專題02 平行線中的拐點模型之鉛筆頭模型（解析版）

專題02平行線中的拐點模型之鉛筆頭模型平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（鉛筆頭模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023上·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，，，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】本題考查平行線的判定和性質，掌握兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．∵，∴，∴∴，∴，故選C．例2．（2023下·綿陽市·七年級校考期中）如圖1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知，，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，則，再根據平行線的性質可以求出、，進而可求出，再根據平行線的性質即可求得．【詳解】解：如圖，過點作，，，

，，．，．．．故選：C．【點睛】本題考查平行線的性質，結合圖形利用平行線的性質進行角的轉化和計算是解題關鍵．例3．（2023下·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，下列結論正確的是（

）

A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEFC．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°【答案】D【分析】根據平行線的性質逐項判斷即可．【詳解】解：A.由無法得出，錯誤；B.由無法得出，錯誤；C.∵，∴，∴，錯誤；D.∵，∴，，∴，正確；故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．例4．（2023春·新疆·七年級?？茧A段練習）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．【答案】540【分析】過點E作，過點F作，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可作答．【詳解】過點E作，過點F作，如圖，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，即兩直線平行，同旁內角互補．構造輔助線，是解答本題的關鍵．例5．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，，，，已知，則的度數為．

【答案】/60度【分析】根據平角定義可求出的度數，如圖所示，過點作，可求出，由此可求，根據，，可求出的度數，如圖所示，過點作，可得，由此即可求解．【詳解】解：∵，，∴，如圖所示，過點作，∵，∴，

∴，，，∴，∵，∴，∵，，∴，如圖所示，過點作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質，掌握以上知識的靈活運用是解題的關鍵．例6．（2023下·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【分析】過點E作，點F作，根據平行公理得，根據平行線的性質逐一計算解題即可．【詳解】解：如圖，過點E作，∵，∴，

∴，，∴，故①正確；如圖，過點F作，∵，∴，∴，，∴，即，故②不正確；又∵，∴，即，故③不正確；∵，∴，∵，∴，，故④正確；∴正確的為①④，故選D．【點睛】本題考查平行線的性質，能作輔助線構造平行線轉化角是解題的關鍵．例7．（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）下列各圖中的與平行．

圖中的，圖中的，圖中的，圖中的，據此推測，圖中的【答案】【分析】由特殊情況發(fā)現規(guī)律，即可得答案．【詳解】解：圖中的，圖中的，圖中的，圖中的，圖中的．故答案為：，．【點睛】本題考查平行線的性質，規(guī)律型：圖形的變化類，關鍵是由特殊情況總結一般規(guī)律．例8．（2023下·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）【學習新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為，反射光線與水平鏡面的夾角為，則．(1)【初步應用】生活中我們可以運用“激光”和兩塊相交的平面鏡進行測距．如圖2當一束“激光”射到平面鏡上，被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線，回答下列問題：①當，（即時，求的度數；②當時，任何射到平面鏡上的光線經過平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請你根據所學知識及新知說明理由．（提示：三角形的內角和等于(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經過三次反射，得到反射光線已知，若要使，請直接寫出的度數________；【答案】(1)①；②詳見解析(2)【分析】（1）①由可求，再根據已知的平行條件可得，從而求解；②由的度數求出，再根據，，可求出，根據平行線的判定和性質可得；（2）過點作，根據平行公理推論證明，根據平行線的性質，找出角與角之間的關系，求出，，進而可得，在由三角形內角和為，求出．【詳解】（1）解：（①∵，∴．又∵，∴．②由題意知，．∵，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，過點作，．

∴．∵，∴，∵，∴，∴．同理可得，∴．又∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定，三角形內角和定理，解題關鍵是正確識別圖形，找出角與角之間的關系．例9．（2023下·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期中）我們知道，兩條平行線被第三條直線所截，可以得到一些相等的角或者互補的角，所以在某些探究性問題中通過“構造平行線”可以起到將直線的位置關系轉化為角的數量關系的作用．

問題初探：（1）如圖1，，用等式表示之間的數量關系．分析：過點作，則有，因為，所以，所以，從而可以得到之間的數量關系．請你直接寫出之間的數量關系______．類比再探：（2）如圖2，，用等式表示之間的數量關系，并說明理由．拓展應用：（3）利用上面（1）、（2）得出的結論完成下題：已知，如圖3，，與兩個角的角平分線相交于點．①若，求的度數．②若的度數用表示，的度數用表示，則與的之間的關系式為______．【答案】（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）根據平行線的性質及平行于同一條直線的兩條直線互相平行解答即可；（2）根據平行線的性質及平行于同一條直線的兩條直線互相平行解答即可；（3）①根據平行線的性質及平行于同一條直線的兩條直線互相平行，再根據角平分線的定義解答即可；②根據平行線的性質及平行于同一條直線的兩條直線互相平行，再根據角平分線的定義解答即可．【詳解】解：過點作，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2），理由如下：過點作，∴，∵，∴，∴，∴．

