專題02 數軸中的九類動態(tài)模型（解析版）

專題02數軸中的九類動態(tài)模型數軸中的動態(tài)問題屬于七年級上冊必考壓軸題型，主要以數軸為載體，體現分類討論和數形結合等思想，考查學生的分析與綜合能力。解題時，一般遵循“點、線、式”三步策略。即：先根據題意中動點的出發(fā)位置，移動方向和速度，用含t的式子表示動點，然后根據題中要求提煉出線段，用動點的含t表達式表示線段，最后根據線段間的等量關系，列出式子，然后求解（注意：要檢驗解是否符合動點的運動時間范圍）?！局R儲備】①求A、B兩點間的距離：若能確定左右位置：右—左；若無法確定左右位置：；②求A、B的中點：；③數軸動點問題主要步驟：1）畫圖——在數軸上表示出點的運動情況：運動方向和速度；2）寫點——寫出所有點表示的數：一般用含有t的代數式表示，向右運動用“+”表示，向左運動用“-”表示；3）表示距離——右—左，若無法判定兩點的左右需加絕對值；4）列式求解——根據條件列方程或代數式，求值。注意：要注意動點是否會來回往返運動。模型1.左右跳躍模型（動態(tài)規(guī)律模型）【模型解讀】例1．（2022·湖北鄂州·七年級期末）已知點A，B，C在數軸上對應的數分別為a，b，c，其中a滿足，b滿足，點P位于該數軸上．(1)求出a，b的值，并求出A，B兩點之間的距離AB；(2)設點C與點A的距離為24個單位長度，且，若PB＝2PC，求點P在數軸上對應的數p；(3)設點P從原點開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度……以此類推，問點P能移動到與點A或點B重合的位置嗎？若能，請?zhí)骄啃枰苿佣嗌俅尾拍苤睾希咳舨荒?，請說明理由．【答案】(1)a=8，b=-14，AB=22(2)點P對應數為-18或者(3)第8次移動時，即向右移動15個單位與點A重合，不能移動到與點B重合理由見解析【分析】（1）根據平方的非負性和解一元一次方程即可求出a、b從而求出AB；（2）先求出C點表示的數，然后根據PB=2PC，得到，，由此求解即可；（3）根據題意可知，每兩次運動點P向右移動2個單位長度，點P第（k為正整數）次移動后，P在原點左邊距離原點的位置，由此求解即可．(1)解：∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴；(2)解：∵，∴，∵點C與點A的距離為24個單位長度，∴點C表示的數為-16，∵PB=2PC，∴，，∴，∴或，解得或；(3)解：由題意可知，每兩次運動點P向右移動2個單位長度，∵點A表示的數為8，∴點P在第8次移動時，即向右移動15個單位與點A重合；根據題意可知點P第（k為正整數）次移動后，P在原點左邊距離原點的位置，∴，解得不符合題意，∴點P不能運動到B點；【點睛】本題主要考查了用數軸表示有理數，數軸上兩點的距離，解一元一次方程，數軸上的動點問題，熟知相關知識是解題的關鍵．例2．（2022·浙江嘉興·七年級期末）一個機器人從數軸原點出發(fā)，沿數軸正方向，以每前進3步后退2步的程序運動，設該機器人每秒鐘前進或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，表示第n秒時機器人在數軸上的位置所對應的數．給出下列結論：①；②；③；④．其中，正確結論的序號是_______．【答案】①②④【分析】“前進3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結構，先根據題意列出幾組數據，從數據找尋規(guī)律：第一個循環(huán)節(jié)結束的數即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結束的數即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結束的數即x15=3，…，第m個循環(huán)節(jié)結束的數就是第5m個數，即x5m=m．然后再根據“前進3步后退2步”的運動規(guī)律來求取對應的數值．【詳解】根據題意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列舉知①②正確，符合題意；由上可知：第一個循環(huán)節(jié)結束的數即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結束的數即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結束的數即x15=3，…，即第m個循環(huán)節(jié)結束的數即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③錯誤，不合題意；∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，故x2019＞x2020，故④正確．符合題意．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了規(guī)律型——數字的變化類，主要考查了數軸，要注意數軸上點的移動規(guī)律是“左減右加”．把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”結合起來．前進3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結構，讓n÷5看余數，余數是幾，那么第n秒時就是循環(huán)節(jié)中對應的第幾個數．變式1．（2022·福建龍巖·七年級期末）如圖，A點的初始位置在數軸上表示1的點上，先對A做如下移動：第一次向右移動3個單位長度到達點B，第二次從B點出發(fā)向左移動6個單位長度到達點C，第三次從C點出發(fā)向右移動9個單位長度到達點D，第四次從D點出發(fā)向左移動12個單位長度到達點E，……．以此類推，按照以上規(guī)律第（

）次移動到的點到原點的距離為20.A．7 B．10 C．14 D．19【答案】C【分析】次數的序號為奇數的點在點A的右邊，各點所表示的數依次增加3，序號為偶數的點在點A的左側，各點所表示的數依次減少3，用n的代數式表示出一般規(guī)律，即可解答．【詳解】解：第1次點A向右移動3個單位長度至點B，則B表示的數，1+3=4；第2次從點B向左移動6個單位長度至點C，則C表示的數為46=2；第3次從點C向右移動9個單位長度至點D，則D表示的數為2+9=7；第4次從點D向左移動12個單位長度至點E，則E表示的數為712=5；第5次移動后表示的數為5+15=10；第6次移動后表示的數為1018=8；…；當移動次數為奇數時，對應的數是4，7，10，…，第n次移動后表示的數是，當時，解得，n=（不符合題意，舍去）．當移動次數為偶數時，對應的數是2，5，8，…，第n次移動后表示的數是，當時，解得，n=14．故選：C．【點睛】本題考查數字的變化規(guī)律，根據所給點的運動關系，探索出對應點所表示數的一般規(guī)律是解題的關鍵．變式2．（2022·江蘇·泰州七年級階段練習）在如圖的數軸上，一動點Q從原點O出發(fā)，沿數軸以每秒鐘4個單位長度的速度來回移動，其移動方式是先向右移動1個單位長度，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度，又向右移動5個單位長度…（1）求出2.5秒鐘后動點Q所處的位置；（2）求出7秒鐘后動點Q所處的位置；（3）如果在數軸上有一個定點A，且A與原點O相距48個單位長度，問：動點Q從原點出發(fā)，可能與點A重合嗎？若能，則第一次與點A重合需多長時間？若不能，請說明理由．【答案】（1）-2；（2）4；（3）1140秒或1164秒．【分析】（1）先根據路程=速度×時間求出2.5秒鐘走過的路程，然后根據左減右加列式計算即可得解；（2）先根據路程=速度×時間求出7秒鐘走過的路程，然后根據左減右加列式計算即可得解；（3）分點A在原點左邊與右邊兩種情況分別求出動點走過的路程，然后根據時間=路程÷速度計算即可得解．【詳解】解：（1）∵4×2.5=10，∴點Q走過的路程是1+2+3+4=10，Q處于：1-2+3-4=4-6=-2；（2）∵4×7=28，∴點Q走過的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q處于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；（3）①當點A在原點右邊時，設需要第n次到達點A，則，解得n=95，∴動點Q走過的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560，∴時間=4560÷4=1140(秒)；②當點A原點左邊時，設需要第n次到達點A，則=48，解得n=96，∴動點Q走過的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656，∴時間=4656÷4=1164(秒)

