2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點突破專題四概率與統(tǒng)計第1講統(tǒng)計與統(tǒng)計案例含解析

PAGE第1講統(tǒng)計與統(tǒng)計案例高考定位1.抽樣方法、樣本的數(shù)字特征、統(tǒng)計圖表、回來分析與獨立性檢驗主要以選擇題、填空題形式命題，難度較?。?.注意學(xué)問的交匯滲透，統(tǒng)計與概率、回來分析與概率是近年命題的熱點，2024年、2024年和2024年在解答題中均有考查.真題感悟1.(2024·全國Ⅱ卷)演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差解析中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，中位數(shù)是不變的，平均數(shù)、方差、極差均受影響.答案A2.(2024·全國Ⅲ卷)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))pi＝1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2解析X的可能取值為1，2，3，4，四種情形的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都為2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(D（X）).A選項的方差D(X)＝0.65；B選項的方差D(X)＝1.85；C選項的方差D(X)＝1.05；D選項的方差D(X)＝1.45.可知選項B的情形對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選B.答案B3.(2024·天津卷)從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43，5.47)內(nèi)的個數(shù)為()A.10 B.18 C.20 D.36解析因為直徑落在區(qū)間[5.43，5.47)內(nèi)的頻率為0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以個數(shù)為0.225×80＝18.故選B.答案B4.(2024·全國Ⅱ卷)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡潔隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))xi＝60，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))yi＝1200，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)依據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(2)≈1.414.解(1)由已知得樣本平均數(shù)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))yi＝60，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200＝12000.(2)樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分層抽樣：依據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性.由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采納分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一樣性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計.考點整合1.抽樣方法抽樣方法包括簡潔隨機(jī)抽樣、分層抽樣，兩種抽樣方法都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣的公允性，但又各有其特點和適用范圍.2.統(tǒng)計中的四個數(shù)據(jù)特征(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).(2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小依次排列，位于最中間的數(shù)據(jù).假如數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差.s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2]).3.直方圖的兩個結(jié)論(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率.(2)各小長方形的面積之和等于1.4.回來分析與獨立性檢驗(1)回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))經(jīng)過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，若x取某一個值代入回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，可求出y的估計值.(2)獨立性檢驗對于取值分別是{x1，x2}和{y1，y2}的分類變量X和Y，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋dn則K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量).熱點一抽樣方法【例1】(1)總體由編號為01，02，…，49，50的50個個體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字起先從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第4個個體的編號為()附：第6行至第9行的隨機(jī)數(shù)表27486198716441487086288885191620747701111630240429797991968351253211491973064916767787339974673226357900337091601620388277574950A.3 B.19 C.38 D.20(2)(2024·百校大聯(lián)考)在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學(xué)生都進(jìn)行網(wǎng)上上課.我校高一、高二、高三共有學(xué)生1800名，為了了解同學(xué)們對“釘釘”授課軟件的看法，安排采納分層抽樣的方法從這1800名學(xué)生中抽取一個容量為72的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則我校高三年級的人數(shù)為()A.800 B.750 C.700 D.650解析(1)由題意知，編號為01～50的個體才是須要的個體.由隨機(jī)數(shù)表依次可得41，48，28，19，16，20，……故第4個個體的編號為19.故選B.(2)設(shè)從高三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為2x人，則從高二、高一年級抽取的人數(shù)分別為2x－2，2x－4.由題意可得2x＋(2x－2)＋(2x－4)＝72，∴x＝13.