專題14 解直角三角形之新定義模型（解析版）

專題14解直角三角形之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對(duì)初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對(duì)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程，豐富解題內(nèi)涵?！局R(shí)儲(chǔ)備】模型1、新定義模型此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明。若無(wú)特殊說(shuō)明，一般認(rèn)為△ABC的3個(gè)角∠A、∠B、∠C，分別對(duì)應(yīng)邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，．3）正弦面積公式：如圖2，.4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB；在中，根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．(1)證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，在中，，，；(2)解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在中，又，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的前提．例2．（2023春·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀與思考．請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．利用我們所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以解決許多關(guān)于三角形邊長(zhǎng)、角度、面積等問(wèn)題．如圖，在銳角中，，，的對(duì)邊分別是，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即，于是．在中，，在中，，，整理得．任務(wù)：(1)__________，__________；(2)已知中，，，所對(duì)邊分別是，，，，，，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接根據(jù)進(jìn)行類比即可求解；（2）根據(jù)代入數(shù)值可得，繼而求解即可．【詳解】（1）根據(jù)進(jìn)行類比，可得，，故答案為：，；（2），，，，∴，即，解得，（舍去），．例3．（2023秋·重慶九龍坡·九年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題：閱讀下面材料，解決后面的問(wèn)題：我們知道，三角形的面積等于二分之一底乘高，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后，還可以這樣求三角形的面積：對(duì)，a，b，c分別為，，的對(duì)邊，則其面積(1)在中，，，，求b邊對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度．(2)如圖，在中，已知，，D為上一點(diǎn)，證明：.(3)正數(shù)a，b，c，d，e，f滿足，證明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】(1)利用解直角三角形即可求解；(2)根據(jù)即可證得；(3)根據(jù)題意可得邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，利用三角形的面積即可證得．【詳解】（1）解：在中，，，邊對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度為：；（2）證明：，，，，，；（3）證明：如圖：是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，；，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，熟練掌握和運(yùn)用三角形面積公式是解決本題的關(guān)鍵．例4．（2023春·四川瀘州·八年級(jí)?？计谥校┢矫鎺缀螆D形的許多問(wèn)題，如：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、角度等問(wèn)題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決．古人對(duì)任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具體如下：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．

(1)一個(gè)三角形邊長(zhǎng)依次是5、6、7，利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積；(2)學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長(zhǎng)也可以求出其面積．如圖，在中，，，，求的面積和邊上得高的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)的面積為84；邊上得高的長(zhǎng)為12【分析】（1）利用兩個(gè)公式分別代入即可；（2）設(shè)，則，利用勾股定理得，，即，求解得，即，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面積公式求出其面積即可．【詳解】（1）解：，由海倫公式可得；由秦九昭公式可得．（2）解：設(shè)，則，，，，，解得；∴∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及三角形面積求法，正確掌握三角形面積公式和勾股定理是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·北京市·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】直接利用已知公式法分別代入計(jì)算得出答案．【詳解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；②tan105°=tan（60°+45°）====-2-，故此選項(xiàng)正確；③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此選項(xiàng)正確；故正確的有4個(gè)．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．例6．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）1.某數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求tan15°的值，經(jīng)過(guò)思考、討論、交流，得到以下思路：思路一

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使BD=BA，連接AD．設(shè)AC=1，則BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．思路二

利用科普書(shū)上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假設(shè)α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．請(qǐng)解決下列問(wèn)題（上述思路僅供參考）．(1)類比：求出tan75°的值；(2)應(yīng)用：如圖2，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點(diǎn)A，測(cè)得A，C兩點(diǎn)間距離為60米，從A測(cè)得電視塔的視角（∠CAD）為45°，求這座電視塔CD的高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目思路，將構(gòu)造15°的過(guò)程轉(zhuǎn)化為75°，并可求解；（2）計(jì)算出∠DAB=75°，利用tan75°求解．【詳解】（1）解：方法一：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使BD=BA，連接AD．設(shè)AC=1，則BD=BA=2，BC=，tan∠DAC=tan75°=．方法二：根據(jù)tan（α±β）=．假設(shè)α=30°，β=45°代入差角正切公式：tan75°=tan（30°+45°）=．（2）解：在Rt△ABC中，BC=30，AC=60，∴；∴∠CAB=30°∵∠CAD=45°∴∠DAB=75°在Rt△ABD中，∴∴∴CD的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的計(jì)算，通過(guò)閱讀，類比計(jì)算是解題關(guān)鍵．例7．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第二中學(xué)校校考三模）通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（）．如果中，，那么頂角A的正對(duì)記作，這時(shí)=．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，填空：如果的正弦函數(shù)值為，那么的值為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，利用的正弦函數(shù)值，設(shè)出的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)的規(guī)定求值即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示，，設(shè)，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是新定義運(yùn)算題，主要考查了等腰三角形的定義、勾股定理和三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理、三角函數(shù)的定義以及新定義運(yùn)算的規(guī)定是解答此題的關(guān)鍵．例8．（2023秋·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問(wèn)題：如圖1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點(diǎn)O，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，，在中表示出，則可以求出．