．【點睛】本題考查了數軸的知識，弄清題中的移動規(guī)律是解本題的關鍵．（3）題注意要分情況討論求解，弄清楚跳到點A處的次數的計算方法是關鍵，可以動手操作一下便不難得解．模型2.點的常規(guī)運動模型【模型解讀】例1．（2023·江蘇、·七年級期中）已知數軸上有A、B、C三點，分別對應有理數－26、－10、10，動點P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點C移動，同時，動點Q從A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向終點C移動，設點P的移動時間為t秒．（1）當t＝5秒時，數軸上點P對應的數為，點Q對應的數為；P、Q兩點間的距離為．（2）用含t的代數式表示數軸上點P對應的數為．（3）在點P運動到C點的過程中（點Q運動到C點后停止運動），請用含t的代數式表示P、Q兩點間的距離．【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）當0≤t≤8時，PQ＝－2t＋16；當8＜t≤12時，PQ＝2t－16；當12＜t≤20時，PQ＝20－t．【分析】（1）由題意根據數軸上動點向正方向移動用加法以及兩點間距離公式進行分析計算；（2）根據題意點P的移動時間為t秒列出代數式即可；（3）根據題意分當0≤t≤8時，當8＜t≤12時，當12＜t≤20時三種情況進行分析即可.【詳解】解：（1）由題意可得當t＝5秒時，數軸上點P對應的數為：，點Q對應的數為：，P、Q兩點間的距離為：，故答案為：－5,－11；

6．（2）用含t的代數式表示數軸上點P對應的數為：－10＋t．故答案為：－10＋t．（3）當0≤t≤8時，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；當8＜t≤12時，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

當12＜t≤20時，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【點睛】本題考查數軸上的動點問題，熟練掌握列代數式表示動點以及兩點間距離公式，運用數形結合思維和分類討論思維進行分析是解題的關鍵.變式1.（2022·河北石家莊·七年級期末）如圖，已知A，B（B在A的左側）是數軸上的兩點，點A對應的數為8，且AB＝12，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左運動，在點P的運動過程中，M，N始終為AP，BP的中點，設運動時間為t（t＞0）秒，則下列結論中正確的有（

）①B對應的數是－4；②點P到達點B時，t＝6；③BP＝2時，t＝5；④在點P的運動過程中，線段MN的長度不變A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據兩點間距離進行計算即可；②利用路程除以速度即可；③分兩種情況，點P在點B的右側，點P在點B的左側，由題意求出AP的長，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況，點P在點B的右側，點P在點B的左側，利用線段的中點性質進行計算即可．【詳解】解：設點B對應的數是x，∵點A對應的數為8，且AB=12，∴8-x=12，∴x=-4，∴點B對應的數是-4，故①正確；由題意得：12÷2=6（秒），∴點P到達點B時，t=6，故②正確；分兩種情況：當點P在點B的右側時，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2時，t=5，當點P在點B的左側時，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），∴BP=2時，t=7，綜上所述，BP=2時，t=5或7，故③錯誤；分兩種情況：當點P在點B的右側時，∵M，N分別為AP，BP的中點，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，當點P在點B的左側時，∵M，N分別為AP，BP的中點，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，∴在點P的運動過程中，線段MN的長度不變，故④正確；所以，上列結論中正確的有3個，故選：C．【點睛】本題考查了數軸，根據題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．變式2.（2022·江西贛州·七年級期中）定義：若A，B，C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是的美好點．例如；如圖1，點A表示的數為，點B表示的數為2．表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距高是2，那么點D就不是的美好點，但點D是的美好點．如圖2，M，N為數軸上兩點，點M所表示的數為，點N所表示的數為2．（1）點E，F，G表示的數分別是，6.5，11，其中是美好點的是________；寫出美好點H所表示的數是___________．（2）現有一只電子螞蟻P從點N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動．當t為何值時，點P恰好為M和N的美好點？【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根據美好點的定義，結合圖2，直觀考察點E，F，G到點M，N的距離，只有點G符合條件．結合圖2，根據美好點的定義，在數軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，在點的移動過程中注意到兩個點的距離的變化．（2）根據美好點的定義，分情況分別確定P點的位置，進而可確定t的值．【詳解】解：（1）根據美好點的定義，結合圖2，直觀考察點E，F，G到點M，N的距離，只有點G符合條件，故答案是：G．結合圖2，根據美好點的定義，在數軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，點N的右側不存在滿足條件的點，點M和N之間靠近點M一側應該有滿足條件的點，進而可以確定-4符合條件．點M的左側距離點M的距離等于點M和點N的距離的點符合條件，進而可得符合條件的點是-16．故答案是：-4或-16．（2）根據美好點的定義，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點分6種情況，第一情況：當P為【M，N】的美好點，點P在M，N之間，如圖1，當MP=2PN時，PN=3，點P對應的數為2-3=-1，因此t=1.5秒；第二種情況，當P為【N，M】的美好點，點P在M，N之間，如圖2，當2PM=PN時，NP=6，點P對應的數為2-6=-4，因此t=3秒；第三種情況，P為【N，M】的美好點，點P在M左側，如圖3，當PN=2MN時，NP=18，點P對應的數為2-18=-16，因此t=9秒；綜上所述，t的值為：1.5或3或9．【點睛】本題考查實數與數軸、美好點的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．模型3.中點與n等分點模型【模型解讀】例1．（2022·山東·七年級專題練習）“幸福是奮斗出來的”，在數軸上，若C到A的距離剛好是3，則C點叫做A的“幸福點”，若C到A、B的距離之和為6，則C叫做A、B的“幸福中心”．（1）如圖1，點A表示的數為-1，則A的幸福點C所表示的數應該是______；（2）如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為4，點N所表示的數為-2，點C就是M、N的幸福中心，則C所表示的數可以是______（填一個即可）；（3）如圖3，A、B、P為數軸上三點，點A所表示的數為-1，點B所表示的數為4，點P所表示的數為8，現有一只電子螞蟻從點P出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動，秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心嗎？請說明理由．【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的數可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）當經過秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心．【分析】（1）根據幸福點的定義即可求解；（2）根據幸福中心的定義即可求解；（3）根據幸福中心的定義即可求解．【詳解】解：（1）A的幸福點C所表示的數應該是-1-3=-4或-1+3=2；故答案為：-4或2；（2）∵4-（-2）=6，∴M，N之間的所有數都是M，N的幸福中心．故C所表示的數可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）經過秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心，理由是：8-2-4+（8-2+1）=6，故當經過秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心．【點睛】本題考查了數軸及數軸上兩點的距離、動點問題，熟練掌握動點中三個量的數量關系式：路程=時間×速度，認真理解新定義．例2．（2022·四川綿陽·七年級?？