專題12 圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型（原卷版）

專題12圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型圓在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動點為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強，解析難度較大，學生難以找到問題的切入點，不能合理構(gòu)造輔助圓來求解。實際上，這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對其中的動點軌跡加以剖析，借助圓的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考壓軸題的熱點和難點，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長結(jié)合考查，綜合性較強、難度較大。模型1.米勒最大張角（視角）模型【模型解讀】已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當C在何處時，∠ACB最大？對米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。米勒定理：已知點AB是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的一動點，則當且僅當三角形ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大。【模型證明】如圖1，設C’是邊OM上不同于點C的任意一點，連結(jié)A，B，因為∠AC’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又【解題關(guān)鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實際應用為背景進行考查。若能從題設中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費時化力。例1．（2023·江蘇九年級課時練習）如圖，在足球比賽中，甲帶球奔向?qū)Ψ角蜷T，當他帶球沖到點A時，同伴乙已經(jīng)沖到點B，此時甲是直接射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好？（僅從射門角度大小考慮）例2．（2023·四川宜賓·校考二模）如圖，已知點A、B的坐標分別是、，點C為x軸正半軸上一動點，當最大時，點C的坐標是（

）A． B． C． D．例3．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖．在正方形ABCD中，邊長為4，M是CD的中點，點P是BC上一個動點，當∠DPM的度數(shù)最大時，則BP=．例4．（2023·陜西西安·?？寄M預測）足球射門時，在不考慮其他因素的條件下，射點到球門AB的張角越大，射門越好．當張角達到最大值時，我們稱該射點為最佳射門點．通過研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，運動員帶球在直線CD上行進時，當存在一點Q，使得（此時也有）時，恰好能使球門AB的張角達到最大值，故可以稱點Q為直線CD上的最佳射門點．(1)如圖2所示，AB為球門，當運動員帶球沿CD行進時，，，為其中的三個射門點，則在這三個射門點中，最佳射門點為點______；(2)如圖3所示，是一個矩形形狀的足球場，AB為球門，于點D，，．某球員沿CD向球門AB進攻，設最佳射門點為點Q．①用含a的代數(shù)式表示DQ的長度并求出的值；②已知對方守門員伸開雙臂后，可成功防守的范圍為，若此時守門員站在張角內(nèi)，雙臂張開MN垂直于AQ進行防守，求MN中點與AB的距離至少為多少時才能確保防守成功．（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）例5．（2023·四川宜賓·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校瑢⒍魏瘮?shù)的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），，經(jīng)過點的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為．(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動點在一次函數(shù)的圖象下方，當面積的最大值時，求出此時點的坐標；(3)點是直線上的一動點，連接，，設外接圓的圓心為，當最大時，求點M的坐標（直接寫答案）．

模型2.定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值。因為其形像探照燈，所以也叫探照燈模型。。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當△ABC是等腰三角形（AB=AC）時，BC的長最小；△ABC的面積最小；△ABC的周長最小。證明思路：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E，設的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC=2BE=2OBsin=2rsin?！逴A+OE≥AD（當且僅當點A，O，E三點共線時,等號成立），∴r+rcosa≥h，.當取等號時r有最小值，此時BC的長最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；△ABC的周長最小:2rsin+ADrsin。例1．（2023·貴州貴陽·九年級?？茧A段練習）如圖，，邊、上分別有兩個動點C、D，連接，以為直角邊作等腰，且，當長保持不變且等于時，則長的最大值為cm．例2、（2023·重慶·九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，點E，F(xiàn)均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，則四邊形BCFE面積的最大值為．例3．（2023·陜西咸陽·校考二模）【問題提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點到弦的距離最大值為_______；【問題探究】（2）如圖②，在中，為邊上的高，若，求面積的最小值；【問題解決】（3）“雙減”是黨中央、國務院作出的重大決策部署，實施一年多來，工作進展平穩(wěn)，取得了階段性成效，為了進一步落實雙減政策，豐富學生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實踐基地，如圖③，為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中，平分交于點，點為上一點，學校計劃將四邊形部分修建為農(nóng)業(yè)實踐基地，并沿鋪設一條人行走道，部分修建為興趣活動基地．根據(jù)規(guī)劃要求，米，．且農(nóng)業(yè)實踐基地部分（四邊形）的面積應盡可能小，問四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由．

