變式2-1】（2022春?龍口市期中）一次座談會(huì)上，每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都互相握手一次，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，一共握手36次，則這次會(huì)議與會(huì)人數(shù)是共人．【分析】設(shè)這次會(huì)議與會(huì)人數(shù)是x人，利用握手的總次數(shù)＝參會(huì)人數(shù)×（參會(huì)人數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這次會(huì)議與會(huì)人數(shù)是x人，依題意得：12x（x整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合題意，舍去），∴這次會(huì)議與會(huì)人數(shù)是共9人．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023?富錦市校級(jí)二模）某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的1個(gè)主干上長(zhǎng)出x個(gè)枝干，每個(gè)枝干上再長(zhǎng)出x個(gè)小分支．若在一個(gè)主干上的主干，枝干和小分支的數(shù)量之和是57個(gè)，則x等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)在1個(gè)主干上的主干、枝干和小分支的數(shù)量之和是57個(gè)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：依題意得：1+x+x2＝57，整理，得：x2+x﹣56＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合題意，舍去）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023?臨潼區(qū)三模）春節(jié)過后，甲型流感病毒（以下簡(jiǎn)稱：甲流）開始悄然傳播，某辦公室最初有三人同時(shí)患上甲流，經(jīng)過兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有27人確診甲流，請(qǐng)問在兩輪傳染過程中，平均一人會(huì)傳染給幾個(gè)人？【分析】設(shè)在兩輪傳染過程中，平均一人會(huì)傳染給x個(gè)人，則第一輪傳染中有3x人被傳染，第二輪傳染中有（3+3x）x人被傳染，根據(jù)“經(jīng)過兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有27人確診甲流”，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)在兩輪傳染過程中，平均一人會(huì)傳染給x個(gè)人，則第一輪傳染中有3x人被傳染，第二輪傳染中有（3+3x）x人被傳染，根據(jù)題意得：3+3x+（3+3x）x＝27，整理得：（1+x）2＝9，解得：x1＝2，x2＝﹣4（不符合題意，舍去）．答：在兩輪傳染過程中，平均一人會(huì)傳染給2個(gè)人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2023春?廬陽區(qū)校級(jí)期中）隨著通信事業(yè)的日益發(fā)達(dá)，信息傳播越來越快捷，如果有一個(gè)人收到一條信息后，轉(zhuǎn)發(fā)了此信息，收到轉(zhuǎn)發(fā)的信息的人中有13【分析】設(shè)平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給x個(gè)人，則第一輪轉(zhuǎn)發(fā)給了x個(gè)人，第二輪轉(zhuǎn)發(fā)給了13x2個(gè)人，根據(jù)“有一個(gè)人收到一條信息后，經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有169人收到此信息”，可得出關(guān)于x【解答】解：設(shè)平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給x個(gè)人，則第一輪轉(zhuǎn)發(fā)給了x個(gè)人，第二輪轉(zhuǎn)發(fā)給了13x2根據(jù)題意得：1+x+13x整理得：x2+3x﹣504＝0，解得：x1＝21，x2＝﹣24（不符合題意，舍去）．答：平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給21個(gè)人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022秋?昭通期中）新年到了，為增進(jìn)同學(xué)友誼，某班主任規(guī)定本班同學(xué)間，每?jī)蓚€(gè)人必須相互通電話1次．（1）若本班人數(shù)為20，則共通話次，若本班人數(shù)為n（n≥2，且n為正整數(shù)），則共通話次；（2）若同學(xué)們共通話1225次，求該班同學(xué)的人數(shù)；（3）王峰同學(xué)由打電話問題想到了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：若線段AB上共有m個(gè)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），線段總數(shù)為多少呢？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【分析】（1）利用通話總次數(shù)＝本班人數(shù)×（本班人數(shù)﹣1）÷2，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)同學(xué)們共通話1225次，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（3）利用線段的總數(shù)＝點(diǎn)的個(gè)數(shù)×（點(diǎn)的個(gè)數(shù)﹣1）÷2，即可用含m的代數(shù)式表示出線段的總數(shù)．【解答】解：（1）20×（20﹣1）÷2＝190（次），若本班人數(shù)為n（n≥2，且n為正整數(shù)），則共通話12n（n故答案為：190；12n（n（2）依題意得：12n（n整理得：n2﹣n﹣2450＝0，解得：n1＝50，n2＝﹣49（不符合題意，舍去）．答：該班同學(xué)的人數(shù)為50人．