設(shè)我校高三年級的學(xué)生人數(shù)為N，且高三抽取26人，由分層抽樣，得eq\f(N,1800)＝eq\f(26,72)，∴N＝650(人).答案(1)B(2)D探究提高解決此類題目的關(guān)鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點和適用范圍.但無論哪種抽樣方法，每一個個體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量與總體容量的比值.【訓(xùn)練1】(1)總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行第6列的數(shù)字起先，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為________.附：第1行至第2行的隨機(jī)數(shù)表21166508903420764381263491641750715945069127353680727467213350258312027611870526(2)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件，為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上全部的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取________件.解析(1)從隨機(jī)數(shù)表的第1行第6列的數(shù)字起先，按規(guī)則得到的編號依次為50，89，03，42，07，64，38，12，63，49，16，41，75，07，15，94，50，……其中編號在01至20之間的依次為03，07，12，16，07，15，……依據(jù)編號重復(fù)的刪除后一個的原則，可知選出來的第5個個體的編號為15.(2)因為樣本容量n＝60，總體容量N＝200＋400＋300＋100＝1000，所以抽取比例為eq\f(n,N)＝eq\f(60,1000)＝eq\f(3,50).因此應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取300×eq\f(3,50)＝18(件).答案(1)15(2)18熱點二用樣本估計總體角度1數(shù)字特征與統(tǒng)計圖表的應(yīng)用【例2】(1)(2024·衡水檢測)甲、乙兩名同學(xué)高三以來6次數(shù)學(xué)模擬考試的成果統(tǒng)計如下圖，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲、eq\o(x,\s\up6(－))乙，標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲、s乙，則()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲＜s乙 B.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲＞s乙C.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲＜s乙 D.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲＞s乙(2)2024年初，我國突發(fā)新冠肺炎疫情，疫情期間中小學(xué)生“停課不停學(xué)”.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)狀況如甲圖所示，各學(xué)段學(xué)生在疫情期間“家務(wù)勞動”的參加率如乙圖所示.為了進(jìn)一步了解該地區(qū)中小學(xué)生參加“家務(wù)勞動”的狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則抽取的樣本容量、抽取的中學(xué)生中參加“家務(wù)勞動”的人數(shù)分別為()A.2750，200 B.2750，110C.1120，110 D.1120，200解析(1)由統(tǒng)計圖知，甲同學(xué)的總體成果要好于乙同學(xué)的成果，且乙同學(xué)的成果波動較大，甲同學(xué)成果較穩(wěn)定.∴eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，且s甲＜s乙.(2)學(xué)生總數(shù)為15500＋5000＋7500＝28000人，由于抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則抽取的樣本容量為28000×4%＝1120(人).故中學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為5000×4%＝200(人)，而中學(xué)生中參加“家務(wù)勞動”的比率為0.55，故中學(xué)生中參加“家務(wù)勞動”的人數(shù)為200×0.55＝110(人).答案(1)C(2)C角度2用樣本的頻率分布估計總體分布【例3】(2024·全國Ⅲ卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.依據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事務(wù)：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，依據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.探究提高1.平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對數(shù)據(jù)的一種簡明描述，它們所反映的狀況有著重要的實際意義.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動大小.2.在例3中，抓住頻率分布直方圖各小長方形的面積之和為1，這是求解的關(guān)鍵；本題易混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯.【訓(xùn)練2】(1)(2024·新高考海南卷)我國新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推動復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是()A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量解析由圖可知，第1天到第2天復(fù)工指數(shù)削減，第7天到第8天復(fù)工指數(shù)削減，第10天到第11天復(fù)工指數(shù)削減，第8天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)削減，故A錯誤；由圖可知，第一天的復(fù)產(chǎn)指數(shù)與復(fù)工指數(shù)的差大于第11天的復(fù)產(chǎn)指數(shù)與復(fù)工指數(shù)的差，所以這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯誤；由圖可知，第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%，故C正確；由圖可知，第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確；故選C、D.