例4．（2023·廣東·?？家荒＃﹩栴}提出：（1）如圖①，已知在邊長為10的等邊△ABC中，點D在邊BC上，BD＝6，連接AD，則△ACD的面積為；問題探究：（2）如圖②，已知在邊長為6的正方形ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面積；問題解決：（3）如圖③是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個△AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且∠EAF＝45°，為了減少對該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的△AEF？若存在，請求出△AEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．例5．（2023·重慶·?？既＃﹩栴}探究（1）如圖①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，則S△ABC＝．（2）如圖②，已知四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，請求出四邊形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，某小區(qū)有一個四邊形花壇ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．為迎接“十四運”，園藝師將花壇設計成由兩種花卉構(gòu)成的新造型，根據(jù)造型設計要求，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝60°，現(xiàn)需要在△AEF的區(qū)域內(nèi)種植甲種花卉，其余區(qū)域種植乙種花卉．已知種植甲種花卉每平方米需200元，乙種花卉每平方米需160元．試求按設計要求，完成花卉種植至少需費用多少元？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）課后專項訓練1．（2023·廣東廣州·九年級?？计谥校┤鐖D，已知正方形和直角三角形，，，連接，．若繞點A旋轉(zhuǎn)，當最大時，的面積是（

）A． B．6 C．8 D．102．（2022·遼寧沈陽·?？既＃┤鐖D是一個矩形足球球場，為球門，于點D，米．某球員沿帶球向球門進攻，在Q處準備射門，已知米，米，對方門將伸開雙臂后，可成功防守的范圍大約為米；此時門將站在張角內(nèi)，雙臂伸開且垂直于進行防守，中點與距離米時，剛好能成功防守．3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，，M是的中點，點P是上一個動點，當?shù)亩葦?shù)最大時，的長為．

4．（2023·四川涼山·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，點D是線段BC上一動點，連接AD，以AD為邊作△ADE∽△ABC，點N是AC的中點，連接NE，當線段NE最短時，線段CD的長為．5．（2023·廣東·一模）已知點O為直線外一點，點O到直線距離為4，點A、B是直線上的動點，且∠AOB＝30°。則△ABO的面積最小值為．6．（2023·廣西·九年級期中）在四邊形ABCD中，點E在BC邊上（不與B、C重合）．（1）如圖（1），若四邊形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，連CF．①求∠BCF的大?。虎谌鐖D（2），點G是CF的中點，連DG、ED，若DE＝6，求DG的長；（2）如圖（3），若四邊形ABCD是矩形，點M在AD邊上，∠AEM＝60°，CD＝9，求線段AM的最小值．7．（2023上·湖北九年級課時練習）如圖，某雕塑位于河段上，游客在步道上由點出發(fā)沿方向行走．已知，，當觀景視角最大時，游客行走的距離是多少米？

8．（2023·廣西北海·統(tǒng)考二模）綜合與實踐【數(shù)學理解】德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，對該問題的一般描述是：如圖2，已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切于點時，最大．人們稱這一命題為米勒定理．(1)【問題提出】如圖1，在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷T進攻，當甲帶球沖到點時，乙已跟隨沖到點，僅從射門角度大小考慮，甲是自己射門好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好？假設球員對球門的視角越大，足球越容易被踢進．請結(jié)合你所學知識，求證：．(2)【問題解決】如圖3，已知點，的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點，當?shù)耐饨訄A⊙與軸相切于點時，最大．當最大時，求點的坐標．

9．（2023·福建廈門·統(tǒng)考二模）一個角的頂點在圓外，兩邊都與該圓相交，則稱這個角是它所夾的較大的弧所對的圓外角．（1）證明：一條弧所對的圓周角大于它所對的圓外角；（2）應用（1）的結(jié)論，解決下面的問題：某市博物館近日展出當?shù)爻鐾恋恼滟F文物，該市小學生合唱隊計劃組織120名隊員前去參觀，隊員身高的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示．該文物高度為，放置文物的展臺高度為，如圖2所示．為了讓參觀的隊員站在最理想的觀看位置，需要使其觀看該文物的視角最大（視角：文物最高點P、文物最低點Q、參觀者的眼睛A所形成的），則分隔參觀者與展臺的圍欄應放在距離展臺多遠的地方？請說明理由．（說明：①參觀者眼睛A與地面的距離近似于身高；②通常圍欄的擺放位置需考慮參觀者的平均身高）10．（2023·廣東·九年級專題練習）1471年，德國數(shù)學家米勒提出了雕塑問題：假定有一個雕塑高AB＝3米，立在一個底座上，底座的高BC＝2.2米，一個人注視著這個雕塑并朝它走去，這個人的水平視線離地1.7米，問此人應站在離雕塑底座多遠處，才能使看雕塑的效果最好，所謂看雕塑的效果最好是指看雕塑的視角最大，問題轉(zhuǎn)化為在水平視線EF上求使視角最大的點，如圖：過A、B兩點，作一圓與EF相切于點M，你能說明點M為所求的點嗎？并求出此時這個人離雕塑底座的水平距離？11．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）閱讀與思考請閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務．彌勒是德國著名數(shù)學家，他在1471年提出了著名的彌勒定理：如圖1，已知A，B是的邊上的定點，當且僅當?shù)耐饨訄A與相切（與相切于點C）時最大，此時．

