數(shù)學(xué)學(xué)案：第三講一二維形式的柯西不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精一二維形式的柯西不等式1．認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義．2．通過(guò)運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．1．二維形式的柯西不等式(1）若a，b，c，d都是實(shí)數(shù),則(a2＋b2)（c2＋d2）≥__________,當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，等號(hào)成立．（2）二維形式的柯西不等式的推論：（a＋b)（c＋d）≥________________（a，b，c,d為非負(fù)實(shí)數(shù))；eq\r（a2＋b2）·eq\r（c2＋d2)≥________（a，b，c，d∈R）；eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2）≥________（a，b，c，d∈R)．【做一做1】已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則（eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2的最大值是(）A．2eq\r(6) B。eq\r(6） C．6 D．122．柯西不等式的向量形式設(shè)α，β是兩個(gè)向量,則｜α·β|≤__________，當(dāng)且僅當(dāng)β是________，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立．【做一做2】設(shè)a＝(－2，1,2），｜b｜＝6，則a·b的最小值為_(kāi)_________,此時(shí)b＝__________.3．二維形式的三角不等式(1)設(shè)x1，y1，x2,y2∈R，那么eq\r（x\o\al(2，1)＋y\o\al（2,1））＋eq\r（x\o\al（2，2）＋y\o\al（2,2)）≥__________________。(2)推論：eq\r（x1－x32＋y1－y32）＋eq\r（x2－x32＋y2－y32)≥____________________，(x1,x2，x3,y1，y2，y3∈R)．解決柯西不等式的應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵是把原有式子巧妙地轉(zhuǎn)化為柯西不等式的形式．答案：1．（1）（ac＋bd)2ad＝bc（2)（eq\r(ac)＋eq\r(bd))2｜ac＋bd｜|ac|＋｜bd｜【做一做1】D(eq\r（4a＋1)＋eq\r（4b＋1)）2＝(1×eq\r（4a＋1）＋1×eq\r(4b＋1))2≤（12＋12）（4a＋1＋4b＋1＝2[4（a＋b）＋2]＝2×(4×1＋2）＝12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(4b＋1)＝eq\r（4a＋1)，即a＝b＝eq\f(1，2）時(shí)等號(hào)成立．2．｜α｜｜β｜零向量【做一做2】－18（4，－2，－4）根據(jù)柯西不等式的向量形式，有｜a·b｜≤｜a|·|b|，∴|a·b|≤eq\r（－22＋12＋22)×6＝18,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k,使a＝kb時(shí),等號(hào)成立．∴－18≤a·b≤18.∴a·b的最小值為－18，此時(shí)b＝－2a＝(4，－2，－43．（1)eq\r(x1－x22＋y1－y22）(2)eq\r(x1－x22＋y1－y22）1．對(duì)柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的幾種形式，都涉及對(duì)不等式的理解與記憶，因此，二維形式的柯西不等式可以理解為四個(gè)有順序的數(shù)來(lái)對(duì)應(yīng)的一種不等關(guān)系，或構(gòu)造成一個(gè)不等式,如基本不等式是由兩個(gè)數(shù)來(lái)構(gòu)造的,但怎樣構(gòu)造要仔細(xì)體會(huì)．(a2＋b2)（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，（a2＋b2)（d2＋c2）≥（ad＋bc）2,誰(shuí)與誰(shuí)組合、聯(lián)系，要有一定的認(rèn)識(shí)．“二維”是由向量的個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)的，在平面上一個(gè)向量有兩個(gè)量：橫縱坐標(biāo)，因此“二維”就要有四個(gè)量,還可以認(rèn)為是四個(gè)數(shù)組合成的一種不等關(guān)系．2．