茧A段練習）已知數軸上A、B兩點對應的數分別為和4，P為數軸上一點，對應數為x．(1)請直接寫出P所表示的數，使P到A點、B點距離的和為10．(2)若點A、點B和點P（點P在原點）同時向左運動，他們的速度分別為每秒1、2、1個（單位長度/秒）．①幾秒中后點P為線段的中點？并求出此時x的值；②是否存在點P，使得點P為線段的三等分點，若存在請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)①2秒中后點P為線段的中點；②或【分析】(1)分計算即可．（2）①根據題意,點B表示的數為，點A表示的數為，點P表示的數為，根據點P為線段的中點，得到，化簡計算即可．②分兩種情況計算求解即可．【詳解】（1）因為數軸上A、B兩點對應的數分別為和4，P為數軸上一點，對應數為x，P到A點、B點距離的和為10，當時，則，解得，符合題意；當時，則，解得，符合題意；當時，則，不符號題意，故或．（2）①根據題意,點B表示的數為，點A表示的數為，點P表示的數為，因為點P為線段的中點，所以，解得．②因為數軸上A、B兩點對應的數分別為和4，所以，當時，則，解得．當時，則，解得．當或時，點P為線段的三等分點．【點睛】本題考查了數軸上的動點問題，兩點間的距離，線段的中點即線段上一點把線段分成相等的兩條相等，線段的三等分點，熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關鍵．變式1．（2022秋·成都市·七年級專題練習）如圖，在數軸上有A，B兩點（點B在點A的右邊），點C是數軸上不與A，B兩點重合的一個動點，點M、N分別是線段AC，BC的中點，如果點A表示數a，點B表示數b，求線段MN的長度．下列關于甲、乙、丙的說法判斷正確的是（

）甲說：若點C在線段AB上運動時，線段MN的長度為；乙說：若點C在射線AB上運動時，線段MN的長度為；丙說：若點C在射線BA上運動時，線段MN的長度為．A．只有甲正確 B．只有乙正確 C．只有丙正確 D．三人均不正確【答案】A【分析】分別求得點C在線段AB上運動時，點C在射線AB上運動時和點C在射線BA上運動時，線段的長度，判定即可．【詳解】解：點C在線段AB上運動時，如下圖：甲說法正確；當點C在射線AB上運動時，如下圖：乙說法不正確；當點C在射線BA上運動時，如下圖：丙說法不正確故選A【點睛】此題考查數軸上的動點以及兩點之間的距離，解題的關鍵是對點C的位置進行分類討論分別求解．變式2．（2023·吉林·七年級期末）點A、B在數軸上表示的數如圖所示，動點P從點A出發(fā)，沿數軸向右以每秒1個單位長度的速度向點B運動到點B停止運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿數軸向左以每秒2個單位長度的速度向點A運動，到點A停止運動設點P運動的時間為t秒，P、Q兩點的距離為d（d≥0）個單位長度．（1）當t＝1時，d＝；（2）當P、Q兩點中有一個點恰好運動到線段AB的中點時，求d的值；（3）當點P運動到線段AB的3等分點時，直接寫出d的值；（4）當d＝5時，直接寫出t的值．【答案】（1）d＝3；（2）d的值為3或；（3）所求d的值為0或4；（4）所求t的值為或5．【分析】（1）當t＝1時，求出AP＝1，BQ＝2，根據PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P點恰好運動到線段AB的中點；②Q點恰好運動到線段AB的中點兩種情況進行討論；（3）當點P運動到線段AB的3等分點時，分①AP＝AB；②AP＝AB兩種情況進行討論；（4）當d＝5時，分①P與Q相遇之前；②P與Q相遇之后兩種情況進行討論．【詳解】（1）當t＝1時，AP＝1，BQ＝2，∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝3，即d＝3．故答案為3；（2）線段AB的中點表示的數是：＝1．①如果P點恰好運動到線段AB的中點，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，BQ＝2×3＝6，即Q運動到A點，此時d＝PQ＝PA＝3；②如果Q點恰好運動到線段AB的中點，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1×＝，則d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值為3或；（3）當點P運動到線段AB的3等分點時，分兩種情況：①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此時BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原點，則d＝PQ＝0；②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，∵動點Q從點B出發(fā)，沿數軸向左以每秒2個單位長度的速度向點A運動，到點A停止運動，∴此時BQ＝6，即Q運動到A點，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值為0或4；（4）當d＝5時，分兩種情況：①P與Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝；②P與Q相遇之后，∵P點運動到線段AB的中點時，t＝3，此時Q運動到A點，停止運動，∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值為或5．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，數軸，兩點間的距離，理解題意，分清動點P與動點Q的運動方向、運動速度與運動時間，從而正確進行分類討論是解題的關鍵．模型4.動態(tài)定值（無參型）模型【模型解讀】設未知數并表示各動點對應的數，若是行程問題一般設運動時間為t，從而表示出兩點之間的距離。當計算結果中不含有未知數，則為定值。例1．（2022·四川阿壩·七年級期末）如圖：在數軸上點表示數點示數點表示數是最大的負整數，在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處。；；；若將數軸折疊，使得點與點重合，則點與數___表示的點重合；點開始在數軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，假設秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為點與點之間的距離表示為點與點之間的距離表示為，則__，__，___；（用含的代數式表示）請問:的值是否隨著時間的變化而改變﹖若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不會隨著時間t的變化而改變，該值是21．【分析】（1）根據b為最大的負整數可得出b的值，再根據在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處即可得出a、c的值；（2）根據折疊的性質結合a、b、c的值，即可找出與點B重合的數；（3）根據運動的方向和速度結合a、b、c的值，即可找出t秒后點A、B、C分別表示的數，利用數軸上兩點間的距離即可求出AB、AC、BC的值；（4））將（3）的結論代入中，可得出的值不會隨著時間的變化而變化，即為定值，此題得解．【詳解】（1）b是最大的負整數，在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處，（2）將數軸折疊，使得點與點重合（3）點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動t秒鐘過后，根據得：，，又，，點表示的數為，點表示的數為，點C表示的數為，，，；（4）由（3）可知：，的值為定值21．故答案為：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不會隨著時間t的變化而改變，該值是21．【點睛】本題考查了數軸及兩點間的距離，根據點運動的方向和速度找出點A、B、C運動后代表的數是解題的關鍵．例2．（2022秋·廣西·七年級專題練習）如圖，在數軸上，點A、B、C表示的數分別為－2、1、6（點A與點B之間的距離表示為AB）．（1）AB=，BC=，AC=．（2）若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動．請問：2BC－AC的值是否隨著運動時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，求其值．（3）若點C以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時，點A和點B分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向右運動．求隨著運動時間t的變化，AB、BC、AC之間的數量關系．【答案】（1）3，5，8；（2）不會，理由見解析；（3）當t<1時，AB+BC=AC；當t大于或等于1，且t小于或等于2時，BC+AC=AB；當t>2時，AB+AC=BC【分析】（1）根據點A、B、C在數軸上的位置，寫出AB、BC、AC的長度；（2）求出BC和AC的值，然后求出2BC?AC的值，判斷即可；（3）分別表示出AB、BC、AC的長度，然后分情況討論得出之間的關系．