專題14銳角三角函數(shù)與解直角三角形（原卷版）

專題14銳角三角函數(shù)與解直角三角形一、單選題1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，則cosB＝（）A． B． C． D．2．（2023·河南洛陽·東方二中校考二模）如圖，為測量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距米的A、B兩點(diǎn)處，觀測對岸的標(biāo)注物，測得、，那么這條河的寬度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，相交于點(diǎn)O，則（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）在中，，已知，，那么下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．5．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)校考二模）如圖，為蹺蹺板的中點(diǎn)，支柱與地面垂直，垂足為點(diǎn)，當(dāng)蹺蹺板的一端著地時，蹺蹺板與地面的夾角，測得．則的長為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東東莞·?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足為E，DE與AC交于點(diǎn)F，則sin∠DFC的值為（）A． B． C． D．7．（2023·廣東汕頭·林百欣中學(xué)?？级＃佄锞€先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，平移后的拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)是點(diǎn)，連接、，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，為直徑，內(nèi)接于，為內(nèi)心，交圓于D，且于I，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2023·陜西西安·?？级＃┰谥校?，則的值為______.10．（2023·湖南邵陽·校聯(lián)考二模）在中，，若，則_____．11．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考二模）由6個形狀相同、大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)，，都在格點(diǎn)網(wǎng)格線的交點(diǎn))上，若，則的值為______．12．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、O在小正方形的頂點(diǎn)上，則_________13．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，兩條直角邊，的長度分別為，，折疊，使點(diǎn)，重合，為折痕，連接，則_________．14．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sinA的值為_______．15．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形紙片沿對角線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，與邊相交于點(diǎn)F．如果，那么的正弦值等于_____．16．（2023·湖北黃岡·?？级＃┠撑炌衔?時在A處測得燈塔C在其南偏東的方位上，然后以每小時海里的速度沿南偏東的方向航行，時到達(dá)B處，在B處測得燈塔C在其北偏東的方位上，則B處到燈塔C的距離是_________．17．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考二模）高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時減速慢行．如圖，用平行四邊形表示一個“魚骨”，平行于車輛前行方向，，過B作的垂線，垂足為（A點(diǎn)的視覺錯覺點(diǎn)），若，則________．18．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考二模）如圖，某學(xué)校數(shù)學(xué)探究小組利用無人機(jī)在操場上開展測量教學(xué)樓高度的活動，此時無人機(jī)在高地面米的點(diǎn)處，操控者站在點(diǎn)處，無人機(jī)測得點(diǎn)的俯角為．測得教學(xué)樓樓頂點(diǎn)處的俯角為，操控者和教學(xué)樓的距離為米，則教學(xué)樓的高度是______米．19．（2023·寧夏吳忠·統(tǒng)考二模）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形面積是1，則=___________．20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？级＃┮阎赫叫蔚倪呴L為8，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，若，則的值是________．三、解答題21．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）2023年3月，在天府新區(qū)組織的“迎大運(yùn)盛會，創(chuàng)文明典范——小手拉大手”暨天府少年追光行動啟動儀式上，某學(xué)校的中國鼓表演獲得了大家的一致好評．圓圓同學(xué)按照中國鼓（上下兩個面是半徑相同的圓）畫出了它的主視圖．如圖，點(diǎn)O是圖形內(nèi)部一點(diǎn)，若，，求該鼓的厚度．