柯西不等式取“＝"的條件剖析：柯西不等式取“＝”的條件，也不易記住,我們可以多方面聯(lián)系來(lái)記憶，如（a2＋b2）（c2＋d2)≥（ac＋bd）2，取“＝”的條件是“ad＝bc”，有點(diǎn)像a,b，c,d成等比時(shí)，ad＝bc的結(jié)論，a，b，c，d的順序不等式中是對(duì)應(yīng)排列順序的,柯西不等式的向量形式中|α·β｜≤｜α||β｜，取“＝”的條件是β＝0或存在實(shí)數(shù)k,使α＝kβ。我們可以從向量的數(shù)量積的角度來(lái)理解和記憶．題型一柯西不等式等號(hào)成立的條件【例1】求證：點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C｜，\r(A2＋B2）).反思:利用二維形式的柯西不等式(a2＋b2)（c2＋d2)≥（ac＋bd)2，取“＝”的條件是ad＝bc.因此，在解題時(shí)，對(duì)照柯西不等式，必須弄清要求的問(wèn)題中相當(dāng)于柯西不等式中的“a，b,c，d”的數(shù)或代數(shù)式，否則容易出錯(cuò)．題型二利用柯西不等式證明某些不等式【例2】設(shè)a，b∈R＋,且a＋b＝2.求證：eq\f(a2,2－a)＋eq\f（b2，2－b）≥2。分析：利用柯西不等式前，需要觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本題可以看作求eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b）的最小值，因而需出現(xiàn)(a2＋b2)（c2＋d2）結(jié)構(gòu)．把eq\f(a2，2－a）＋eq\f(b2，2－b）視為其中的一個(gè)括號(hào)內(nèi)的部分，另一部分可以是(2－a）＋（2－b）．反思:利用柯西不等式證明某些不等式時(shí)，有時(shí)需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)?shù)淖冃危@種變形往往要求具有很高的技巧,必須善于分析題目的特征,根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到突破口．答案:【例1】證明：設(shè)Q（x，y)是直線上任意一點(diǎn),則Ax＋By＋C＝0。因?yàn)閨PQ｜2＝(x－x0)2＋（y－y0)2，A2＋B2≠0.由柯西不等式,得(A2＋B2)[(x－x0)2＋（y－y0）2]≥[A（x－x0）＋B（y－y0）]2＝［(Ax＋By)－（Ax0＋By0)］2＝（Ax0＋By0＋C）2,所以|PQ｜≥eq\f(|Ax0＋By0＋C|，\r(A2＋B2)).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（x－x0，A）＝eq\f(y－y0，B)＝－eq\f（Ax0＋By0＋C,A2＋B2)時(shí),取等號(hào)．由垂線段最短，得d＝eq\f（｜Ax0＋By0＋C|，\r(A2＋B2)）.因此，點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)）?！纠?】證明：根據(jù)柯西不等式，有［(2－a）＋（2－b）］(eq\f（a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b))＝［(eq\r(2－a））2＋(eq\r（2－b)）2］[（eq\f(a,\r(2－a)）)2＋(eq\f（b，\r(2－b）））2］≥(eq\r(2－a）·eq\f（a，\r（2－a）)＋eq\r（2－b)·eq\f(b,\r（2－b））)2＝（a＋b)2＝4.∴eq\f（a2，2－a）＋eq\f（b2,2－b）≥eq\f（4，2－a＋2－b）＝2.當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(2－a)·eq\f（b，\r（2－b))＝eq\r(2－b)·eq\f(a，\r（2－a）），即a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立．∴原不等式成立．1．已知＝2，x，y∈R＋，則x＋y的最小值是()A. B. C. D．52．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是（)A。 B。 C。 D。3．已知a2＋b2＝1,x2＋y2＝1，求證：｜ax＋by｜≤1.4．已知a＞b＞c，求證：≥。5．設(shè)a,b，c＞0,且acos2θ＋bsin2θ＜c。求證:＜.答案：1．A由＝2，可得x＋y＝≥＝＝。當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝5，y＝時(shí)等號(hào)成立．2．B2x2＋3y2＝[＋］［＋]×≥＝＝.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y，即x＝,y＝時(shí)等號(hào)成立．3．證明：由柯西不等式，得｜ax＋by|≤＝1.當(dāng)且僅當(dāng)ay＝bx時(shí)等號(hào)成立．4．分析:原不等式可變形為(a－c)(＋)≥4.又a－c＝(a－b）