【詳解】解：（1）由圖可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，故答案為：3，5，8；（2）2BC?AC的值不會隨著時間t的變化而改變．設運動時間為t秒，則2BC?AC＝2[6＋5t?（1＋2t）]?[6＋5t?（?2?t）]＝12＋10t?2?4t?8?6t＝2，故2BC?AC的值不會隨著時間t的變化而改變；（3）由題意得，AB＝t＋3，BC＝5?5t（t＜1時）或BC＝5t?5（t≥1時），AC＝8?4t（t≤2時）或AC＝4t?8（t＞2時），當t＜1時，AB＋BC＝（t＋3）＋（5?5t）＝8?4t＝AC；當1≤t≤2時，BC＋AC＝（5t?5）＋（8?4t）＝t＋3＝AB；當t＞2時，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t?8）＝5t?5＝BC．【點睛】本題主要考查了數軸及兩點間的距離，解題的關鍵是能求出兩點間的距離．變式1．（2023·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且a，b滿足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求線段AB的長；（2）如圖①，點C在數軸上對應的數為x，且是方程的根，在數軸上是否存在點M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出點M對應的數；若不存在，說明理由；（3）如圖②，若N點是B點右側一點，NA的中點為Q，P為NB的三等分點且靠近于B點，當N在B的右側運動時，請直接判斷的值是不變的還是變的，如果不變請直接寫出其值，如果是變的請說明理由．【答案】（1）線段AB的長為5；（2）存在，當點M表示的數為﹣5或4時，MA+MB＝BC+AB；（3）的值不變，為.【分析】（1）利用非負數的性質求出a與b的值，即可確定出AB的長；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點，設點M在數軸上對應的數是m，由MA+MB＝BC+AB確定出M位置，即可做出判斷；（3）設N點所表示的數為n，就有NA=n+3，NB=n﹣2，根據條件就可以表示出NQ＝NA＝，BP＝NB＝（n﹣2），再代入求出其值即可．【詳解】（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，∴a+3=0，b﹣2=0，∴a=﹣3，b=2，∴AB=|﹣3﹣2|=5．答：線段AB的長為5；（2）存在，∵x+1＝x﹣2，∴x=﹣6，∴BC=8．設點M在數軸上對應的數是m，∵MA+MB＝BC+AB，∴|m+3|+|m﹣2|＝×8+5，令m+3=0，m﹣2=0，∴m=﹣3或m=2．①當m≤﹣3時，﹣m﹣3+2﹣m=9，

m=﹣5；②當﹣3＜m≤2時，m+3+2﹣m=9（舍去）；③當m＞2時，m+3+m﹣2=9，m=4．∴當點M表示的數為﹣5或4時，MA+MB＝BC+AB；（3）設N點所表示的數為n，∴NA=n+3，NB=n﹣2．∵NA的中點為Q，∴NQ＝NA＝，P為NB的三等分點且靠近于B點，∴BP＝NB＝（n﹣2），∴×-×(n-2)=，故的值是不變的．【點睛】本題考查了一元一次方程的運用，數軸的運用，數軸上任意兩點間的距離的運用，去絕對值的運用，解答時靈活運用兩點間的距離公式求解是關鍵．變式2.（2022·福建·廈門市七年級期中）已知數軸上兩點A、B所表示的數分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點；(1)a＝，b＝.(2)若點C從O點出發(fā)向右運動，經過3秒后點C到A點的距離等于點C到B點距離，求點C的運動速度？（結合數軸，進行分析.）(3)若點D以2個單位每秒的速度從點O向右運動，同時點P從點A出發(fā)以3個單位每秒的速度向左運動，點Q從點B出發(fā)，以6個單位每秒的速度向右運動．在運動過程中，M、N分別為PD、OQ的中點，問的值是否發(fā)生變化，請說明理由.（注：PD指的是點P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長度的差.類似的，其它的兩個大寫字母寫在一起時意義一樣.【答案】（1）-3、9；（2）點C的速度為每秒1個單位長度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由見解析.【分析】（1）根據幾個非負數的和為0，則每一個數都是0，建立關于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根據點C從O點出發(fā)向右運動，經過3秒后點C到A點的距離等于點C到B點距離，可表示，，再由CA=CB建立關于x的方程求解即可；（3）根據點的運動速度和方向，分別用含t的代數式表示點D、P、Q、M、N對應的數，再分別求出PQ、OD、MN的長，然后求出的值為常量，即可得出結論.【詳解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；（2）設3秒后點C對應的數為x，則，，∵CA=CB，∴，當，無解；當，解得x=3，此時點C的速度為3÷3=1個單位每秒，∴點C的速度為每秒1個單位長度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由如下：設運動時間為t秒，則點D對應的數為2t；點P對應的數為-3-3t；點Q對應的數為9+6t；點M對應的數為-1.5-0.5t；點N對應的數為4.5+3t；則PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，∴，為定值，即的值沒有發(fā)生變化.【點睛】本題考查列代數式和一元一次方程的應用，解題關鍵是根據數軸表示的數正確列出代數式.模型5.折線數軸（雙動點）模型【模型解讀】例1．（2022秋·浙江寧波·七年級校考期中）數軸上點A表示，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數軸在原點O和點B、C處各折一下，得到一條“折線數軸”．在“折線數軸”上，把兩點所對應的兩數之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離．例如，點A和點D在折線數軸上的和諧距離為個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數軸”負方向向終點A運動，其中一點到達終點時，兩點都停止運動．設運動的時間為t秒．(1)當秒時，M、N兩點在折線數軸上的和諧距離為__________；(2)當點M、N都運動到折線段上時，O、M兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數式表示）；C、N兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數式表示）；__________時，M、N兩點相遇；(3)當__________時，M、N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度；當__________時，M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等．【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或【分析】（1）當秒時，M表示的數是，N表示的數是，即的M、N兩點在折線數軸上的和諧距離為；（2）當點M、N都運動到折線段上，即時，M表示的數是，N表示的數是，而M、N兩點相遇時，M、N表示的數相同，即得，可解得答案；（3）根據M、N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度，得，可解得或，由時，M運動到O，同時N運動到C，可知時，不存在M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等，當，即M在從點O運動到點C時，有，可解得或，當時，M在從C運動到D，速度變?yōu)?個單位/秒，不存在M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等，即可得答案．【詳解】（1）當秒時，M表示的數是，N表示的數是，∴M、N兩點在折線數軸上的和諧距離為，故答案為：12；（2）由（1）知，2秒時M運動到O，N運動到C，∴當點M、N都運動到折線段上，即時，M表示的數是，N表示的數是，∴O、M兩點間的和諧距離，C、N兩點間的和諧距離，∵M、N兩點相遇時，M、N表示的數相同，∴，解得，故答案為：，，；（3）∵M、N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度，∴，即，∴或，解得或，由（1）知，時，M運動到O，同時N運動到C，∴時，不存在M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等，當，即M在從點O運動到點C時，，即，∴或，解得或，當時，M在從C運動到D，速度變?yōu)?