（3）∵線段AB上共有m個(gè)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B），∴該線段上共有（m+2）個(gè)點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），∴線段總數(shù)為12（m+2）（m【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含n的代數(shù)式表示出通話總數(shù)；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含m的代數(shù)式表示出線段總數(shù)．題型三面積問題----幾何圖形的問題題型三面積問題----幾何圖形的問題綜合應(yīng)用【例題3】（2022秋?鞍山期末）如圖1，將一張寬10cm的矩形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分（兩個(gè)正方形，兩個(gè)矩形）之后，恰好折成如圖2的底面為正方形的有蓋紙盒（底面積大于側(cè)面積），紙盒側(cè)面積為32cm2，求該有蓋紙盒的底面邊長(zhǎng)．（單位：cm）【分析】設(shè)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則該有蓋紙盒的底面邊長(zhǎng)為（10﹣2x）cm，根據(jù)紙盒側(cè)面積為32cm2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，結(jié)合底面積大于側(cè)面積，可確定x的值，再將其代入（10﹣2x）中，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則該有蓋紙盒的底面邊長(zhǎng)為（10﹣2x）cm，根據(jù)題意得：4x（10﹣2x）＝32，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝4，當(dāng)x＝1時(shí)，（10﹣2x）2＝（10﹣2×1）2＝64＞32，符合題意，此時(shí)10﹣2x＝10﹣2×1＝8；當(dāng)x＝4時(shí)，（10﹣2x）2＝（10﹣2×4）2＝4＜32，不符合題意，舍去．答：該有蓋紙盒的底面邊長(zhǎng)為8cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉根據(jù)把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的規(guī)則圖形從而列出一元二次方程．【變式3-1】（2023春?金寨縣期末）用一條長(zhǎng)50cm的繩子圍成一個(gè)面積為100cm2的矩形，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x（50﹣x）＝100 B．x（25﹣x）＝100 C．x（50+x）＝100 D．x（25+x）＝100【分析】由繩子的長(zhǎng)度及矩形的一邊長(zhǎng)，可得出與該邊相鄰的邊長(zhǎng)為（25﹣x）cm，根據(jù)矩形的面積為100cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵繩子的長(zhǎng)度為50cm，且圍成的矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，∴與該邊相鄰的邊長(zhǎng)為50?2x2=（25﹣x）根據(jù)題意得：x（25﹣x）＝100．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023?和平區(qū)模擬）南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問長(zhǎng)闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬的和是60步，問它的長(zhǎng)和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為x步，根據(jù)題意可以列方程為（）A．x2﹣60x﹣864＝0 B．x（x+60）＝864 C．x2﹣60x+864＝0 D．x（x+30）＝864【分析】由矩形田地的長(zhǎng)與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60﹣x）步，根據(jù)矩形田地的面積是864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵矩形田地的長(zhǎng)為x步，矩形田地的長(zhǎng)與寬的和是60步，∴矩形田地的寬為（60﹣x）步．依題意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023?青海模擬）一塊矩形菜地的面積是120m2，如果它的長(zhǎng)減少2m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長(zhǎng)是m．【分析】設(shè)原菜地的長(zhǎng)是xm，則寬是（x﹣2）m，根據(jù)矩形菜地的面積是120m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出原菜地的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)原菜地的長(zhǎng)是xm，則寬是（x﹣2）m，根據(jù)題意得：x（x﹣2）＝120，整理得：x2﹣2x﹣120＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣10（不符合題意，舍去），∴原菜地的長(zhǎng)是12m．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2023春?舒城縣校級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)為10cm，寬為8cm，現(xiàn)在它的四個(gè)角上剪去邊長(zhǎng)為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋的長(zhǎng)方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【分析】根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出做成無蓋的長(zhǎng)方體盒子的底面是長(zhǎng)為（10﹣2x）cm，寬為（8﹣2x）cm的長(zhǎng)方形，結(jié)合長(zhǎng)方體盒子的底面積為24cm2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)為10cm，寬為8cm，且在它的四個(gè)角上剪去邊長(zhǎng)為xcm的正方形，∴做成無蓋的長(zhǎng)方體盒子的底面是長(zhǎng)為（10﹣2x）cm，寬為（8﹣2x）cm的長(zhǎng)方形．