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：在中，，．(1)如圖3，，，若，則______，______；(2)請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式（用含，的式子表示）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得和，再根據(jù)求解即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．【詳解】（1）解：由勾股定理可得：，由三角函數(shù)的定義可得，，由材料可得：，故答案為：，（2）解：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：

則，，，，在中，，，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是是熟練掌握三角函數(shù)的定義，作輔助線構(gòu)造直角三角形．例9．（2022·重慶·?？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：．證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點(diǎn)D(異于點(diǎn)A)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個(gè)直角三角形的兩條邊的長(zhǎng)或知道直角三角形的一條邊的長(zhǎng)及其一個(gè)銳角的度數(shù)，我們可以求出這個(gè)直角三角形其它邊的長(zhǎng)度和其它角的度數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個(gè)三角形的兩條邊的長(zhǎng)度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個(gè)三角形的第三條邊一定可以求出來(lái).應(yīng)用以上材料，完成下列問(wèn)題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長(zhǎng)．(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長(zhǎng)度嗎？如果可以，寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程；如果不可以，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)能，過(guò)程見(jiàn)解析【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形即可求得；(2)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形即可求得．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．例10．（2023春·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對(duì)邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對(duì)邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度來(lái)規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個(gè)角α，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α的終邊上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，點(diǎn)P和原點(diǎn)的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，．我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在角α的終邊位置無(wú)關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問(wèn)題：(1)若，則角α的三角函數(shù)值、、，其中取正值的是；(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；(3)若角α是鈍角，其終邊上一點(diǎn)，且，求的值；(4)若，則的取值范圍是．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）由題意可得，，，然后依據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)，則，然后分為和兩種情況求解即可；（3）由題意可得，然后依據(jù)定理列出關(guān)于x的方程，從而求出x的值，然后依據(jù)正切的定義求解即可；（4）依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，然后再得到，再求得的取值范圍，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，，，，，故答案為：．（2）解：∵若角α的終邊與直線重合，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的值為或．（3）解：，點(diǎn)，且，，（正值舍去），．（4）解：，，，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及完全平方公式，理解三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀材料：一般地，當(dāng)為任意角時(shí)，與的值可以用下面的公式求得：：根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題：如圖，在中，AB是直徑，，點(diǎn)C、D在圓上，點(diǎn)C在半圓弧的中點(diǎn)處，AD是半圓弧的，則CD的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】連結(jié)OD、過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，根據(jù)是半圓弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根據(jù)，求出OD=OC=OA=，利用三角函數(shù)ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．【詳解】解：連結(jié)OD、OC，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，∵是半圓弧的，∴∠AOD=60°，∴△AOD為等邊三角形，∴∠DAO=60°，AD=OA，∵點(diǎn)C在半圓弧的中點(diǎn)處，∴=半圓弧的一半，∴∠CAO=45°，∵，∴AD=OA=，∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cos45°-cos60°sin45°）=2×=1．故選擇：D．【點(diǎn)睛】本題考查弧與圓心角，圓周角的關(guān)系，等邊三角形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握弧與圓心角，圓周角的關(guān)系，等邊三角形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）由三角函數(shù)定義，對(duì)于任意銳角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如圖，在△ABC中，∠A，∠B是銳角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，設(shè)CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，則下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的個(gè)數(shù)是（

）(1)a2+b2=c2

(2)aa’+bb’=cc’