（3）過點作，過點作，①∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，②∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，即．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，角平分線的定義，掌握平行線的性質是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023下·山西·七年級統(tǒng)考階段練習）小林乘車進入車庫時仔細觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段繞點緩慢向上旋轉，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即與始終平行），在該過程中始終等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，利用平行線的性質可得，，從而可得，然后根據垂直定義可得，最后進行計算即可解答．【詳解】解：過點作，，

，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質的常見模型是解題的關鍵．2．（2023上·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，一束光線先后經平面鏡，反射后，當時，的度數為（）

A．55° B．70° C．60° D．35°【答案】A【分析】根據入射角等于反射角以及“兩直線平行，同旁內角互補”解答即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，故選：A．【點睛】此題考查了平行線的性質，入射角等于反射角等知識，熟記“兩直線平行，同旁內角互補”是解題的關鍵．3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，，則（

）A．150° B．180° C．210° D．240°【答案】C【分析】根據題意作直線l平行于直線l1和l2，再根據平行線的性質求解即可.【詳解】解：作直線l平行于直線l1和l2．，．，．故選C．【點睛】本題主要考查平行線的性質，掌握兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行內錯角相等是解題關鍵．4．（2023下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點B作，然后根據兩直線平行，同旁內角互補得出，再解答即可．【詳解】解：過點B作，∴

∵，∴，∴∴，∴，∵∴∵，∴的度數為．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，加輔助線，然后利用平行線的性質求解是解此題的關鍵．5．（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線，點為直線上一點，為射線上一點，若，，交于點，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，，得到，，根據平行線的性質得到，求得，根據三角形的內角和即可得到結論．【詳解】解：，，設，，，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，三角形的內角和，平角的定義是解題的關鍵．6．（2022上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數為．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點E作，由平行線的傳遞性得，再根據兩直線平行，內錯角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內錯角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解題關鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質和角平分線的定義．7．（2023上·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中滿足，則圖形中的的值是．

【答案】85【分析】根據平行線的性質先求∠B的度數，再根據五邊形的內角和公式求x的值即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，∴∠B＝180°?∠C＝120°．∴（5?2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°．∴x＝85．故答案為：85．【點睛】本題主要考查多邊形的內角和，熟練掌握平行線的性質和多邊形內角和定理是解題的關鍵．8．（2023下·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期中）如圖是一款長臂折疊護眼燈示意圖，與桌面垂直，當發(fā)光的燈管恰好與桌面平行時，，，則的度數為°．

【答案】100【分析】過點作，過點作，根據平行線的性質和垂直的定義，進行求解即可．【詳解】解：過點作，過點作，

則：，∵，，，∴，，，∵，∴，∴，∴，故答案為：100．【點睛】本題考查平行線的判定和性質．解題的關鍵是過拐點構造平行線．9．（2023下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，，，則．【答案】【分析】延長交于點G，首先運用平行線的性質求出的度數，借助三角形的內角和，再由互補求出即可解決問題．【詳解】證明：如圖，延長交于點G，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是平行線的性質、互補等幾何知識點及其應用問題．解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中，解題的關鍵是靈活運用平行線的性質、互補等幾何知識點來分析、判斷、解答．10．（2023下·甘肅·七年級?？计谥校┤鐖D，，已知，．則度．

【答案】90【分析】根據兩直線平行，同旁內角互補求解即可．【詳解】解：如圖，過點P作，

∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，故答案為：90．【點睛】此題考查了平行線的性質，熟記“兩直線平行，同旁內角互補”是解題的關鍵．11．（2023下·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，一環(huán)湖公路的段為東西方向，經過四次拐彎后，又變成了東西方向的段，則的度數是．

【答案】540°【分析】分別過點C，D作AB的平行線CG，DH，進而利用同旁內角互補可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小．【詳解】解：如圖，根據題意可知：AB∥EF，分別過點C，D作AB的平行線CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，則∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．故答案為：540°．

【點睛】考查了平行線的性質，解題的關鍵是作輔助線，利用平行線的性質計算角的大小．12．（2023下·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）如圖，于，交于點，交于點．若，．

【答案】45【分析】如圖，過點F作，根據平行線的性質和判定求解即可．【詳解】解：如圖，過點F作，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：45．【點睛】此題考查了平行線的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質和判定．13．（2023下·山東棗莊·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，，，，平分，則．

【答案】/度【分析】根據，得出，結合已知條件得出，根據角平分線的定義得出，進而根據，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．14．（2023·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，，則．

【答案】【分析】根據，，，找出規(guī)律，得出．【詳解】解：當與之間有2個角時，如圖所示：

∵，∴；當與之間有3個角時，過點E作，

∵，∴，∴，，∴，即，同理可得：當與之間有4個角時，，∴當與之間有n個角時，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，平行線的性質，平行公理的應用，解題的關鍵是根據已知圖形找出規(guī)律，熟練掌握兩直線平行，同旁內角互補．15．（2023上·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知，若，，則α與β之間的數量關系為．

