數(shù)學(xué)層級訓(xùn)練：函數(shù)的應(yīng)用（Ⅱ）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。4函數(shù)的應(yīng)用(Ⅱ)知識點(diǎn)一：指數(shù)函數(shù)模型1．某地2009年人均GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值）為9000元，預(yù)計(jì)以后年增長率為10％，使該地區(qū)人均GDP超過18000元，至少要經(jīng)過A．4年B．5年C．8年D．10年2．在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積平均每年比上一年增長10.4%，專家預(yù)測經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)y＝f（x)的圖象大致為3．某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂為兩個），經(jīng)過3個小時后，這種細(xì)菌可由1個分裂成__________個．4．已知?dú)鈮簆(百帕）與海拔高度h(米）的關(guān)系式為p＝1000(eq\f（7,100））eq\f（h,3000），則海拔6000米處的氣壓為__________百帕．知識點(diǎn)二：對數(shù)函數(shù)模型5．光線通過一塊玻璃，其強(qiáng)度要失掉原來的eq\f(1，10）,要使通過玻璃的光線強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼膃q\f（1,3)以下,則至少需要重疊這樣的玻璃塊數(shù)是(lg3＝0。4771)A．10B．11C．126．燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，專家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可表示為v＝5log2eq\f(O,10)，單位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量，則燕子靜止時的耗氧量為__________個單位．7．我們知道：人們對聲音有不同的感覺，這與它的強(qiáng)度有關(guān)系．聲音的強(qiáng)度I用瓦/平方米（W/m2）來表示，但在實(shí)際測量時，常用聲音的強(qiáng)度水平L1表示，它們滿足以下公式：L1＝10lgeq\f(I,I0）（單位為分貝,L1≥0,其中I0＝1×10－12W/m2,這是人們能聽到的平均最小強(qiáng)度，是聽覺的開端)，請回答以下問題：樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是1×10－12W/m2，耳語的強(qiáng)度是1×10－10W/m2，恬靜的無線電廣播的強(qiáng)度是1×10－8W/m2，試分別求出它們的強(qiáng)度水平．知識點(diǎn)三:冪函數(shù)、分段函數(shù)模型8．某企業(yè)產(chǎn)值連續(xù)三年持續(xù)增長，這三年年增長率分別為P1、P2、P3,則這三年的年平均增長率為A.eq\f(1,3)（P1＋P2＋P3）B。eq\r（3,P1P2P3)C.eq\r(3,1＋P11＋P21＋P3)－1D．1＋eq\f（1,3)（P1＋P2＋P3)9．60年國慶，舉國歡騰，某旅游勝地的客流量急速增加,某家客運(yùn)公司為招攬游客，推出了客運(yùn)定客票的優(yōu)惠政策：如果行程不超過100km，票價是0。4元/km；如果超過100km,則超過100km的部分按0.3元/km定價．則客運(yùn)票價y元與行程xkm之間的函數(shù)關(guān)系是__________．能力點(diǎn)一：指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)模型的應(yīng)用10．某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)作了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用A．一次函數(shù)B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù)D．對數(shù)型函數(shù)11．某人若以每股17。25元的價格購進(jìn)股票一萬股,可以預(yù)知一年后以每股18。96元的價格銷售．已知該年銀行利率為0.8%，按月計(jì)復(fù)利,為獲取最大利潤，某人應(yīng)將錢〔注：（1＋0。8％）12＝1.10038〕A．全部購買股票B．全部存入銀行C．部分購股票,部分存銀行D．購股票或存銀行均一樣12．抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60％，要使容器內(nèi)的空氣少于原來的0。1%,則至少要抽(lg2＝0.3010)A．6次B．7次C．8次D．9次13．某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?倍,且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt，其中k為常數(shù),t表示時間(單位：小時）,y表示繁殖后細(xì)菌總個數(shù)，則k＝__________,經(jīng)過5小時，1個細(xì)菌通過繁殖，個數(shù)變?yōu)開_________．