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一階線性微分方程機動目錄上頁下頁返回結束第四節(jié)一、一階線性微分方程二、伯努利方程

第七章一、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程

;機動目錄上頁下頁返回結束對應齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機動目錄上頁下頁返回結束例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結束例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同號,由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程機動目錄上頁下頁返回結束二、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁下頁返回結束例4.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束內(nèi)容小結1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1、判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結束2*.

求一連續(xù)可導函數(shù)使其滿足下列方程

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