根據(jù)題意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，整理得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7（不符合題意，舍去），∴x的值為2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】（2022秋?南岸區(qū)期末）如圖，一個(gè)長(zhǎng)為acm，寬為bcm的矩形鐵片．（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一個(gè)200cm2的矩形后，成為一個(gè)各條邊一樣寬的鐵框，求這個(gè)鐵框的寬度；（2）如果a＝2b，在四個(gè)角上分別裁掉四個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形，把它制作成一個(gè)體積為4576cm3的無蓋長(zhǎng)方體，求原矩形的面積．【分析】（1）直接利用已知表示出里面矩形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；（2）利用已知表示出長(zhǎng)方體的體積，進(jìn)而求出a，b的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)鐵框的寬度為xcm，根據(jù)題意可得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝200，解得：x1＝5，x2＝20（不合題意舍去），答：這個(gè)鐵框的寬度為5cm；（2）由題意可得：4（a﹣8）（b﹣8）＝4576，則4（2b﹣8）（b﹣8）＝4576，解得：b1＝30，b2＝﹣18（不合題意舍去），則a＝30×2＝60（cm），故ab＝30×60＝1800（cm2），答：原矩形的面積為1800cm2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確表示出長(zhǎng)方體的體積是解題關(guān)鍵．題型四面積問題----邊框與甬道問題題型四面積問題----邊框與甬道問題綜合應(yīng)用【例題4】（2022秋?中山市期末）如圖，矩形ABCD是一塊長(zhǎng)16米、寬12米的荒地，要在這塊荒地上建造一個(gè)矩形花園EFGH，在花園的外圍是寬度相等的小路．要使花園所占面積為荒地面積的一半，則小路的寬為多少米？【分析】設(shè)小路的寬為x米，則矩形花園的長(zhǎng)為（16﹣2x）米，寬為（12﹣2x）米，根據(jù)矩形花園所占面積為荒地面積的一半，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小路的寬為x米，則矩形花園的長(zhǎng)為（16﹣2x）米，寬為（12﹣2x）米，根據(jù)題意得：（16﹣2x）（12﹣2x）=1整理得：x2﹣14x+24＝0，解得：x1＝2，x2＝12（不符合題意，舍去）．答：小路的寬為2米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉根據(jù)把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的規(guī)則圖形從而列出一元二次方程．【變式4-1】（2022秋?成武縣校級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)為30m，寬20m的矩形田地中開辟兩條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為551m2，求道路的寬度．設(shè)道路的寬度為xm，則可列方程（）A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551 C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551【分析】由道路的寬度為xm，可得出剩余田地部分可合成長(zhǎng)為（30﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形，根據(jù)剩余田地的面積為551m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵道路的寬度為xm，∴剩余田地部分可合成長(zhǎng)為（30﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形．依題意得：（20﹣x）（30﹣x）＝551．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022秋?遵義期末）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為60m，寬為40m的矩形場(chǎng)地內(nèi)修筑兩條等寬的道路，剩余部分為綠化用地，如果綠化用地的面積為2204m2，那么道路的寬為m．【分析】設(shè)道路的寬為xm，則剩余部分可合成長(zhǎng)為（60﹣x）m，寬為（40﹣x）m的矩形，根據(jù)綠化用地的面積為2204m2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)道路的寬為xm，則剩余部分可合成長(zhǎng)為（60﹣x）m，寬為（40﹣x）m的矩形，根據(jù)題意得：（60﹣x）（40﹣x）＝2204，整理得：x2﹣100x+196＝0，解得：x1＝2，x2＝98（不符合題意，舍去），∴道路的寬為2m．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022秋?中寧縣期末）某校學(xué)生會(huì)組織周末愛心義賣活動(dòng)，義賣所得利潤(rùn)將全部捐獻(xiàn)給希望工程，活動(dòng)選在一塊長(zhǎng)40米、寬28米的矩形空地上．如圖，空地被劃分出6個(gè)矩形區(qū)域，分別擺放不同類別的商品，區(qū)域之間用寬度相等的小路隔開，已知每個(gè)區(qū)域的面積均為128平方米，小路的寬應(yīng)為多少米？【分析】設(shè)小路的寬應(yīng)為x米，則6個(gè)矩形區(qū)域可合成長(zhǎng)為（40﹣2x）米，寬為（28﹣x）米的矩形，根據(jù)6個(gè)矩形區(qū)域的面積為128×6平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小路的寬應(yīng)為x米，則6個(gè)矩形區(qū)域可合成長(zhǎng)為（40﹣2x）米，寬為（28﹣x）米的矩形，依題意得：（40﹣2x）（28﹣x）＝128×6，整理得：x2﹣48x+176＝0，解得：x1＝4，x2＝44（不合題意，舍去）．