第13章《軸對(duì)稱》知識(shí)講練（學(xué)生版）

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01：軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱（1）軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.（3）軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.知識(shí)點(diǎn)02：作軸對(duì)稱圖形1.作軸對(duì)稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.2.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,－）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,－）.知識(shí)點(diǎn)03：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?市期中）如圖，△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，AE＝3cm，△ADC的周長(zhǎng)為8cm，則△ABC的周長(zhǎng)是（）?A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm2．（2分）（2023春?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，三座商場(chǎng)分別坐落在A、B、C所在位置，現(xiàn)要規(guī)劃一個(gè)地鐵站，使得該地鐵站到三座商場(chǎng)的距離相等，該地鐵站應(yīng)建在（）A．三角形三條中線的交點(diǎn) B．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) C．三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)3．（2分）（2022秋?晉州市期末）等腰三角形的頂角為40°，則底角的度數(shù)為（）A．25° B．60° C．70° D．140°4．（2分）（2022秋?西寧期末）如圖，MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C在MN外，且與A點(diǎn)在MN的同一側(cè)，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接AP，則（）A．BC＞PC+AP B．BC＝PC+AP C．BC＜PC+AP D．BC≤PC+AP5．（2分）（2022秋?西寧期末）如圖，直線l，m相交于點(diǎn)O．P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP＝3.6．若點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，則P1，P2之間的距離不可能是（）A．8 B．7 C．6 D．56．（2分）（2023春?永春縣期末）如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過(guò)折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD；②∠A的平分線AE；③BC邊上的高AF．根據(jù)所學(xué)知識(shí)與相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可知：上述三條線中，能夠通過(guò)折紙折出的有（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③7．（2分）（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CP+PQ取得最小值時(shí)，BQ的長(zhǎng)是（）A．8 B．10 C．12 D．168．（2分）（2023?洪澤區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為（）A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α9．（2分）（2022秋?龍江縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)M且AE＝CE，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作弧，交DE于點(diǎn)F，連接CF交AB于點(diǎn)G．若CG＝FG，則∠B的度數(shù)為（）A．75° B．70° C．65° D．60°10．（2分）（2022秋?武昌區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，點(diǎn)E在AD上，連接BD，CE相交于點(diǎn)F，CE∥AB．若CE＝9，則CF的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．8二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?袁州區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，圖中線段上一動(dòng)點(diǎn)E，若滿足AE＝CE，AB＝6，∠BAC＝30°，則以AE為邊長(zhǎng)的正方形面積是．12．（2分）（2023春?達(dá)州期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝44°，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為B′，當(dāng)B′D∥AC時(shí)，則∠BCD的度數(shù)為．13．（2分）（2022秋?晉州市期末）如圖所示，圖中所有的三角形都是等邊三角形．若其中最小的等邊三角形的邊長(zhǎng)為1cm，則圖中涂有陰影的等邊三角形的邊長(zhǎng)為cm，周長(zhǎng)為cm，面積為cm2．14．（2分）（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝10cm，DE＝6cm，則BC的長(zhǎng)是cm．15．（2分）（2022秋?湖里區(qū)校級(jí)期末）如圖，所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥Ab于點(diǎn)M，0M⊥BC于點(diǎn)N；若OM＝ON，則∠ABO＝度．16．（2分）（2022秋?龍?zhí)秴^(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，BC＝30，則AD＝．17．（2分）（2023?桐柏縣一模）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP＝m，∠AOB＝α，點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)T，連接QT，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，連接PM，PN，下列結(jié)論：①∠OTQ＝90°﹣α；②當(dāng)α＝30°時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)為m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正確的有（填序號(hào)）．18．（2分）（2023?東莞市三模）如圖，等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是30，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為．19．（2分）（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D在AB上，E在CB上，A，C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)分別是G，F(xiàn)，若F在AB上，DG⊥AB，DG＝+1，則DE的長(zhǎng)是．20．（2分）（2022秋?道縣期末）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ為等邊三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正確的有．（注：把你認(rèn)為正確的答案序號(hào)都寫上）三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題：（用直尺畫圖，保留痕跡）（1）畫出格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）關(guān)于直線DE對(duì)稱的△A1B1C1；（2）在DE上畫出點(diǎn)Q，使QA+QC最??；（3）求△ABC的面積．22．（6分）（2023春?漢陽(yáng)區(qū)期末）如圖1，D為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠CAD的角平分線交BC垂直平分線于點(diǎn)E，交BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)F．（1）作△AEC關(guān)于直線EF的軸對(duì)稱圖形△AEG；（2）求證：∠BEC＝∠BAC；（3）如圖2，P為線段EF（不與E、F點(diǎn)重合）上異于A點(diǎn)的任一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．23．（8分）（2022秋??？悼h期末）如圖，在9×9的正方形網(wǎng)格中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，2），畫出平面直角坐標(biāo)系并寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與y軸平行，寫出點(diǎn)B、C關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)B1、C1的坐標(biāo)；（3）直接寫出BC上一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)．24．（8分）（2023春?揭東區(qū)期末）已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論，AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）．（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE＝2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．25．（8分）（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A'B'C'；（2）寫出點(diǎn)A'，B'，C'的坐標(biāo)．（3）在y軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的長(zhǎng)最短．26．（8分）（2022秋?潛江期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？27．（8分）（2023春?丹東期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如圖1，將AD、EB延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O：①求證：BE＝AD；②用