14．據(jù)國務(wù)院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的《未來20年我國發(fā)展前景思路》判斷，未來20年,我國GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值)年平均增長率可望達(dá)到7.3%.那么，到2020年，我國的GDP可望為2000年的__________倍．15。我國國民經(jīng)濟(jì)計(jì)劃從1990到2010年20年間將要翻兩番，則每年的平均增長率為__________．(精確到0。001）16．20世紀(jì)30年代,查爾斯·里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大,這就是我們常說的里氏震級M，其計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0,其中，A是被測地震的最大振幅,A是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中距離造成的偏差）．（1)假設(shè)在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0。001，計(jì)算這次地震的震級（精確到0.1)；(2)5級地震給人的震感已比較明顯，計(jì)算8.0級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍(精確到1)．能力點(diǎn)二：利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題17．“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時,發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了,于是急忙追趕,但為時已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…用s1、s2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則與故事情節(jié)相吻合的是18．如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y（m2)與時間t(月)的關(guān)系：y＝at,有以下敘述：①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2;②第5個月時，浮萍面積就會超過30m2③浮萍從4m2蔓延到12m④浮萍每月增加的面積都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所經(jīng)過的時間分別為t1、t2、t3，則t1＋t2其中正確的是__________．19．蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價值很高的觀賞、食用植物，不僅可以美化居室、凈化空氣，又可美容保健,因此深受人們歡迎,在國內(nèi)占有很大的市場，某人準(zhǔn)備進(jìn)入蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進(jìn)行市場調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q（單位:元/10kg）與上市時間t（單位:天）的數(shù)據(jù)情況如下表：上市時間(t）50110250種植成本（Q）150108150（1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt;Q＝alogbt；(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時上市天數(shù)t及最低種植成本．20．某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件、1。2萬件、1。3萬件,為了估計(jì)以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模型來近似地表達(dá)該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系,函數(shù)模型可以選擇二次函數(shù)或函數(shù)y＝a·bx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件,試問用以上哪個函數(shù)作為函數(shù)模型較好？并說明理由．答案與解析基礎(chǔ)鞏固1．C9000（1＋10％）x>18000（x∈N＊)1。1x>2x≥8。2．Dy＝f（x)的解析式為y＝（1＋10。4%）x（x≥0)．3．5124．4.9把h＝6000代入p＝1000（eq\f(7,100))eq\f（h,3000),得p＝4。9.5．B設(shè)重疊x塊玻璃后,原光線強(qiáng)度為a，通過玻璃的光線強(qiáng)度為y，則y＝a（1－eq\f（1，10))x（x∈N＊），令y<eq\f(1，3）a，即a(1－eq\f（1,10))x<eq\f(1，3)a，∴（eq\f(9,10)）x<eq\f（1,3）.∴x〉eq\f（lg\f(1，3)，lg\f(9,10)）≈10。4，∴x取11。6．107．