個單位/秒，不存在M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等，故答案為：或；8或．【點睛】本題考查一次方程的應用，解題的關鍵是用含t的代數式表示點運動后表示的數及分類討論．變式1．（2023·廣東·七年級專題練習）如下圖，數軸上，點A表示的數為，點B表示的數為，點C表示的數為9，點D表示的數為13，在點B和點C處各折一下，得到一條“折線數軸”，我們稱點A和點D在數軸上相距20個長度單位，動點P從點A出發(fā)，沿著“折線數軸”的正方向運動，同時，動點Q從點D出發(fā)，沿著“折線數軸”的負方向運動，它們在“水平路線”射線BA和射線CD上的運動速度相同均為2個單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設運動的時間為t秒，問：(1)動點Q從點C運動到點B需要的時間為______秒；(2)動點P從點A運動至D點需要的時間為多少秒？(3)當P、O兩點在數軸上相距的長度與Q、O兩點在數軸上相距的長度相等時，求出動點P在數軸上所對應的數．【答案】(1)2.5(2)15(3)【分析】（1）求出BC長度，“下坡路段”速度是4個單位/秒，即得動點Q從點C運動到點B的時間；（2）先求出AB，BC，CD的長度，再根據“水平路線”速度是2個單位/秒，從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，即得動點P從點A運動至D點需要的時間；（3）設運動時間為秒，分四種情況：①當0≤t≤2，②當2＜t≤3，③當3<t<4.5，④當4.5＜t≤7.5，列方程求出t．【詳解】（1）∵點B表示的數為-1，點C表示的數為9，∴BC=1-(-9)=10(個單位)，∵“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍，“水平路線”速度是2個單位/秒，∴“下坡路段”速度是4個單位/秒，∴動點Q從點C運動到點B需要的時間為10÷4=2.5(秒)；（2）根據題意知：AB=|-7-(-1)|=6(個單位)，BC=1-(-9)=10(個單位)，CD=13-9=4(個單位)，∴“水平路線”速度是2個單位/秒，從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，∴動點P從點A運動至D點需要的時間為6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)；（3）設運動時間為t秒，①當0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，顯然P、O兩點在數軸上相距的長度與Q、O兩點在數軸上相距的長度不會相等；②當2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上時，P表示的數是-7+2t，Q表示的數是9-4(t-2)，∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此時P已不在AB上，不符合題意，這種情況不存在；③當3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上時，P表示的數是-1+(t-3)=t-4，Q表示的數是9-4(t-2)=17-4t，∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的數是或；④當4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上時，P表示的數是t-4，Q表示的數是-1-2(t-4.5)=8-2t，∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合題意，舍去)，綜上所述，當P、O兩點在數軸上相距的長度與Q、O兩點在數軸上相距的長度相等時，動點P在數軸上所對應的數是或．【點睛】本題考查數軸上的動點問題，解題關鍵是用含t的代數式表示動點表示的數，據運動過程分類討論．變式2．（2022·重慶·七年級期中）數軸上點A表示－12，點B表示12，點C表示24，如圖，將數軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數軸”，在“折線數軸”上，把兩點所對應的兩數之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離，那么我們稱點A和點C在折線數軸上的和諧距離為36個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以3個單位/秒的速度沿著折線數軸的正方向運動，從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，過點B后繼續(xù)以原來的速度向正方向運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點C出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著“折線數軸”的負方向運動，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄^點O后繼續(xù)以原來的速度向負方向運動．設運動的時間為t秒．（1）當秒時，求M，N兩點在折線數軸上的和諧距離；（2）當M，N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度時，求運動時間t的值；（3）當點M運動到點C時，立即以原速返回，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?；當點N運動到點A時，點M、N立即停止運動，是否存在某一時刻t使得M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等？若存在，請直接寫出t的取值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或或【分析】（1）當秒時，求出點和點在數軸上相距的長度單位，點和點在數軸上相距的長度單位，據此求出、和諧距離即可；（2）分兩種情況：當M，N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度，且沒有相遇時，當M，N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度，且相遇后又離開時，分別列出方程，然后求解即可；（3）分六種情況：①當點在，點在上運動時，②當點在，點在上運動時，③當點，點在上運動時，④當點在，點在上運動時，⑤當點在，點在上運動，且點沒有返回時，⑥當點在，點在上運動，且點返回時，分別列出方程，然后求解即可．【詳解】解：（1）當秒時，點和點在數軸上相距個長度單位，即點在數軸上表示的點是點和點在數軸上相距個長度單位，即點在點的位置上，在數軸上表示的點是12，則、和諧距離是：個單位長度；（2）如圖示：點運動到點位置時，用的時間是：秒，當點在折線數軸上運動4秒時，則在上的運動時間是秒，在上的運動時間是秒，則，∴，設點，點在在上的運動時間是，當M，N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度，且沒有相遇時，依題意得：，解得：，∴總用時是：秒；當M，N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度，且相遇后又離開時，依題意得：，解得：，∴總用時是：秒；綜上所述，當運動秒或秒時，M，N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度；（3）存在，理由如下：根據題意可知，點在上的運動，并沒返回時，使用的時間是秒，點在上的運動，使用的時間是秒，可得，點在到達點時，繼續(xù)返回運動了2秒，①當點在，點在上運動時，依題意得：解得：，不合題意，舍去；∵點在到達點時，使用的時間是秒，先于點在上運動，②當點在，點在上運動時，依題意得：解得：；③當點，點在上運動時，依題意得：解得：；④∵點在到達點時，使用的時間是秒，先于點到達點，當點在，點在上運動時，無法找到任一點，使得M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等，故不存在這樣的時間；⑤當點在，點在上運動，且點沒有返回時，依題意得：解得：，不合題意，舍去；⑥當點在，點在上運動，且點返回時，依題意得：解得：；綜上所述，使得M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等的時間是：或或；【點睛】本題綜合考查了數軸與有理數的關系，一元一次方程在數軸上的應用，路程、速度、時間三者的關系等相關知識點，利用分類討論思想，對題目進行分析解答是解題的關鍵．模型6.動點往返運動模型【模型解讀】例1．（2022秋·重慶·七年級專題練習）如圖，A、O、B兩點在數軸上對應的數分別為﹣20、0、40，C點在A、B之間，在A、B兩點處各放一個擋板，M、N兩個小球同時從C處出發(fā)，M以2個單位/秒的速度向數軸負方向運動，N以4個單位/秒的速度向數軸正方向運動，碰到擋板后則反方向運動，速度大小不變．