(3)sin2A+sin2B=1

(4)+=A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理以及解直角三角形一一判斷即可.【詳解】解：∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①正確，∵DE∥AC，∴△DEB∽△ACB，∴，∴，不妨設(shè)，則a′＝ak，b′＝bk，c′＝ck，∵aa'＋bb'＝cc'，∴a2k＋b2k＝c2k，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故②正確，∵sin2A＋sin2B＝1，sin2A＋cos2A＝1，∴sin2B＝cos2A，∴sinB＝cosA，∵sinA＝cos（90°?A），∴90°?∠B＝∠A，∴∠A＋∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故③正確，∵+=，∴+=1，∴sin2B＋sin2A＝1，∴△ABC是直角三角形，故④正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，三角函數(shù)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運(yùn)算；，．例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：====．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：在中，，把∠Ａ的鄰邊與對(duì)邊的比叫做的余切，記作．等腰三角形中有兩條邊為4和6，則底角的余切值為．【答案】或【分析】此題需要分類討論：若；或．利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求出，然后利用余切的定義求解．【詳解】解：若，過(guò)A作于D，如圖，∴，∴，∴；若，過(guò)A作于D，如圖，∴，∴，∴；故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了余切的定義，同時(shí)也利用了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，有一定的綜合性．5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）定義：在中，，我們把的對(duì)邊與的對(duì)邊的比叫做的鄰弦，記作，即：．如圖，若，則的值為．【答案】【分析】如圖，作，垂足為H，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可可解答．【詳解】解：如圖，作，垂足為H，在中，，即，在中，，即，所以．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①cos(α+β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ；③；利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值，如．根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：(1)求，cos75°的值；(2)如圖，直升機(jī)在一建筑物CD上方的點(diǎn)Α處測(cè)得建筑物頂端點(diǎn)D的俯角α為60°，底端點(diǎn)C的俯角為75°，此時(shí)直升機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為30m求建筑物CD的高．【答案】(1)；(2)建筑物CD的高為60米【分析】(1)根據(jù)所給的公式進(jìn)行運(yùn)算，即可分別求得；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥ΑB于點(diǎn)E，可求得BC＝ED＝30，再根據(jù)∠ΑDE＝α＝60°，∠ΑCB＝β＝75°，即可求得．【詳解】（1）解：；；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥ΑB于點(diǎn)E，則∠ΑED＝∠BED＝90°，∵∠EBC＝∠BED＝∠BCD＝90°，∴四邊形BCDE是矩形，∴BC＝ED＝30，由平行得∠ΑDE＝α＝60°，∠ΑCB＝β＝75°，在Rt△ΑBC中，，∴(米)，在Rt△ΑED中，，∴（米），∴CD＝BE＝ΑB﹣ΑE＝60（米）．答：建筑物CD的高為60米．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)公式的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義和公式是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)校考期中）如圖，在銳角中，，，（1）請(qǐng)用，，表示（余弦定理）；______________；（2）證明你的結(jié)論．（3）如圖，已知的外心為，內(nèi)心為，重心為，若IG∥BC，證明．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可得到答案；（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，則，，則，再由勾股定理可得由此求解即可；（3）連接AG并延長(zhǎng)，分別與BC交于D，連接AI并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)交BC于E，交圓O于F，連接BF，CF，GI，OI，BI，CI，AO，F(xiàn)O，由重心的性質(zhì)可得，再由GI∥BC，可證△AGI∽△ADE則，，則，，則，，可得，設(shè)三角形ABC內(nèi)切圓半徑為r，則可推出，然后證明得到AF=2BF，再證BF=FI，，由三線合一即可證明OI⊥AI．【詳解】解：（1）由余弦定理可得，故答案為：；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∴，，∴，在直角三角形BDC中，，∴，∴；（3）如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)，分別與BC交于D，連接AI并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)交BC于E，交圓O于F，連接BF，CF，GI，OI，BI，CI，AO，F(xiàn)O，∵G是重心，∴，∵GI∥BC，∴△AGI∽△ADE∴，∴，則，∴，∴，，∴，設(shè)三角形ABC內(nèi)切圓半徑為r，∴，∴如圖2所示，四邊形ABCD為圓O內(nèi)的內(nèi)接四邊形，現(xiàn)在證明，在BD上取一點(diǎn)P使得，∵，，∴，∴，即①∵，∴，又∵，∴，∴即②，∴①+②得；∴如圖1所示，，∵I是內(nèi)心，∴，∠ABI=∠CBI，∴，∴，∴，即AF=2BF，∵∠BIF=∠BAF+∠ABI，∠FBI=∠CBI+∠CBF=∠CBI+∠CAF=∠CBI+∠BAF，∴∠BIF=∠FBI，∴FB=FI，∴AF=2FI，又∵OA=OF，∴OI⊥AI．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)，勾股定理，三線合一定理，圓的綜合，重心，內(nèi)心，外心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．8．（2022·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）小明在學(xué)習(xí)直角三角形的三角函數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，所對(duì)的邊分別是a、b、c，∵，（）∴．小明猜想：在銳角三角形中也有相同的結(jié)論．