解：由題意,可知樹葉沙沙聲的強(qiáng)度I1＝1×10－12W/m2,則eq\f（I1，I0)＝1，故LI1＝10lg1＝0,即樹葉沙沙聲的強(qiáng)度水平是0分貝，耳語的強(qiáng)度I2＝1×10－10W/m2，則eq\f(I2，I0)＝102，故LI2＝10lg102＝20，即耳語的聲音強(qiáng)度水平是20分貝，同理，恬靜的無線電廣播的強(qiáng)度水平是40分貝．8．C設(shè)這三年的年平均增長率為x，企業(yè)產(chǎn)值的基數(shù)為a，則a（1＋x)3＝a（1＋P1）（1＋P2)（1＋P3)．∴x＝eq\r（3,1＋P11＋P21＋P3）－1.9．y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0.4x，0<x≤100，,40＋0.3x－100，x>100)）能力提升10．D11．B買股票利潤x＝(18.96－17。25）×10000;存銀行利潤y＝17.25×10000×(1＋0.8%）12－17.25×10000.經(jīng)計(jì)算，得x〈y，∴應(yīng)全部存入銀行．12．C設(shè)至少抽x次可使容器內(nèi)的空氣少于原來的0.1%,則（1－60%)x<0.1%,即0。4x〈0.001?！鄕lg0。4〈－3?！鄕〉eq\f（－3，lg0。4）＝eq\f(－3,2lg2－1）≈7.5?！嘀辽僖?次．13．2ln21024將(eq\f(1，2)，2)代入y＝ekt，得k＝2ln2.此時y＝22t，將t＝5代入,得y＝210＝1024.14．（1＋7。3%)20如果把我國2000年的GDP看成是1個單位,2001年為第1年,那么1年后,即2001年的GDP為2000年的（1＋7.3％)1倍．同理，2002年的GDP為2000年的(1＋7。3％)2倍，依此類比，2020年的GDP為2000年的（1＋7。3%)20倍．15．7.2%設(shè)平均每年的增長率為x，則(1＋x)20＝4，∴20lg(1＋x)＝lg4,解得x≈0。072＝7.2％.16．解：（1)依題意知M＝lg20－lg0.001＝lgeq\f(20，0.001）＝lg20000＝lg2＋lg104＝4＋lg2≈4。3。因此這是一次約里氏4.3級的地震．（2)由M＝lgA－lgA0，可知M＝lgeq\f（A，A0),所以eq\f(A,A0）＝10M，所以A＝A0·10M，當(dāng)M＝8.0時，地震的最大振幅為A1＝A0·108.0；當(dāng)M＝5時，地震的最大振幅為A2＝A2·105.所以，兩次地震的最大振幅之比是eq\f(A1,A2)＝eq\f(A0·108.0,A0·105）＝108。0－5＝1000.所以8。0級地震的最大振幅大約是5級地震的最大振幅的1000倍．17．BA表示同時到達(dá)；C表示沒有追趕；D表示兔子先到達(dá)終點(diǎn)，正確答案是B.18．①②⑤①顯然正確；當(dāng)t＝5時，y＝25＝32〉30，故②正確；當(dāng)t＝2時，y＝4，當(dāng)t＝3。5時，y≈11。31<12，故經(jīng)過1。5個月并不能使浮萍的面積達(dá)到12m2,從而③不正確；由圖象易知，經(jīng)過第1個月時，面積為2－1＝1（m2)，再經(jīng)過1個月時，面積為4－2＝2（m2），故④不正確；當(dāng)浮萍面積為2m2時,t1＝1；當(dāng)浮萍面積為3m2時，t2＝log23；當(dāng)浮萍面積為6m2時，t3＝log26，而1＋log19．解：(1)由所提供的數(shù)據(jù)知，反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系不可能是常數(shù)函數(shù)，故用(1）中四個函數(shù)中任意一個來反映時都應(yīng)有a≠0，而函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所給數(shù)據(jù)不符合，所以應(yīng)選擇二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c，將上述表格中的數(shù)據(jù)代入，可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（150＝2500a＋50b＋c，,108＝12100a＋110b＋c，,150＝62500a＋250b＋c。）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(1,200),，b＝－\f(3,2），，c＝\f（425,2），)）所以，蘆薈上市時間t與蘆薈種植成本Q之間的關(guān)系為Q＝eq\f(1，200)t2－eq\f(3,2）t＋eq\f（425,2)。(2）當(dāng)t＝－eq\f（－\f（3,2）,2×\f（1，200））＝150（天)時，Qmin＝eq\f（1,200)×1502－eq\f(3,2）×150＋eq\f（425，2）＝100，即當(dāng)蘆薈上市時間為150天時,種植成本最低為100元/10kg。拓展探究20．解:設(shè)兩個函數(shù)模型:y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，y2＝g(x)＝a·bx＋c。依題意,有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(f1＝p＋q＋r＝1,，f2＝4p＋2q＋r＝1。2，，f3＝9p＋3q＋r＝1。3，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（p＝－0。05,,q＝0。35,,r＝0。7。）)∴y1＝f(x）＝－0.05x2