答案CD(2)(2024·全國Ⅱ卷)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)狀況，隨機(jī)調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[－0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80]企業(yè)數(shù)22453147①分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；②求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)附：eq\r(74)≈8.602.解①依據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為eq\f(14＋7,100)＝0.21.產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)頻率為eq\f(2,100)＝0.02.所以用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%.②100個企業(yè)的產(chǎn)值增長率平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,100)×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝eq\f(1,100)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))ni(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,100)×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝eq\r(0.0296)＝0.02×eq\r(74)≈0.17.所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為0.30，0.17.熱點三回來分析在實際問題中的應(yīng)用【例4】如圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回來模型.依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由.解(1)利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元).利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元).(2)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.理由如下：(ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.(ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.探究提高1.求回來直線方程的關(guān)鍵及實際應(yīng)用(1)關(guān)鍵：正確理解eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的計算公式和精確地計算.(2)實際應(yīng)用：在分析實際中兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可依據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回來方程估計和預(yù)料變量的值.2.相關(guān)系數(shù)(1)當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，兩個變量負(fù)相關(guān).(2)當(dāng)|r|>0.75時，認(rèn)為兩個變量具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.【訓(xùn)練3】(1)(2024·全國Ⅰ卷)某校一個課外學(xué)習(xí)小組為探討某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽試驗，由試驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回來方程類型中最相宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回來方程類型的是()A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2C.y＝a＋bex D.y＝a＋blnx(2)(2024·百強(qiáng)名校領(lǐng)軍考試)已知變量x，y的關(guān)系可以用模型y＝cekx擬合，設(shè)z＝lny，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：x16171819z50344131由上表可得線性回來方程eq\o(z,\s\up6(^))＝－4x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則c＝()A.－4 B.e－4 C.109 D.e109解析(1)由散點圖可以看出，這些點大致分布在對數(shù)型函數(shù)的圖象旁邊.故選D.(2)由數(shù)據(jù)表知eq\o(x,\s\up6(－))＝17.5，eq\o(z,\s\up6(－))＝39.∵樣本點中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(z,\s\up6(－)))在回來直線上，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝39＋4×17.5＝109.又z＝lny＝ln(cekx)＝kx＋lnc，∴l(xiāng)nc＝eq\o(a,\s\up6(^))＝109，則c＝e109.答案(1)D(2)D熱點四獨立性檢驗【例5】(2024·新高考山東、海南卷)為加強(qiáng)環(huán)境愛護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0，50](50，150](150，475][0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(1)估計事務(wù)“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；(2)依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0，150](150，475][0，75](75，115](3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，推斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解(1)依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率的估計值為eq\f(64,100)＝0.64.(2)依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0，150](150，475][0，75]6416(75，115]1010(3)依據(jù)(2)的列聯(lián)表得K2的觀測值k＝eq\f(100×（64×10－16×10）2,80×20×74×26)≈7.484.由于7.484＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).探究提高1.