2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章定積分1定積分的概念課后作業(yè)含解析北師大版選修2-2

PAGE第四章定積分授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第95頁(yè)[A組基礎(chǔ)鞏固]1．下列等式不成立的是()A.eq\i\in(a,b,)[mf(x)＋ng(x)]dx＝meq\i\in(a,b,)f(x)dx＋neq\i\in(a,b,)g(x)dxB.eq\i\in(a,b,)[f(x)＋1]dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋b－aC.eq\i\in(a,b,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx·eq\i\in(a,b,)g(x)dxD.eq\i\in(－2π,2π,)sinxdx＝＋解析：由定積分的性質(zhì)知選項(xiàng)A、B、D正確，故選C.答案：C2．已知f(x)＝x3－x＋sinx，則eq\i\in(,2,)－2f(x)dx的值為()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．不確定解析：易知f(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)eq\i\in(,2,)－2f(x)dx＝0.答案：A3．已知曲線y＝f(x)在x軸下方，則由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所圍成的曲邊梯形的面積S可表示為()A. B.C．－eq\i\in(－1,3,)f(x)dx D．解析：因?yàn)閒(x)位于x軸下方，故f(x)<0.所以<0.故所求曲邊梯形的面積為答案：C4．求由曲線y＝ex，直線x＝2，y＝1圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，若選擇x為積分變量，則積分上限和積分下限分別為()A．e2,0 B．2,0C．2,1 D．1,0解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex，,y＝1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex，,x＝2，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝e2.))所以積分上限為2，積分下限為0.答案：B5．對(duì)于由直線x＝1，y＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形，把區(qū)間3等分，則曲邊梯形面積的近似值(取每個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn))是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,25)C.eq\f(1,27) D.eq\f(1,30)解析：將區(qū)間[0,1]三等分為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，各小矩形的面積和為s1＝03·eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3·eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3·eq\f(1,3)＝eq\f(9,81)＝eq\f(1,9).答案：A6．已知eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝6，則eq\i\in(a,b,)6f(x)dx＝________.解析：eq\i\in(a,b,)6f(x)dx＝6eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝36.答案：367．若eq\i\in(0,a,)xdx＝1，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．解析：由定積分的幾何意義知eq\i\in(0,a,)xdx＝eq\f(1,2)×a×a＝1(a>0)．則有a＝eq\r(2).答案：eq\r(2)8．利用定積分的性質(zhì)、幾何意義和被積函數(shù)的奇偶性求出＝________.解析：＝＋由于y＝sin5x為奇函數(shù)，所以＝0.而＝3，所以＝3.答案：39．化簡(jiǎn)下列各式，并畫(huà)出各小題所表示面積的圖形：(1)eq\i\in(－3,－2,)x2dx＋(2)eq\i\in(0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx.解析：(1)eq\i\in(－3,－2,)x2dx＋＝，它所表示面積的圖形如圖(1)．(1)(2)(2)eq\i\in(0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx＝eq\i\in(0,2,)|1－x|dx，它所表示面積的圖形如圖(2)．10．利用定積分的性質(zhì)和幾何意義求下列定積分(提示：若橢圓為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則其面積為πab)．(1)eq\i\in(0,3,)eq\r(2－x2)dx；(2).解析：(1)原式＝eq\i\in(0,3,)|2－x|dx＝eq\i\in(0,2,)(2－x)dx＋eq\i\in(2,3,)(x－2)dx，如圖所示．由幾何意義知eq\i\in(0,2,)(2－x)dx＝eq\f(1,2)×2×2＝2，eq\i\in(2,3,)(x－2)dx＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴eq\i\in(0,3,)eq\r(2－x2)dx＝eq\f(5,2).