設兩個小球運動的時間為t秒鐘（0＜t＜40），當M小球第一次碰到A擋板時，N小球剛好第一次碰到B擋板．則：①C點在數軸上對應的數為0；②當10＜t＜25時，N在數軸上對應的數可以表示為80﹣4t；③當25＜t＜40時，2MA+NB始終為定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上結論正確的有（）A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④【答案】D【分析】設C點在數軸上對應的數為，根據題意可得，求得；根據題意分時間段討論兩小球的位置，分別求解即可．【詳解】解：設C點在數軸上對應的數為，則，當M小球第一次碰到A擋板時，N小球剛好第一次碰到B擋板，則解得，即C點在數軸上對應的數為0，①正確；當時，N小球運動的距離為，剛好到達點，當時，N小球運動的距離為，剛好到達點，M小球運動的距離為當10＜t＜25時，N小球從點向點開始運動，此時，點表示數的為，②正確；當時，N小球運動的距離為，M小球運動的距離為當25＜t＜40時，N小球從點向點開始運動，M小球向點運動則，，，③錯誤；當時，，，由題意得，，解得，不符題意；當時，，，由題意得，，解得，不符題意；當時，，當時，，由題意得，，解得，此時三點重合，成立；當時，，由題意得，，解得，不符題意；當時，，由題意得，，解得，不符題意；④正確故選：D【點睛】此題考查了數軸的應用，涉及了數軸上兩點之間的距離以及數軸上的動點，解題的關鍵是理解題意，掌握題中的等量關系，分時間段進行討論求解即可．例2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┮阎獢递S上兩點A、B對應的數分別是6，﹣8，M、N、P為數軸上三個動點，點M從A點出發(fā)速度為每秒2個單位長度，點N從點B出發(fā)速度為點M的3倍，點P從原點出發(fā)速度為每秒1個單位長度．（1）求A、B兩點的距離為個單位長度．（2）若點M向右運動，同時點N向左運動，求經過多長時間點M與點N相距54個單位長度？（3）若點M、N、P同時都向右運動，當點M與點N相遇后，點M、P繼續(xù)以原來的速度向右運動，點N改變運動方向，以原來的速度向左運動，求從開始運動后，經過多長時間點P到點M、N的距離相等？【答案】（1）14；（2）5秒；（3）秒或3.5秒或秒.【分析】（1）根據兩點間的距離公式即可求出A、B兩點的距離；（2）設經過x秒點M與點N相距54個單位，由點M從A點出發(fā)速度為每秒2個單位，點N從點B出發(fā)速度為M點的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可；（3）首先求出點M與點N相遇的時間為14÷（6﹣2）＝3.5秒，此時N點對應的數是﹣8+6×3.5＝13，再設從開始運動后，相遇前經過t秒點P到點M、N的距離相等，或相遇后經過t秒點P到點M、N的距離相等，根據PM＝PN列出方程，進而求解即可．【詳解】解：（1）∵數軸上兩點A、B對應的數分別是6，﹣8，∴A、B兩點的距離為6﹣（﹣8）＝14．故答案為14；（2）設經過x秒點M與點N相距54個單位．依題意可列方程為：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5．答：經過5秒點M與點N相距54個單位；（3）點M與點N相遇的時間為14÷（6﹣2）＝3.5秒，此時N點對應的數是﹣8+6×3.5＝13．設從開始運動后，相遇前經過t秒點P到點M、N的距離相等．依題意可列方程為：t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝，設從開始運動后，相遇后經過t秒點P到點M、N的距離相等．依題意可列方程為：（2t+6）﹣t＝t﹣[13﹣6（t﹣3.5）]，解得t＝．答：從開始運動后，經過秒或3.5秒或秒點P到點M、N的距離相等．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，利用行程問題的基本數量關系，以及數軸直觀解決問題即可．變式1.（2022·陜西·西安七年級期中）如圖：在數軸上A點表示數a，B點表示數b，C點表示數c，且a，b滿足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝，b＝；（2）點P為數軸上一動點，其對應的數為x，則當x時，代數式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值為；（3）點P從點A處以1個單位/秒的速度向左運動；同時點Q從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，在點Q到達點C后，以原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為t（t≤8）秒，求第幾秒時，點P、Q之間的距離是點B、Q之問距離的2倍？【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根據非負數的性質得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，則代數式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代數式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分類討論，分別求出相應的代數式的值或范圍，再確定代數式的最大值；（3）先由點C表示的數是1，點B表示的數是9，計算出B、C兩點之間的距離，確定t的取值范圍，再按t的不同取值范圍分別求出相應的t的值即可．【詳解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案為：﹣3，9．（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代數式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代數式|x+3|﹣|x﹣9|，當x＜﹣3時，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；當﹣3≤x＜9時，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；當x≥9時，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，綜上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值為12，故答案為：≥9，12．（3）∵點C表示的數是1，點B表示的數是9，∴B、C兩點之間的距離是9﹣1＝8，當點Q與點C重合時，則2t＝8，解得t＝4，當0＜t≤4時，如圖1，點P表示的數是﹣3﹣t，點Q表示的數是9﹣2t，根據題意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；當4＜t≤8時，如圖2，點P表示的數仍是﹣3﹣t，∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴點Q表示的數是2t﹣7，根據題意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，綜上所述，第秒或第秒，點P、Q之間的距離是點B、Q之間距離的2倍．【點睛】本題考查數軸、數軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用、絕對值的幾何意義等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．變式2．（2022·江蘇無錫·七年級期末）在數軸上，點A表示，點B表示20，動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)．(1)如圖1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它們的速度之比是2：3（速度單位：1個單位長度/秒），則點P的速度為個單位長度/秒，點Q的速度為個單位長度/秒；(2)如圖2，若在原點O處放一塊擋板．P、Q均以（1）中的速度同時向左運動，點Q在碰到擋板后（忽略球的大小）改變速度并向相反方向運動，設它們的運動時間為t（秒），試探究：①若點Q兩次經過數軸上表示12的點的間隔是5秒，求點Q碰到擋板后的運動速度；②若點Q碰到擋板后速度變?yōu)樵俣鹊?倍，求運動過程中P、Q兩點到原點距離相等的時間t．【答案】(1)2，3(2)①12個單位長度/秒；②2秒或秒【分析】（1）設P、Q的速度分別為2x，3x，由兩點路程之和=兩點之間的距離，列方程即可求解；（2）解：①點Q第一次經過表示12的點開始到達原點用時4秒，再次到達表示12的點用時1秒，即可求解；②分兩種情況：當P、Q都向左運動時和當Q返回向右運動時即可求解.(1)解：設P、Q的速度分別為2x，3x，由題意，得：6（2x+3x）=20-（-10），解得：x=1，故2x=2，3x=3，故答案為：2，3；(2)解：①，．