答：小路的寬應(yīng)為4米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023春?合肥期末）某工廠利用空地新建一個(gè)長(zhǎng)方形電動(dòng)車棚，其中一面靠院墻，如圖1，這堵墻的長(zhǎng)度為10米．已知現(xiàn)有的木板材料（圖中細(xì)線部分）可新建圍墻26米，同時(shí)在與院墻平行的一面開一個(gè)2米寬的門，設(shè)該長(zhǎng)方形電動(dòng)車棚與院墻垂直的一邊長(zhǎng)為a米．（1）求與墻平行的一邊長(zhǎng)為多少米？（用含a的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)a＝10時(shí)，為了方便職工通行，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路（如圖2中內(nèi)部陰影區(qū)域），使得停放電動(dòng)車的空白面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？【分析】（1）根據(jù)題意可得：車棚與墻平行的一邊長(zhǎng)＝[（26+2）﹣2a]米，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）把a(bǔ)＝10，代入（1）中的結(jié)論可得：車棚與墻平行的一邊長(zhǎng)為8米，然后設(shè)小路的寬為x米，根據(jù)題意可得：（10﹣x）（8﹣2x）＝54，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）解：由題意得：（26+2）﹣2a＝（28﹣2a）米，∴車棚與墻平行的一邊長(zhǎng)（28﹣2a）米；（2）解：當(dāng)a＝10時(shí)，28﹣2a＝28﹣2×10＝28﹣20＝8（米），設(shè)小路的寬為x米，由題意得：（10﹣x）（8﹣2x）＝54，整理得：x2﹣14x+13＝0，解得：x1＝13＞10（舍去），x2＝1，答：小路的寬為1米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2022秋?欽州期末）如圖①，某校進(jìn)行校園改造，準(zhǔn)備將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域栽種鮮花，原空地一邊減少了4m，另一邊減少了5m，剩余部分面積為650m2．（1）求原正方形空地的邊長(zhǎng)；（2）在實(shí)際建造時(shí)，從校園美觀和實(shí)用的角度考慮，按圖②的方式進(jìn)行改造，先在正方形空地一側(cè)建成1m寬的畫廊，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花，如果栽種鮮花區(qū)域的面積為812m2，求小道的寬度．【分析】（1）設(shè)原正方形空地的邊長(zhǎng)為xm，則剩余部分長(zhǎng)（x﹣4）m，寬（x﹣5）m，根據(jù)剩余部分面積為650m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)小道的寬度為ym，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長(zhǎng)（30﹣y）m，寬（30﹣1﹣y）m的矩形，根據(jù)栽種鮮花區(qū)域的面積為812m2，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)原正方形空地的邊長(zhǎng)為xm，則剩余部分長(zhǎng)（x﹣4）m，寬（x﹣5）m，依題意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，整理得：x2﹣9x﹣630＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合題意，舍去）．答：原正方形空地的邊長(zhǎng)為30m．（2）設(shè)小道的寬度為ym，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長(zhǎng)（30﹣y）m，寬（30﹣1﹣y）m的矩形，依題意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，整理得：y2﹣59y+58＝0，解得：y1＝1，y2＝58（不合題意，舍去）．答：小道的寬度為1m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型五面積問題----圍墻問題題型五面積問題----圍墻問題【例題5】（2022秋?南宮市期末）如圖，有一段長(zhǎng)為20米的籬笆，利用一面墻，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃ABCD，設(shè)花圃的寬AB為x米（其中AB＜BC）．（1）請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)．（2）若此時(shí)花圃的面積剛好為42m2，求此時(shí)花圃的寬AB的長(zhǎng)度．【分析】（1）利用BC的長(zhǎng)＝籬笆的總長(zhǎng)﹣2×AB的長(zhǎng)，可用含x的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)；（2）根據(jù)花圃的面積為42m2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵籬笆的全長(zhǎng)為20米，花圃的寬AB為x米，∴BC的長(zhǎng)為（20﹣2x）米；（2）根據(jù)題意得：x（20﹣2x）＝42，整理得：x2﹣10x+21＝0，解得：x1＝3，x2＝7，當(dāng)x＝3時(shí)，20﹣2x＝20﹣2×3＝14＞3，符合題意；當(dāng)x＝7時(shí)，20﹣2x＝20﹣2×7＝6＜7，不符合題意，舍去．答：此時(shí)花圃的寬AB的長(zhǎng)度是3米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各邊之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．解題技巧提煉圍墻問題難點(diǎn)是用材料圍成的圖形的邊如何表示及所圍圖形的平行于墻的線段的取值范圍.【變式5-1】（2023?揭陽一模）如圖，有一面積為600m2的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)35m），另三邊用竹籬笆圍成，其中一邊開有1m的門，竹籬笆的總長(zhǎng)為69m．