（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）22．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在坡角為的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹，當(dāng)太陽光線與水平線成角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影長為米，求大樹的高．（結(jié)果精確到米，，）23．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考二模）圖1是某型號挖掘機(jī)，該挖掘機(jī)是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成的，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖（是基座的高，是主臂，是伸展臂）．已知主臂長為米，伸展臂長為米，當(dāng)伸展臂伸展角時，求挖掘機(jī)能挖得到的距離的長．（結(jié)果保留根號）24．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）為給人們的生活帶來方便，共享單車的租賃在我市正方興未艾．圖1是公共自行車的實(shí)物圖，圖2是公共自行車的車架示意圖，點(diǎn)A、D、C、E在同一條直線上，，，，于點(diǎn)，座桿，且．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的長；(2)求點(diǎn)到的距離（結(jié)果保留整數(shù)）．25．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，有A，B兩個居民樓，相距100米，B樓在A樓的東北方向，在點(diǎn)C處有一處超市，該超市在樓A的北偏西方向上，在樓B的北偏西方向上，求超市C與樓A的距離．（結(jié)果保留整數(shù)，，，）26．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，在修建公路時，需要挖掘一段隧道，已知點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，，，米；(1)求隧道兩端B、C之間的距離（精確到個位）；（參考數(shù)據(jù)：，，）．(2)原計劃單向開挖，但為了加快施工進(jìn)度，從B、C兩端同時相向開挖，這樣每天的工作效率提高了20%，結(jié)果提前2天完工．問原計劃單向開挖每天挖多少米？27．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）圖示為某校園的閘口，其雙翼展開時為兩個圓心角的扇形，，C、D處于同一水平線上且距離地面高度為，水平距離為．(1)求A點(diǎn)距離地面的高度（精確到）(2)為了起到有效的阻隔作用，要求，請通過計算說明該設(shè)備的安裝是否符合要求．（參考數(shù)據(jù)）28．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）為測量校園某一塊路線指示牌的高度，小明繪制了該指示牌支架側(cè)面的截面圖如圖所示，并測得，，，，四邊形為矩形底座，且．請幫助小明求出指示牌最高點(diǎn)到地面的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）29．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考二模）2022年12月7日，國務(wù)院發(fā)布10條防疫政策，宣告我國3年疫情開始全面放開，但個人衛(wèi)生防護(hù)依然不能放松，為加強(qiáng)學(xué)生自我防護(hù)意識，學(xué)校購進(jìn)一批酒精消毒瓶如圖11．所示，為噴嘴，為按壓柄，為伸縮連桿，和為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，，，．當(dāng)按壓柄按壓到底時，轉(zhuǎn)動到，此時（如圖3）．(1)求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動到點(diǎn)的路徑長；(2)求點(diǎn)D到直線的距離（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）30．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）智能如果安裝了一款測量軟件“SmartMeasure”后，就可以測量物高、寬度和面積等．如圖，打開軟件后將攝像頭的屏幕準(zhǔn)星對準(zhǔn)腳部按鍵，再對準(zhǔn)頭部按鍵，即可測量出人體的高度．其數(shù)學(xué)原理如圖②所示，測量者與被測量者都垂直于地面．(1)如圖①若顯示，，請確定此時被測量者的身高的長；(2)如圖②若顯示，，，求此時被測量物的高．（結(jié)果保留根號）（，，）31．（2023·山西·校聯(lián)考二模）太陽能路燈具有安全性能高、節(jié)能環(huán)保、經(jīng)濟(jì)實(shí)用等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于主、次干道，工廠，旅游景點(diǎn)等場所．如圖是太陽能板及支架部分的示意圖，是太陽能板，點(diǎn)A與點(diǎn)B是支架部分與太陽能板的連接點(diǎn)，點(diǎn)C是支架部分與燈桿的連接點(diǎn)，點(diǎn)D是燈桿上一點(diǎn)，支架的長為，與燈桿的夾角，支架的長為，與燈桿的夾角，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一豎直平面內(nèi)，求點(diǎn)A和點(diǎn)B距地面的高度差．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）32．