答：點Q碰到擋板后的運動速度為12個單位長度/秒．②當P、Q都向左運動時，解得：．當Q返回向右運動時，解得：．答：P、Q兩點到原點距離相等時經歷的時間為2秒或秒．【點睛】本題考查了數軸上兩點的距離、數軸上點的表示、一元一次方程的應用，比較復雜，要認真理清題意，并注意數軸上的點，原點左邊表示負數，右邊表示正數，在數軸上，兩點的距離等于任意兩點表示的數的差的絕對值．模型7.線段和差且含參模型【模型解讀】例1．（2022秋·廣西·七年級專題練習）如圖，在數軸上點B表示數b，點C表示數c，且．我們把數軸上兩點之間的距離用表示兩點的大寫字母一起標記．比如：點A與點B之間的距離記作AB．（1）求BC的值；（2）在數軸上有一動點M滿足MB＋MC＝51，直接寫出點M表示的數；（3）動點A從數3對應的點開始向右運動，速度為每秒2個單位長度，同時點B，C在數軸上運動，點B，C的速度分別為每秒3個單位長度、每秒5個單位長度，運動時間為t秒．①若點B向右運動，點C向左運動，BA＝ＢC，求t的值；②若點B向右運動，點C向右運動，（不考慮點A與點B重合），是否存在一個常數使得的值在一定時間范圍內不隨t的變化而變化？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）45；（2）-18或33；（3）①或；②存在，n=3或-3【分析】（1）根據非負性可求出答案；（2）分三種情況：當點M在點B的左側；當點M在點B，C之間時；當點M在點C的右側時；進行討論可求M點表示的數；（3）①用t的代數式表示AB，BC，列出等式可求解；②用t的代數式表示AB，AC，代入代數式可求解．【詳解】（1）∵，∴b=-15，c=30，∴BC=30-（-15）=45；（2）當點M在點B的左側，∵MB＋MC＝51，∴MB＋MB+BC＝51，∴MB=3，∴點M點表示的數為-15-3=-18；當點M在點B，C之間時，∵MB＋MC＝BC=45≠51，∴不存在點M，使MB＋MC＝51；當點M在點C的右側時,∵MB＋MC＝51，∴BC+MC+MC=51，∴MC=3，∴點M點表示的數為30+3=33；綜上所述，M點表示的數為-18或33；（3）①∵AB=BC，∴|（3+2t）-（-15+3t）|=|（3+2t）-（30-5t）|∴或．②∵=-，原式=(3+n)t+27-18n或者(3-n)t+27+18n，且的值不隨時間t的變化而改變，∴3+n=0，3-n=0，∴存在，n=3或者-3．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，數軸以及絕對值的知識點，數軸上的中點公式，動點在數軸上運動，在已知運動的方向和速度之后，就可以利用原來所在的數如果向右移動就加上向右移動的距離，如果向左移動，就減去向左移動的距離為解題關鍵，利用方程思想列式求解即可．例2．（2022春·湖南衡陽·七年級?？茧A段練習）如圖，點表示的數是，點表示的數是，滿足，動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒，動點表示的數是．(1)直接寫______，______，______用含的代數式表示；(2)動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點、同時出發(fā)，①問點運動多少秒時追上點？②問點運動多少秒時與點相距個單位長度？并求出此時點表示的數；(3)點、以（2）中的速度同時分別從點、向右運動，同時點從原點以每秒個單位的速度向右運動，是否存在常數，使得的值為定值，若存在請求出值以及這個定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；；(2)①點運動秒時追上點；②點運動秒或秒時與點相距個單位長度，此時點表示的數為或(3)存在常數，使得的值為定值，該定值為【分析】（1）利用絕對值及偶次方的非負性，即可求出，的值，由點的出發(fā)點、運動方向及運動速度，即可用含的代數式表示出值；（2）當運動時間為秒時，點表示的數為．根據點，表示的數相同，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論；根據點，兩點之間的距離為，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出的值，再將其代入中即可求出點表示的數；（3）當運動時間為秒時，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，利用數軸上兩點間的距離公式，可找出，，的值，進而可得出，結合的值為定值，即可求出的值，進而可得出該定值為．（1）解；，，，，．動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，運動時間為秒，，故答案為：，，；（2）解：當運動時間為秒時，點表示的數為．依題意得：，解得：，故點運動秒時追上點．依題意得：，即或，解得：或．當時，；當時，．綜上：點運動秒或秒時與點相距個單位長度，此時點表示的數為或；（3）解：當運動時間為秒時，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，，，，．的值為定值，，，存在常數，使得的值為定值，該定值為．【點睛】本題考查了絕對值的非負性、偶次方的非負性、列代數式、一元一次方程的應用以及數軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是：（1）利用絕對值及偶次方的非負性，求出，；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（3）根據各數量之間的關系，用含的代數式表示出，，的長度．變式1．（2022秋·福建廈門·七年級?？计谥校┮阎欣頂礱，b，c在數軸上對應的點分別為A，B，C，且滿足，．(1)分別求a，b，c的值；(2)若點D在數軸上對應的數為x，當A、D間距離是B、C間距離的4倍時，請求出x的值；(3)若點A和點B分別以每秒2個單位長度和每秒1個單位長度的速度在數軸上同時向右運動，設運動時間為t秒，是否存在一個常數k，使得的值在一定時間范圍內不隨運動時間t的改變而改變？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在符合條件的k，k=6．【分析】（1）絕對值和平方具有非負性，由非負數的和等于0，每個非負數都為零，求出a，b，c；（2）由數軸上兩點間的距離公式表示出和，建立方程求解x；（3）假設存在符合條件的k，表示，再利用整式的性質求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，又∵，∴．∴；（2）解：由題意得：，∴，當時，，當時，，綜上：或；（3）解：假設存在符合條件的k，經過t秒，點A表示的數為，點B表示的數為，且A，B都在點C右側，∴，，∴，∵的值在一定時間范圍內不隨運動時間t的改變而改變，∴，∴，∴存在符合條件的k，．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、數軸、絕對值以及偶次方的非負性，解題的關鍵是：（1）利用絕對值及偶次方的非負性，求出a，b的值；（2）①找準等量關系，正確列出一元一次方程；②用含t的代數式表示出的值．變式2．（2022秋·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）已知：如圖數軸上有三點，點A和點B間距20個單位長度且點A、B表示的有理數互為相反數，，數軸上有一動點P從點A出發(fā)，以2個單位秒的速度向右沿數軸運動，設運動時間為t秒．(1)點A表示的有理數是______，點C表示的有理數是______，點P表示的數是______用含的式子表示．(2)當___秒時，兩點之間相距8個單位長度？(3)若點A、點B和點C與點P同時在數軸上運動，點A以個單位秒的速度向左運動，點B和點C分別以3個單位秒和4個單位秒的速度向右運動，是否存在常數，使得為一個定值，若存在，請求出值以及這個定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)或(3)，這個定值為【分析】（1）設點B表示的數為，則點A表示的數為，由數軸可知，求出，根據算出點C表示的數，再由點P的運動速度和時間求出點P表示的數即可；（2）分點P在點B左邊和點P在點B右邊兩種情況進行解答即可；（3）根據題意先將點A、點B和點C表示的數用t表示出來，再算出、、并代入中，合并同類項即可解答．【詳解】（1）解：設點B表示的數為，則點A表示的數為，∵點A和點B間距個單位長度，∴，解得：，∴點A表示的有理數是，∵，∴點C表示的有理數是，∵動點P從點A出發(fā)，以2個單位長度秒的速度向右沿數軸運動，運動時間為秒，∴點P表示的數是，故答案為：，，；（2）解：①當點P在點B左邊時，，∵兩點之間相距8個單位長度，∴，解得：，②當點P在點B右邊時，，∵兩點之間相距8個單位長度，∴，解得：，∴當或秒時，兩點之間相距8個單位長度，故答案為：或；（3）解：存在常數，使得為一個定值，理由如下：由題意可知，點A表示的數為，點B表示的數為，點C表示的數為，則，，，，∵要使得為一個定值，∴，解得：，∴，∴，這個定值為．【點睛】本題考查的是數軸的知識，整式的加減，一元一次方程的應用，掌握相反數的概念、靈活運用數形結合思想和分情況討論思想是解題的關鍵．