獨立性檢驗的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)列成2×2列聯(lián)表；(2)依據(jù)公式K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，計算K2的值；(3)查表比較K2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷.2.K2的觀測值k越大，對應(yīng)假設(shè)事務(wù)H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大.【訓(xùn)練4】某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿足或不滿足的評價，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿足的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務(wù)滿足的比率為eq\f(40,50)＝0.8，因此男顧客對該商場服務(wù)滿足的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務(wù)滿足的比率為eq\f(30,50)＝0.6，因此女顧客對該商場服務(wù)滿足的概率的估計值為0.6.(2)K2的觀測值k＝eq\f(100×（40×20－30×10）2,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.A級鞏固提升一、選擇題1.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)珍寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的狀況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為()A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8解析法一設(shè)調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為x，則x＋80－60＝90，解得x＝70，所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C.法二用Venn圖表示閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)之間的關(guān)系如圖：易知調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70，所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為eq\f(70,100)＝0.7.答案C2.(2024·全國Ⅲ卷)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為()A.0.01 B.0.1 C.1 D.10解析10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.故選C.答案C3.給出如下列聯(lián)表患心臟病患其他病總計高血壓201030非高血壓305080總計5060110P(K2≥10.828)≈0.001，P(K2≥6.635)≈0.010，參照公式k＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得到的正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認(rèn)為“高血壓與患心臟病無關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“高血壓與患心臟病有關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“高血壓與患心臟病無關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“高血壓與患心臟病有關(guān)”解析由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得K2的觀測值k＝eq\f(110×（20×50－10×30）2,30×80×50×60)≈7.486＞6.635，依據(jù)參考數(shù)據(jù)P(K2≥6.635)≈0.01，P(K2≥10.828)≈0.001，所以有1－0.01＝99%的把握認(rèn)為高血壓與患心臟病有關(guān)，即有99%以上的把握認(rèn)為高血壓與患心臟病有關(guān).答案B4.(多選題)(2024·濟(jì)南調(diào)研)某企業(yè)對本企業(yè)1644名職工關(guān)于復(fù)工的看法進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，下列結(jié)論成立的是()疫情防控期間某企業(yè)復(fù)工職工調(diào)查A.x＝0.384B.從該企業(yè)中任取一名職工，該職工是傾向于在家辦公的概率為0.178C.不到80名職工傾向于接著申請休假D.傾向于復(fù)工后在家辦公或在公司辦公的職工超過986名解析由圖表知x%＝1－5.1%－17.8%－42.3%，得x＝34.8，則A錯.在家辦公的人員占17.8%，B正確.由1644×5.1%＞1644×5%＝82.2＞80，∴超過80名職工傾向于休假，故C錯誤.又1644×(17.8%＋42.3%)≈988，所以超過986名職工傾向于在家辦公或在公司辦公，D正確.綜上可知，正確的結(jié)論為BD.答案BD5.(多選題)某校進(jìn)行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A.得分在[40，60)之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80)的概率為0.5C.估計得分的眾數(shù)為55D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65解析依據(jù)頻率和為1，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，得分在[40，60)的頻率是0.40，估計得分在[40，60)的有100×0.40＝40(人)，A正確；得分在[60，80)的頻率為0.5，可得從這100名參賽者中隨機(jī)選取一人，得分在[60，80)的概率為0.5，B正確；依據(jù)頻率分布直方圖知，最高的小矩形對應(yīng)的底邊中點為eq\f(50＋60,2)＝55，即估計得分的眾數(shù)為55，C正確；由0.05＋0.35＝0.4<0.5，知中位數(shù)位于[60，70)內(nèi)，所以中位數(shù)的估計值為60＋eq\f(0.5－0.4,0.03)≈63.3.答案ABC二、填空題6.(2024·深圳調(diào)研)為了響應(yīng)中心號召，某日深圳環(huán)保局隨機(jī)抽查了本市市區(qū)汽車尾氣排放污染物x(單位：ppm)與當(dāng)天私家車路上行駛的時間y(單位：小時)之間的關(guān)系，從某主干路隨機(jī)抽取10輛私家車，依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4，若該10輛車中有一輛私家車的尾氣排放污染物為6(單位：ppm)，據(jù)此估計該私家車行駛的時間為________小時.解析由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4，取x＝6，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3×6－0.4＝1.4，∴估計該私家車行駛的時間為1.4小時.