設(shè)雞場(chǎng)垂直于墻的一邊為xm，則列方程正確的是（）A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600 C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600【分析】根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出雞場(chǎng)平行于墻的一邊為（69+1﹣2x）m，根據(jù)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的面積為600m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵竹籬笆的總長(zhǎng)為69m，雞場(chǎng)垂直于墻的一邊為xm，∴雞場(chǎng)平行于墻的一邊為（69+1﹣2x）m．根據(jù)題意得：x（69+1﹣2x）＝600．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022秋?昆都侖區(qū)期末）如圖，一農(nóng)戶準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形豬舍，其中一邊靠墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，已知墻長(zhǎng)為12m，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80m2？【分析】設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為xm，則平行于墻的一邊長(zhǎng)為（25+1﹣2x）m，根據(jù)豬舍面積為80m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為xm，則平行于墻的一邊長(zhǎng)為（25+1﹣2x）m，依題意得：x（25+1﹣2x）＝80，整理得：x2﹣13x+40＝0，解得：x1＝5，x2＝8，當(dāng)x＝5時(shí)，25+1﹣2x＝25+1﹣2×5＝16＞12，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝8時(shí)，25+1﹣2x＝25+1﹣2×8＝10＜12，符合題意．答：所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m，寬為8m時(shí)，豬舍面積為80m2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】某校為了在學(xué)生中進(jìn)行黨史教育，決定在操場(chǎng)舉行“中國(guó)共產(chǎn)黨歷史知識(shí)展覽”，需要一塊面積為480平方米的矩形場(chǎng)地．若矩形場(chǎng)地的一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度足夠），另外三邊由總長(zhǎng)為60米的圍繩圍成，并且在垂直于墻的邊上各設(shè)置了一個(gè)開口寬為1米的入口和出口（如圖）．請(qǐng)根據(jù)方案計(jì)算出矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)米．【分析】設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為x米，則寬為12（60+2﹣x【解答】解：設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為x米，則寬為12（60+2﹣x根據(jù)題意，得12（60+2﹣x）?x解得x1＝30，x2＝32．所以矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為30或32米．故答案是：30或32．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式是解決問題的前提．【變式5-4】學(xué)校打算用21米的籬笆圍成兩間長(zhǎng)方形兔舍飼養(yǎng)小兔，兔舍的一面靠墻（如圖，墻足夠長(zhǎng)）．（1）如果AB邊長(zhǎng)為x米，求BC邊長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若兩間兔舍的總面積是30平方米，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）用總長(zhǎng)減去三條垂直于墻的邊長(zhǎng)即可求得BC的長(zhǎng)；（2）根據(jù)矩形的面積公式列式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)AB邊長(zhǎng)為x米，則EF＝DC＝AB＝x米，所以BC＝（21﹣3x）米；（2）根據(jù)題意得：x（21﹣3x）＝30，解得：x＝2或x＝5，答：AB的長(zhǎng)為2米或5米．【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的應(yīng)用的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確的表示出BC的長(zhǎng)，難度不大．【變式5-5】（2022秋?白云區(qū)校級(jí)期末）用54m長(zhǎng)的竹柵欄圍一個(gè)矩形菜園，菜園的一邊靠長(zhǎng)為am的墻，另三邊用竹柵欄圍成，且在與墻平行的一邊開兩扇門，寬度都是1m，設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm．（1）當(dāng)a＝41時(shí)，矩形菜園面積是320m2，求x；（2）當(dāng)a足夠大時(shí)，問矩形菜園的面積能否達(dá)到400m2？【分析】設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm，則與墻平行的一邊長(zhǎng)為（54﹣2x+2）m．（1）由矩形菜園面積是320m2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合a＝41，即可確定x的值；（2）由矩形菜園面積是400m2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣16＜0，即可得出該方程無實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出矩形菜園的面積不能達(dá)到400m2；【解答】解：設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm，則與墻平行的一邊長(zhǎng)為（54﹣2x+2）m．