小明思考后給出如下證明：證明：如圖2，在OM上任取一點，連接，，與相交于點D，連接．∵點C，D在上，∴（依據(jù)①），又∵是的一個外角，∴，∴，即當且僅當?shù)耐饨訄A與OM相切（與相切于點C）時最大．如圖3，過切點C作的直徑，連接，則，，∴，，∴，（依據(jù)②）又∵，……∴任務：(1)寫出小明證明過程中的依據(jù)：依據(jù)①：；依據(jù)②：．(2)請你將小明的證明過程補充完整；(3)結(jié)論應用：如圖4，已知點A，B的坐標分別是和，C是x軸正半軸上一個動點，當最大時，點C的坐標為______．

12．（2023·福建福州·?？家荒＃﹫A周角定理是初中數(shù)學中很重要的一個定理，它反映的是圓心角和圓周角的關(guān)系，在實際生活中也有很多的應用．(1)如圖，為的一條弦，點在弦所對的優(yōu)弧上，若，請直接寫出的度數(shù)．[應用](2)福州某標志建筑可抽象為線段，很多攝影愛好者喜歡在斜對面的大橋上對其拍照.若攝影師想在對建筑視角為（即）的位置拍攝，請在線段上作出點．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）。[拓展](3)問題：如圖，已知建筑物寬為30米，一名攝影師從距點30米的點（點在直線上）出發(fā)，沿大橋方向前進，當攝影師到達對建筑物視角最大的最佳拍攝點時，求他前進的距離．這個問題可以利用圓周角定理進行簡化：過點、作，與直線相切于點，此時最大，即點為最佳攝影點．連接并延長交于點，連接，，，求的長．

13．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線與x軸交于，與y軸交于點C，其頂點為D點．(1)求拋物線的解析式．(2)連結(jié)，動點Q的坐標為．P為拋物線上的一點，是否存在以B，D，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P，Q的坐標；若不存在，請說明理由．(3)連結(jié)，當最大時，求出點Q的坐標．

14．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）我們規(guī)定：線段外一點和這條線段兩個端點連線所構(gòu)成的角叫做這個點對這條線段的視角．如圖1，對于線段及線段外一點C，我們稱為點C對線段的視角．如圖2，在平面直角坐標系中，已知點，．為過D，E兩點的圓，F(xiàn)為上異于點D，E的一點．(1)如果為的直徑，那么點F對線段的視角______；(2)如果點F對線段的視角為45度，那么的半徑為多少？(3)點G為x軸正半軸上的一個動點，當點G對線段的視角最大時，求點G的坐標．15．（2023·廣東珠海·統(tǒng)考二模）小輝同學觀看2022卡塔爾世界杯時發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀的球員通常都能選擇最優(yōu)的點射門（僅從射門角度大小考慮）．這引起了小輝同學的興趣，于是他展開了一次有趣的數(shù)學探究．【提出問題】如圖所示．球員帶球沿直線奔向球門，探究：是否存在一個位置，使得射門角度最大．【分析問題】因為線段長度不變，我們聯(lián)想到圓中的弦和圓周角．如圖1，射線與相交，點M，點A，點N分別在圓外、圓上、圓內(nèi)，連接．【解決問題】(1)如圖1，比較的大?。篲_______（用“<”連接起來）．(2)如圖2，點A是射線上一動點（點A不與點B重合）．證明：當?shù)耐饨訄A與射線相切時，最大．(3)【延伸拓展】在（2）的條件下，如果．當最大時．證明：．16．（2023下·河南鄭州·九年級?？茧A段練習）定義：自一點引出的兩條射線分別經(jīng)過已知線段的兩端點，則這兩條射線所成的角稱為該點對已知線段的視角，如圖①，是點P對線段的視角．問題：如圖②，已知線段與直線l，在直線l上取一點P，使點P對線段的視角最大．小明的分析思路如下：過A、B兩點，作使其與直線l相切，切點為P，則點P對線段的視角最大，即最大．小明的證明過程：為了證明點P的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點Q，連接，如圖②，設直線交圓O于點H，連接，則．（依據(jù)1）∵．（依據(jù)2）∴∴所以，點P對線段的視角最大．(1)請寫出小明證明過程中的依據(jù)1和依據(jù)2；依據(jù)1：________________________________________依據(jù)2：________________________________________(2)應用：在足球電子游戲中，足球隊球門的視角越大，越容易被踢進，如圖③，A、B是足球門的兩端，線段是球門的寬，是球場邊線，是直角，．①若球員沿帶球前進，記足球所在的位置為點P，在圖③中，用直尺和圓規(guī)在上求作點P，使點P對的視角最大（不寫作法，保留作圖痕跡）．②若，，直接寫出①中所作的點P對的最大視角的度數(shù)（參考數(shù)據(jù)：．）17．（2023上·北京西城·九年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知點和點．對于線段和直線外的一點，給出如下定義：點到線段兩個端點的連線所構(gòu)成的夾角叫做線段關(guān)于點的可視角，其中點叫做線段的可視點．(1)在點、、中，使得線段的可視角為的可視點是；(2)為經(jīng)過，兩點的圓，點是上線段的一個可