答案1.47.(2024·濟(jì)寧聯(lián)考)由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了肯定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家實體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為m，中位數(shù)為n，則m－n＝________.解析第一塊小矩形的面積S1＝0.3，其次塊小矩形的面積S2＝0.4，故n＝2000＋eq\f(0.5－0.3,0.0002)＝3000；又第四、五塊小矩形的面積均為S＝0.06，故a＝eq\f(1,2000)[1－(0.3＋0.4＋0.06×2)]＝0.00009，所以m＝1000×0.3＋3000×0.4＋5000×0.18＋(7000＋9000)×0.06＝3360，故m－n＝360.答案3608.(2002·中原名校聯(lián)考)“關(guān)注夕陽、愛老敬老”——某馬拉松協(xié)會從2013年起先每年向敬老院捐贈物資和現(xiàn)金.下表記錄了第x年(2013年是第一年)與捐贈的現(xiàn)金y(萬元)的對應(yīng)數(shù)據(jù)，由此表中的數(shù)據(jù)得到了y關(guān)于x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝mx＋0.35，則預(yù)料2024年捐贈的現(xiàn)金大約是________萬元.x3456y2.5344.5解析由已知，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，所以樣本中心點的坐標(biāo)為(4.5，3.5)，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝mx＋0.35中，得3.5＝4.5m＋0.35，解得m＝0.7，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35.取x＝9，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×9＋0.35＝6.65，故預(yù)料2024年捐贈的現(xiàn)金大約是6.65萬元.答案6.65三、解答題9.(2024·濟(jì)南聯(lián)考)2024年10月1日是中華人民共和國成立70周年紀(jì)念日.70年砥礪奮進(jìn)，70年洶涌澎湃，感染、激勵著一代又一代華夏兒女，為祖國的旺盛昌盛努力拼搏，奮勉圖強(qiáng).為進(jìn)一步對學(xué)生進(jìn)行愛國教化，某校社會實踐活動小組，在老師的指導(dǎo)下，從學(xué)校隨機(jī)抽取四個班級160名同學(xué)對這次國慶閱兵受到激勵狀況進(jìn)行調(diào)查探討，記錄的狀況如下圖：(1)假如從這160人中隨機(jī)選取1人，此人特別受激勵的概率和此人是很受激勵的女同學(xué)的概率都是eq\f(1,4)，求a，b，c的值；(2)依據(jù)“特別受激勵”與“很受激勵”兩種狀況進(jìn)行探討，推斷是否有95%的把握認(rèn)為受激勵程度與性別有關(guān).附：參考數(shù)據(jù)P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解(1)由題意知eq\f(20＋a,160)＝eq\f(c,160)＝eq\f(1,4)，且a＋b＋c＝120.解之得a＝20，b＝60，c＝40.(2)由題意可得2×2列聯(lián)表：特別受激勵很受激勵合計男206080女204060合計40100140∴K2的觀測值k＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(140×（20×40－20×60）2,40×100×80×60)≈1.17.由于1.17＜3.841，∴沒有95%的把握認(rèn)為受激勵程度與性別有關(guān).10.某家庭記錄了未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7]頻數(shù)13249265運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6]頻數(shù)151310165(1)在下圖中作出訪用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(2)估計該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估計該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)約多少水？(一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表).解(1)所求的頻率分布直方圖如下：(2)由題可知運(yùn)用節(jié)水龍頭后50天的用水量在[0.3，0.4)的頻數(shù)為10，所以可估計在[0.3，0.35)的頻數(shù)為5，故用水量小于0.35m3的頻數(shù)為1＋5＋13＋5＝24，其頻率為eq\f(24,50)＝0.48.因此，估計該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率為0.48.(3)該家庭未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48(m3).該家庭運(yùn)用了節(jié)水龍頭后50天的日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35(m3).估計運(yùn)用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)約水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).B級實力突破11.(多選題)(2024·海南質(zhì)檢)劉女士的網(wǎng)店經(jīng)營堅果類食品，2024年各月份的收入、支出(單位：百元)狀況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是()A.4至5月份的收入的改變率與11至12月份的收入的改變率相同B.支出最高值與支出最低值的比是5∶1C.第三季度平均收入為5000元D.利潤最高的月份是3月份和10月份解析對于A，4至5月份的收入的改變率為eq\f(30－50,5－4)＝－20，11至12月份收入的改變率為eq\f(50－70,12－11)＝－20，故相同，A正確.對于B，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值與支出最低值的比是6∶1，故B錯誤.對于C，第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入為eq\f(40＋50＋60,3)＝50(百元)，故C正確.對于D，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D正確.答案ACD12.(2024·西安模擬)某公司為了預(yù)料下月產(chǎn)品銷售狀況，找出了近7個月的產(chǎn)品銷售量y(單位：萬件)的統(tǒng)計表：月份代碼t1234567銷售量y(萬件)y1y2y3y4y5y6y7但其中數(shù)據(jù)污損不清，經(jīng)查證eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i