（1）依題意得：x（54﹣2x+2）＝320，整理得：x2﹣28x+160＝0，解得：x1＝8，x2＝20．當(dāng)x＝8時(shí)，56﹣2x＝40＜41，符合題意；當(dāng)x＝20時(shí)，56﹣2x＝16＜41，符合題意．答：x的值為8或20．（2）令x（54﹣2x+2）＝400①，整理得：x2﹣28x+200＝0．∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，∴方程①無實(shí)數(shù)根，∴矩形菜園的面積不能達(dá)到400m2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．題型六數(shù)字問題題型六數(shù)字問題【例題6】已知一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x，列出關(guān)于x的方程：．【分析】根據(jù)個(gè)位數(shù)與十位數(shù)的關(guān)系，可知十位數(shù)為x+4，那么這兩位數(shù)為：10（x+4）+x，這兩個(gè)數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，再根據(jù)兩數(shù)的值相差4即可得出答案．【解答】解：依題意得：十位數(shù)字為：x+4，這個(gè)數(shù)為：x+10（x+4）這兩個(gè)數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，∵兩數(shù)相差4，∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．故答案為：x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)的表示方法，要會(huì)利用未知數(shù)表示兩位數(shù)，然后根據(jù)題意列出對(duì)應(yīng)的方程求解．解題技巧提煉解決數(shù)字問題的關(guān)鍵是用代數(shù)式表示出這個(gè)多位數(shù)的數(shù)值，設(shè)未知數(shù)時(shí)，通常采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，即設(shè)這個(gè)多位數(shù)的某一位上的數(shù)字為x，然后將其它數(shù)位上的數(shù)字用含x的式子表示出來，最后根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解即．【變式6-1】一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)大4．設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則方程為（）A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4 C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4 D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4【分析】根據(jù)個(gè)位數(shù)與十位數(shù)的關(guān)系，可知十位數(shù)為x+4，那么這兩位數(shù)為：10（x+4）+x，這兩個(gè)數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，再根據(jù)兩數(shù)的值相差4即可得出答案．【解答】解：依題意得：十位數(shù)字為：x+4，這個(gè)數(shù)為：x+10（x+4）這兩個(gè)數(shù)的平方和為：x2+（x+4）2，∵兩數(shù)相差4，∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）+4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)的表示方法，要會(huì)利用未知數(shù)表示兩位數(shù)，然后根據(jù)題意列出對(duì)應(yīng)的方程求解．【變式6-2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字的平方少9．如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)小27，則原來的兩位數(shù)是．【分析】等量關(guān)系為：原來的兩位數(shù)﹣新兩位數(shù)＝27，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算可得各位上的數(shù)字，根據(jù)兩位數(shù)的表示方法求得兩位數(shù)即可．【解答】解：設(shè)原兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為（x2﹣9）．∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27，解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合題意，舍去）．∴x2﹣9＝7，∴10（x2﹣9）+x＝74．答：原兩位數(shù)為74．故答案為：74．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用；得到兩個(gè)兩位數(shù)之間的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩位數(shù)＝10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字．【變式6-3】有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)．【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為（x+2），根據(jù)十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為（x+2），根據(jù)題意得：3x（x+2）＝10x+（x+2），整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2=?1∴x+2＝4，∴這個(gè)兩位數(shù)為24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字的平方小2，如果把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換，那么所得到的兩位數(shù)比原來的數(shù)小36，求原來的兩位數(shù)．