(1)如圖2，在銳角三角形中，所對(duì)的邊分別是a、b、c，請(qǐng)你運(yùn)用直角三角形的三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)驗(yàn)證；(2)請(qǐng)你運(yùn)用（1）中的結(jié)論完成下題：如圖3，在南海某海域一貨輪在B處測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，隨后貨輪以80海里/小時(shí)的速度按北偏東的方向航行，兩小時(shí)后到達(dá)C處，此時(shí)又測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，求此時(shí)貨輪與燈塔A的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)貨輪距燈塔A的距離為海里【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，在中表示出，在中表示出，即可求證；（2）由（1）中所得結(jié)論可推出：，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H

在中，∵，∴，同理，∴，∴同理可得∴（2）解：由題意可得∴，∵，∴∴海里．此時(shí)貨輪距燈塔A的距離為海里．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．9．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《度量論》中，給出了計(jì)算三角形面積的公式：，（其中，，，分別為三角形的三邊長(zhǎng)，為三角形的面積）．我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》中，也曾提出由三角形三邊求三角形面積的方法，它們實(shí)質(zhì)上是相同的．請(qǐng)根據(jù)上面的公式解決問(wèn)題：已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，若，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，請(qǐng)利用上面的公式求該三角形的面積．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再求出，進(jìn)而可求出面積．【詳解】解：∵，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，又∵∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．10．（2023·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)先閱讀這段內(nèi)容.再解答問(wèn)題三角函數(shù)中常用公式.求的值，即.試用公式，求出的值.【答案】.【分析】將75°化為30°和45°兩個(gè)特殊角，然后根據(jù)給出的公式及特殊角的三角函數(shù)值來(lái)解答．【詳解】，【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答此題要熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能把“新定義”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題解答．11．（2023·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算(1)；(2)；(3)已知三角函數(shù)有如下的公式：，利用該公式求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先算特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行乘方，乘法運(yùn)算，最后算加減；（2）先算特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，去括號(hào)，開(kāi)方運(yùn)算，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后算加減；（3）將轉(zhuǎn)化為：，代入公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．12．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ；tan（α±β）=利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值．例：tan75°=tan（45°+30°）===根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅鎲?wèn)題：（1）計(jì)算：sin15°；（2）某校在開(kāi)展愛(ài)國(guó)主義教育活動(dòng)中，來(lái)到烈士紀(jì)念碑前緬懷和紀(jì)念為國(guó)捐軀的紅軍戰(zhàn)士．李三同學(xué)想用所學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量如圖紀(jì)念碑的高度．已知李三站在離紀(jì)念碑底7米的C處，在D點(diǎn)測(cè)得紀(jì)念碑碑頂?shù)难鼋菫?5°，DC為米，請(qǐng)你幫助李三求出紀(jì)念碑的高度．【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）把15°化為45°﹣30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ計(jì)算，即可求出sin15°的值；（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)AB=AE+BE即可得出結(jié)論．試題解析：（1）sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°==；（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴BE=DE?tan∠BDE=DE?tan75°．∵tan75°=，∴BE=7（）=，∴AB=AE+BE==（米）．答：紀(jì)念碑的高度為（）米．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題；閱讀型．13．（2023春·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）通過(guò)學(xué)習(xí)《解直角三角形》這一章，王凱同學(xué)勤學(xué)好問(wèn)，在課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是他的學(xué)習(xí)筆記．請(qǐng)仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．在中，，，的對(duì)邊分別為a、b、c，的面積為，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，則在中，∵∴∴同理可得，，即……………①由以上推理得結(jié)論：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．又∵∴將等式兩邊同除以，得，∴…②由以上推理得結(jié)論：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等．理解應(yīng)用：如圖，甲船以海里/時(shí)的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)D處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C處，此時(shí)兩船相距海里．(1)求：的面積；(2)求：乙船航行的速度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)(2)（海里/每小時(shí)）【分析】（1）結(jié)合題中條件可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)材料中的結(jié)論1：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦值的一半，即可求出答案．（2）根據(jù)第一問(wèn)可知是等邊三角形，結(jié)合題中條件求出和的大小，根據(jù)材料中的結(jié)論2：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，可求出的長(zhǎng)，從而可求出答案．【詳解】（1）解：由題意知：，，，由結(jié)論①知，，所以的面積為．（2）解：由（1）知，，∴是等邊三角形，∴，，又，∴，由題意知，，∴，在中，由材料中結(jié)論②得，∴，∴乙船航行的速度為：（海里/小時(shí)）．【點(diǎn)睛】本題考查