(2)被積函數(shù)eq\f(4,5)eq\r(25－x2)的圖像是中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸，短軸在y軸上的半橢圓．橢圓的面積是πab，其中a＝5，b＝4，∴＝eq\f(π×5×4,2)＝10π.[B組實(shí)力提升]1．已知eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝56，則()A.eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝28B.eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝28C.eq\i\in(1,2,)2f(x)dx＝56D.eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝56解析：eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝56.答案：D2．已知定積分∫eq\o\al(12,0)f(x)dx＝6，且f(x)為奇函數(shù)，則eq\i\in(－12,12,)f(x)dx等于()A．0 B．16C．12 D．8解析：由f(x)為奇函數(shù)，則，所以eq\i\in(－12,12,)f(x)dx＝＋∫eq\o\al(12,0)f(x)dx＝0.故選A.答案：A3．若a＝，b＝，c＝，則三者之間的大小關(guān)系為_(kāi)_______．解析：x∈(0，eq\f(π,4))時(shí)，sinx<x<tanx，所以b<a<c.答案：b<a<c4．設(shè)y＝f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx.先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間[0,1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再數(shù)出其中滿意yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx的近似值為_(kāi)_______．解析：由勻稱隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的原理知：在區(qū)間[0,1]上滿意yi≤f(xi)的點(diǎn)都落在了函數(shù)y＝f(x)的下方，又0≤f(x)≤1，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1,0≤y≤1,y≤fx))圍成的圖形的面積是eq\f(N1,N)，由定積分的幾何意義知eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\f(N1,N).答案：eq\f(N1,N)5．已知：eq\i\in(0,1,)exdx＝e－1，eq\i\in(1,2,)exdx＝e2－e，eq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(8,3)，eq\i\in(1,2,)eq\f(2,x)dx＝2ln2.求：(1)eq\i\in(0,2,)exdx；(2)eq\i\in(0,2,)(ex＋3x2)dx；(3)eq\i\in(1,2,)(ex＋eq\f(1,x))dx.解析：(1)eq\i\in(0,2,)exdx＝eq\i\in(0,1,)exdx＋eq\i\in(1,2,)exdx＝e－1＋e2－e＝e2－1.(2)eq\i\in(0,2,)(ex＋3x2)dx＝eq\i\in(0,2,)exdx＋eq\i\in(0,2,)(3x2)dx＝eq\i\in(0,2,)exdx＋3eq\i\in(0,2,)x2dx＝e2－1＋8＝e2＋7.(3)eq\i\in(1,2,)(ex＋eq\f(1,x))dx＝eq\i\in(1,2,)exdx＋eq\f(1,2)eq\i\in(1,2,)eq\f(2,x)dx＝e2－e＋ln2.6．用定積分定義求自由落體的下落距離．已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度v＝gt，求在時(shí)間區(qū)間[0，t]內(nèi)，物體下落的距離s.解析：(1)分割：將時(shí)間區(qū)間[0，t]分成n等份，把時(shí)間[0，t]分成n個(gè)小區(qū)間[eq\f(i－1,n)t，eq\f(it,n)](i＝1,2，…，n)．每個(gè)小區(qū)間所表示的時(shí)間Δt＝eq\f(it,n)－eq\f(i－1,n)t＝eq\f(t,n).在各個(gè)小區(qū)間物體下落的距離記為Δs1，Δs2，…，Δsn.(2)近似代替：在每個(gè)小區(qū)間上以勻速運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速運(yùn)動(dòng)的路程．在小區(qū)間[eq\f(i－1,n)t，eq\f(i,n)t]上任取一時(shí)刻ξi(i＝1,2，…，n)，為計(jì)算便利，取ξi為小區(qū)間的左端點(diǎn)，用時(shí)刻ξi的速度v(ξi)＝geq\f(i－1,n)t近似代替第i個(gè)小區(qū)間上的速度，因此在每個(gè)小區(qū)間上自由落體在Δt＝eq\f(t,n)內(nèi)所經(jīng)過(guò)的距離，可以近似地表示為Δsi≈g·(eq\f(i－1,n)·t)·eq\f(t,n)(i＝1,2，…，n)．(3)求和：sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)si＝eq\i\su(i＝1,n