【答案】/【分析】過C作，過D作，得到，由平行線的性質推出，得到，即可得出結果．【詳解】解：過C作，過D作，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：．

【點睛】本題考查平行線的性質，關鍵是過點C作，過D作，得到，由平行線的性質即可解決問題．16．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級統(tǒng)考期末）如圖已知：，，平分，，有下列結論：①；②③；④，其中，正確的結論有．（填序號）

【答案】①③④【分析】根據平行公理判斷①；延長、交于點G，根據，，得出，根據，，得出，即可得出，判斷②；根據平行線的性質得出，根據平行線的性質得出，從而得出，根據，得出，判斷③；根據平行線的性質得出，根據角平分線的性質得出，即可得出，根據，得出，即可判斷④．【詳解】解：，，，故①正確；延長、交于點G，如圖所示：

∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，即，故②錯誤；平分，，，，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟練應用判定定理和性質定理是解題的關鍵，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．17．（2023下·河南安陽·七年級?？计谥校﹫D1是一種網紅彈弓的實物圖，在兩頭系上皮筋，拉動皮筋可形成如圖2的平面示意圖，彈弓的兩邊可看成是平行的，即，活動小組在探索與，之間的數量關系時，有如下發(fā)現：當拉起皮筋使時，瞄準最準確．現測得，，則此次瞄準是否最準確？

【答案】此次瞄準不是最準確的，見解析【分析】如圖，過點P作，可得，可得，證明，可得，從而可得結論．【詳解】解：如圖，過點P作，∴．

∵，∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∴，∴此次瞄準不是最準確的．【點睛】本題考查的是平行線的性質，平行公理的應用，熟記兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵．18．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，，那么等于多少度？為什么？

解：過點E作，得（____________），因為（____________），（所作），所以（____________）．得____________（____________）．所以______°（等式性質）．即______°，因為（已知），所以______°（等式性質）．【答案】兩直線平行，同旁內角互補；已知；平行于同一直線的兩直線互相平行；；兩直線平行，同旁內角互補；；；【分析】過點E作，根據平行公理推出，進而得出，則，即可求解．【詳解】解：過點E作，得（兩直線平行，同旁內角互補），因為（已知），（所作），所以（平行于同一直線的兩直線互相平行）．得（兩直線平行，同旁內角互補）．所以（等式性質）．即，因為（已知），所以（等式性質）．故答案為：兩直線平行，同旁內角互補；已知；平行于同一直線的兩直線互相平行；；兩直線平行，同旁內角互補；；；．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，解題的關鍵是掌握平行線公理以及兩直線平行，同旁內角互補．19．（2023下·天津濱海新·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形為一張長方形紙片．

（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（），則__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（），則__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（），則___________°．（4）根據前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．【分析】（1）過點E作EH∥AB，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到三個角的和等于180°的2倍；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；（4）根據前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．【詳解】（1）過E作EH∥AB（如圖②）．∵原四邊形是長方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵，總結規(guī)律求解是本題的難點．20．（2023下·江西南昌·七年級?？计谥校菊n本再現】（1）①如圖1，已知，直接寫出，和滿足的等式關系；②如圖2，已知，直接寫出，和滿足的等式關系；【知識應用】（2）如圖3是微信聊天對話框，圖4是其示意圖的一部分，已知，，寫出，和滿足的等式關系，并說明理由．

【答案】（1）①；②；（2），理由見解析【分析】（1）①過點E作，可得，根據平行線的性質得到，從而可得；②過點E作，可得，根據平行線的性質得到，，從而可得；（2）過點E作，結合（1）②中的結論可得，，進一步可得結論．【詳解】解：（1）①如圖1，過點E作，∵，∴，∴，∴，即；

②如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴；（2），理由是：如圖，過點E作，∵，∴，在折線中，同（1）②可得：；同理可得：；∴，即．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行公理，解題的關鍵是適當添加輔助線，靈活運用平行線的性質建立角的關系．21．（2023·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個點，根據（1）中的結論寫出你的猜想并證明．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見解析【分析】（1）①過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據平行線的性質，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據平行線的性質，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結論；（2）過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．【詳解】解：（1）①證明：如圖1，過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°．證明：如圖2，過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴結合（1）問得：所有角的和為（n+1）?180°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解決問題的關鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內角互補得出結論．22．（2023下·河南三門峽·七年級統(tǒng)考期末）下圖所示的格線彼此平行，小明在格線中作已知角，探究角的兩邊與格線形成的銳角所滿足的數量關系，他先作出．

(1)如圖1，點O在一條格線上，當時，__________；(2)如圖2，點O在兩條格線之間，用等式表示與之間的數量關系，并證明；（可根據證明的需要用a，b，c，…來表示圖中的格線）；(3)在圖3中，記與圖中一條格線形成的銳角為，小明作射線，使得，記與圖中一條格線形成的銳角為，請直接用等式表示與之間的數量關系．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)或【分析】（1）先標出和，然后再根據平行的性質可得，然后再利用角的和差解答即可；（2）如圖：過點C作一條直線平行于格線，標出