【分析】首先設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x2﹣2，由題意得等量關(guān)系：原兩位數(shù)﹣新兩位數(shù)＝36，根據(jù)等量關(guān)系列出方程解方程即可．【解答】解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x2﹣2，由題意得：10（x2﹣2）+x﹣（10x+x2﹣2）＝36，解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合題意，舍去），十位數(shù)字：32﹣2＝7，這個(gè)兩位數(shù)為：73，答：原來的兩位數(shù)73．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出原兩位數(shù)和新兩位數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2022秋?沈丘縣校級(jí)月考）有一個(gè)兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求這個(gè)兩位數(shù)．【分析】設(shè)個(gè)位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，根據(jù)如果十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，則所得兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求解即可．【解答】解：設(shè)原來個(gè)位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，由題意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855解得：x1＝3，x2＝5，原來十位上的數(shù)字為5或3，答：原來這個(gè)兩位數(shù)53或35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是表示出對(duì)調(diào)前后兩位數(shù)的表示方法．題型七商品銷售問題題型七商品銷售問題【例題7】（2023?偃師市模擬）某種服裝平均每天可銷售20件，每件盈利44元，在每件降價(jià)幅度不超過10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降價(jià)多少元？設(shè)每件降價(jià)x元，則可列方程為（）A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600【分析】關(guān)系式為：每件服裝的盈利×（原來的銷售量+增加的銷售量）＝1600，為了減少庫(kù)存，計(jì)算得到降價(jià)多的數(shù)量即可．【解答】解：設(shè)每件服裝應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，得：（44﹣x）（20+5x）＝1600故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得到現(xiàn)在的銷售量是解決本題的難點(diǎn)；根據(jù)每天盈利得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉◆商品銷售問題：利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=利潤(rùn)進(jìn)價(jià)×100%售價(jià)=進(jìn)價(jià)×（1+利潤(rùn)率）；總利潤(rùn)=總售價(jià)－總進(jìn)價(jià)=（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）×銷售量【變式7-1】某商品進(jìn)價(jià)為3元，當(dāng)售價(jià)為x元時(shí)可銷售商品（x+3）個(gè)，此時(shí)獲利160元，則該商品售價(jià)為元．【分析】利用總利潤(rùn)＝每個(gè)的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：依題意得：（x﹣3）（x+3）＝160，整理得：x2＝169，解得：x1＝13，x2＝﹣13（不符合題意，舍去），∴該商品售價(jià)為13元．故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】某種服裝，平均每天可以銷售20件，每件盈利44元．在每件降價(jià)幅度不超過10元的情況下，若每件每降價(jià)1元，則每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，則每件應(yīng)降價(jià)元．【分析】設(shè)每件降價(jià)x元，則每件盈利（44﹣x）元，平均每天可銷售（20+5x）件，利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×日銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每件降價(jià)x元，則每件盈利（44﹣x）元，平均每天可銷售（20+5x）件，依題意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600，整理得：x2﹣40x+144＝0，解得：x1＝4，x2＝36（不符合題意，舍去），∴每件應(yīng)降價(jià)4元．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】在水果銷售旺季，某水果店購(gòu)進(jìn)一種優(yōu)質(zhì)水果，進(jìn)價(jià)為20元/千克，售價(jià)不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）滿足的關(guān)系為一次函數(shù)y＝﹣2x+80．（1）某天這種水果的售價(jià)為23.5元/千克，求當(dāng)天該水果的銷售量；（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為多少元？【分析】（1）把x＝23.5代入函數(shù)式即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝每千克利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+80．∴當(dāng)x＝23.5時(shí)，y＝﹣2x+80＝33．