模型8.數軸折疊（翻折）模型【模型解讀】例1．（2022秋·河南漯河·七年級統(tǒng)考期中）操作探究：已知在紙上有一數軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，若使1表示的點與表示的點重合，則表示的點與________表示的點重合．(2)操作二：折疊紙面，若使表示的點與3表示的點重合，回答以下問題：①5表示的點與數________表示的點重合；②若數軸上A，B兩點之間距離為10（A在B左側），且A，B兩點經折疊后重合，則點A表示的數為________，點B表示的數為________；(3)操作三：點E以每秒3個單位長度的速度從數5對應的點沿著數軸的負方向運動，點F以每秒1個單位長度的速度從數對應的點沿著數軸的負方向運動，且兩個點同時出發(fā)，請直接寫出多少秒后，折疊紙面，使1表示的點與表示的點重合時，點E與點F也恰好重合．【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒【分析】（1）設表示的點與x表示的點重合，根據1表示的點與表示的點重合，得到折痕過原點，根據對稱點到對稱軸的距離相等得到，解得；（2）①根據表示的點與3表示的點重合，得到折痕經過數表示的點，設5表示的點與數x表示的點重合，得到，解得；②設點A表示的數為x，則，解得，點B表示的數為；（3）設t秒，得到點E表示的數為，點F表示的數為，當1表示的點與表示的點重合時，得到折痕過原點，根據點E與點F也恰好重合，得到，解得．【詳解】（1）設表示的點與x表示的點重合∵1表示的點與表示的點重合，∴折痕經過數表示的點，即原點，∴，∴∴表示的點與3表示的點重合；故答案為：3（2）①∵表示的點與3表示的點重合，∴折痕經過數表示的點，設5表示的點與數x表示的點重合，則，∴；故答案為：；②設點A表示的數為x，則點B表示的數為，，∴，，故答案為：，6；（3）設t秒，則點E表示的數為，點F表示的數為，∵1表示的點與表示的點重合時，折痕經過原點，∴點E與點F也恰好重合時，，∴．【點睛】本題主要考查了軸對稱，解決問題的關鍵是熟練掌握對稱點到對稱軸的距離相等，中點坐標公式．變式1．（2023·浙江·七年級期中）已知在紙面上有一數軸（如圖）折疊紙面．（1）若1表示的點與表示的點重合，則表示的點與數_____表示的點重合；（2）若1表示的點與表示的點重合，回答以下問題：①13表示的點與數_____表示的點重合；②若數軸上A、B兩點之間的距離為2022（A在B的左側），且A、B兩點經折疊后重合，求A、B兩點表示的數是多少？【答案】（1）5；（2）①-17；②A點表示的數為-1013，B點表示的數為1009【分析】（1）由表示1的點與表示-1的點重合，即可找出與表示-5的點重合的點表示的數；（2）①由表示1的點與表示-5的點重合，即可找出與表示13的點重合的點表示的數；②設A點表示的數為x，則B點表示的數為x+2022，根據重合兩點表示的數之和相等，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：（1）∵表示1的點與表示-1的點重合，∴與表示-5的點重合的點表示的數為1+（-1）-（-5）=5．故答案為：5．（2）①∵表示1的點與表示-5的點重合，∴與表示13的點重合的點表示的數為1-5-13=-17．故答案為：-17．②設A點表示的數為x，則B點表示的數為x+2022，根據題意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009．答：A點表示的數為-1013，B點表示的數為1009．【點睛】本題考查了數軸、折疊的性質以及一元一次方程的應用，根據折疊的性質找出重合兩點表示的數之和相等是解題的關鍵．變式2．（2022·山東·七年級月考）在數軸上，已知在紙面上有一數軸（如圖），折疊紙面．（1）若1表示的點與表示的點重合，則4表示的點與數______表示的點重合；（2）若-1表示的點與3表示的點重合，-3表示的點與數______表示的點重合；（3）若數p表示的點與原點重合，此時折線與數軸的交點表示的有理數是______；（3）若數軸上A、B兩點之間的距離為m個單位長度，點A表示的有理數是a，并且A、B兩點經折疊后重合，請寫出此時折線與數軸的交點表示的有理數是______．【答案】（1）-4；（2）5；（3）或．【分析】（1）根據對稱，若1表示的點與﹣1表示的點重合，則對稱中心是原點，從而找到4的對稱點；（2）若數﹣1表示的點與數3表示的點重合，則對稱中心是1表示的點，從而找到-3的對稱點；根據對應點連線被對稱中心平分，先找到對稱中心，再找到點表示的數；從而求解；（3）先得到A點與對稱中心的距離，再進一步得到折線與數軸的交點表示的有理數【詳解】（1）若1表示的點與﹣1表示的點重合，則4表示的點與-4表示的點重合，故答案為：-4（2）若﹣1表示的點與3表示的點重合，-3表示的點與5表示的點重合，故答案為：5（3）若數軸上A、B兩點之間的距離為m個單位長度，點A表示的有理數是a，并且A、B兩點經折疊后重合，此時若A在交點左邊，折線與數軸的交點表示的有理數是，若A在交點右邊，折線與數軸的交點表示的有理數是．故答案為：或【點睛】此題綜合考查了數軸上的點和數之間的對應關系，注意：數軸上的點和數之間的對應關系，即左減右加模型9.數軸上的線段移動模型【模型解讀】例1．（2022·廣東佛山·七年級階段練習）如圖，有兩條線段，（單位長度），（單位長度）在數軸上，點在數軸上表示的數是-12，點在數軸上表示的數是15．（1）點在數軸上表示的數是______，點在數軸上表示的數是______，線段的長=______；（2）若線段以1個單位長度秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度秒的速度向左勻速運動．當點與重合時，點與點在數軸上表示的數是多少？（3）若線段以1個單位長度秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運動．設運動時間為秒，當為何值時，點與點之間的距離為1個單位長度？【答案】-10，14，24；(2)-2；(3)t=23或25【分析】(1)根據AB、CD的長度結合點A、D在數軸上表示的數，即可求出點B、C在數軸上表示的數，再根據兩點間的距離公式求出線段BC的長度；(2)設相遇時間為a,分別用a表示出相遇時B、C兩點所表示的數,讓其相等即可求出;(3)分線段AB與線段CD在相遇之前與相遇之后兩種情況，利用兩點間的距離公式結合BC=1，得出關于t的的一元一次方程，解之即可得出結論；【詳解】解：（1）∵AB=2，點A在數軸上表示的數是-12，∴點B在數軸上表示的數是-12+2=-10；∵CD=1，點D在數軸上表示的數是15，∴點C在數軸上表示的數是15-1=14．∴BC=14-（-10）=24．故答案為：-10，14，24；（2）設運動時間為a秒時B、C相遇，此時點B在數軸上表示的數為-10+a，點C在數軸上表示的數為14-2a∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8此時點與點在數軸上表示的數是-10+a=-10+8=-2；故答案為：-2(3)當運動時間為t秒時，點B在數軸上表示的數為-10-t，點C在數軸上表示的數為14-2t∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2=綜上所述：當BC=1時，t=23或25；【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，兩點間的距離，數軸等知識，解題的關鍵是：根據點與點之間的位置關系求出點B、C在數軸上表示的數．變式1．（2022·山東濟南·七年級期末）在數學綜合實踐活動課上，小亮同學借助于兩根小木棒m、n研究數學問題：如圖，他把兩根木棒放在數軸上，木棒的端點A、B、C、D在數軸上對應的數分別為a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．(1)求m和n的長度；(2)小亮把木棒m、n同時沿x軸正方向移動，m、n的速度分別為4個單位/s和3個單位/s，設平移時間為t（s）①若在平移過程中原點O恰好是木棒m的中點，則t＝（s）；②在平移過程中，當木棒m、n重疊部分的長為2個單位長度時，求t的值．【答案】(1)m＝4，n＝5(2)①；②6s或11s【分析】（1）根據非負數的性質可得答案；（2）①根據中點的定義及距離可得答案；②分兩種情況：m在n后面時，m在n前面時，分別得到答案即可．(1)解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0，∴a＝﹣5，b＝﹣1∴m＝-1-（-5）=4又因為c＝3，d＝8∴n＝8-3=5∴m和n的長度分別為4和5；(2)解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．∴t＝s，故答案是：；②m在n后面時，BC＝3﹣（﹣1）＝4，設t秒重疊2個單位長度，可得4t＝3t+4+2，解得t＝6，m在n前面時，AD＝8﹣（﹣5）＝13，可得4t＝3t+13﹣2，解得t＝11，綜上t＝6s或11s．【點睛】此題考查了數軸的相關概念，掌握非負數性質和表示線段距離是解決此題關鍵．變式2．（2022·遼寧撫順·七年級期末）如圖，在數軸上有