答：當(dāng)天該水果的銷售量為33千克．（2）根據(jù)題意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為25元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）代入求值；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．【變式7-4】（2022秋?天府新區(qū)期末）2022年11月29日，神舟十五號(hào)發(fā)射升空，中國(guó)首次實(shí)現(xiàn)空間站三船三艙構(gòu)型，以及6名航天員同時(shí)在軌駐留．某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國(guó)空間站”模型．已知該模型平均每天可售出20個(gè)，每個(gè)盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過一段時(shí)間測(cè)算，每個(gè)模型每降低1元，平均每天可以多售出2個(gè)．（1）若每個(gè)模型降價(jià)4元，平均每天可以售出多少個(gè)模型？此時(shí)每天獲利多少元？（2）在每個(gè)模型盈利不少于25元的前提，要使“中國(guó)空間站”模型每天獲利1200元，每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)多少元？【分析】（1）利用平均每天的銷售量＝20+2×每個(gè)模型降低的價(jià)格，可求出平均每天的銷售量；利用總利潤(rùn)＝每個(gè)的銷售利潤(rùn)×日銷售量，可求出此時(shí)每天獲得的總利潤(rùn)；（2）設(shè)每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)x元，則每個(gè)模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）個(gè)，利用總利潤(rùn)＝每個(gè)的銷售利潤(rùn)×日銷售量，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）20+2×4＝20+8＝28（個(gè)）；（40﹣4）×28＝36×28＝1008（元）．答：若每個(gè)模型降價(jià)4元，平均每天可以售出28個(gè)模型，此時(shí)每天獲利1008元；（2）設(shè)每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)x元，則每個(gè)模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）個(gè)，根據(jù)題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，又∵每個(gè)模型盈利不少于25元，∴x＝10．答：每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)10元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-5】（2023春?舒城縣校級(jí)期中）某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為20元的商品按每件32元售出，每天可銷售100件，現(xiàn)在采取降低售價(jià)，增加售貨量的方法增加利潤(rùn)，已知這種商品每降價(jià)0.5元，其銷量增加5件．（1）若降價(jià)x元，則每天的銷量為件（用含x的代數(shù)式表示）；（2）要使每天獲得720元的利潤(rùn)，請(qǐng)你幫忙確定售價(jià)；（3）該商店能否通過降價(jià)銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤(rùn)？并說明理由．【分析】（1）利用每天的銷量＝100+5×每件降低的錢數(shù)0.5，即可用含x的代數(shù)式表示出降價(jià)（2）設(shè)每件降價(jià)y元，則每件的銷售利潤(rùn)為（32﹣y﹣20）元，每天的銷量為（100+10y）件，利用每天銷售該商品獲得的利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×每天的銷量，可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之可得出y值，將符合題意的值代入（32﹣y）中，即可求出售價(jià)應(yīng)定為24元/件；（3）該商店不能通過降價(jià)銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤(rùn)，設(shè)每件降價(jià)m元，則每件的銷售利潤(rùn)為（32﹣m﹣20）元，每天的銷量為（100+10m）件，利用每天銷售該商品獲得的利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×每天的銷量，可得出關(guān)于m的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣116＜0，可得出所列一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，即該商店不能通過降價(jià)銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤(rùn)．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：當(dāng)降價(jià)x元時(shí)，每天的銷量為100+5×x0.5=故答案為：（100+10x）；（2）設(shè)每件降價(jià)y元，則每件的銷售利潤(rùn)為（32﹣y﹣20）元，每天的銷量為（100+10y）件，根據(jù)題意得：（32﹣y﹣20）（100+10y）＝720，整理得：y2﹣2y﹣48＝0，解得：y1＝8，y2＝﹣6（不符合題意，舍去），∴32﹣y＝32﹣8＝24．答：要使每天獲得720元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為24元/件；（3）該商店不能通過降價(jià)銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤(rùn)，理由如下：設(shè)每件降價(jià)m元，則每件的銷售利潤(rùn)為（32﹣m﹣20）元，每天的銷量為（100+10m）件，根據(jù)題意得：（32﹣m﹣20）（100+10m）＝1500，整理得：m2﹣2m+30＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×