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）圖1是一款擺臂遮陽篷的實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖．如圖2，點(diǎn)A，O為墻壁上的固定點(diǎn)，m，擺臂OB可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中遮陽篷可自由伸縮，篷面始終保持平整，當(dāng)擺臂與墻壁垂直時，身高為m的同學(xué)（m）站在遮陽篷下距離墻角m（m）處，剛好不被陽光照射到，測得此時與擺臂的夾角，光線與水平地面的夾角，求的高度．（結(jié)果精確到m．參考數(shù)據(jù)：，，，）33．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）圖1是某地下商業(yè)街的入口的玻璃頂，它是由立柱、斜桿、支撐桿組成的支架撐起的，圖2是它的示意圖．經(jīng)過測量，支架的立柱與地面垂直（），米，點(diǎn)A、C、M在同一水平線上，斜桿與水平線的夾角，支撐桿，垂足為，該支架的邊與的夾角，又測得米．(1)求該支架的邊的長；(2)求支架的邊的頂端D到地面的距離．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）34．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，小明想測量建筑物的高度，已知斜坡米，斜坡的坡度為，建筑物底端和斜坡的底端在同一水平線上，小明從坡頂處沿水平方向前行若干米后至點(diǎn)處，在點(diǎn)處用儀器測得該建筑物的頂端的仰角為，到建筑物底端的俯角為，點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，你能幫小明計算出建筑物的高度嗎？（結(jié)果保留根號）35．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度米，坡面的傾斜角，距B點(diǎn)8米處有一建筑物，為了方便行人推自行車過天橋，市政府決定降低坡面的坡度，把傾斜角由減至，即使得新坡面的傾斜角為．若新坡面底端A處與建筑物之間需要留下至少3米寬的人行道，那么該建筑物是否需要拆除？請說明理由．（結(jié)果精確到0．1米；參考數(shù)據(jù)：，）36．（2023·遼寧鐵嶺·?？级＃?shù)學(xué)活動小組欲測量山坡上一棵大樹的高度，如圖，于點(diǎn)E，在A處測得大樹底端C的仰角為，沿水平地面前進(jìn)米到達(dá)B處，測得大樹頂端D的仰角為，測得山坡坡角（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求斜坡的長，水平寬度長度；(2)求這棵大樹的高度（結(jié)果保留根號）．37．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考二模）如圖，某公園里的四條人行步道圍成四邊形，經(jīng)測量，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的北偏西，點(diǎn)A在點(diǎn)B的正西方向，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東，米，米．(1)求點(diǎn)D到的距離；(2)點(diǎn)C處有直飲水，小紅從點(diǎn)A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C，也可以經(jīng)過點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)C，請計算說明她走哪一條路較近．（參考數(shù)據(jù)：）38．（2023·四川成都·校考二模）升降臺可以自主調(diào)節(jié)臺面高度，能滿足不同人群的學(xué)習(xí)和工作需求．某數(shù)學(xué)興趣小組開展自制升降臺的綜合實(shí)踐活動，如圖為該升降臺的截面示意圖，其中，為長度相等的活動支架，兩組支架的中點(diǎn)固定在一起，經(jīng)測量，臺面的最低高度為25cm，此時支架張角，將臺面抬升至最大高度后（點(diǎn)是點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)，與在一條垂直于的直線上），支架張角，求該升降臺抬升后的最大高度的長．（參考數(shù)據(jù)：，，）39．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，為了測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組在河岸南側(cè)選定觀測點(diǎn)C，測得A，B均在C的東偏北方向上，沿正東方向行走60米至觀測點(diǎn)D，測得B在D的西偏北方向上，A在D的西偏北方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離是多少米（精確到個位）？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）40．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）如圖，我邊防雷達(dá)站A處的工作人員測得在北偏東方向的點(diǎn)C處有一艘可疑船只，該船正在以每小時10海里的速度向正東方向航行，點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為海里，此時，我方一艘軍艦在距離點(diǎn)A的正東方向12海里的點(diǎn)B處．(1)求點(diǎn)B到點(diǎn)C之間的距離（結(jié)果保留根號）；(2)當(dāng)發(fā)現(xiàn)可疑船只后，我方軍艦立即沿著與正東方向成夾角的方向前往攔截，軍艦航行的速度為每小時20海里，請通過計算說明我方軍艦?zāi)芊裨诳梢纱坏恼胺降狞c(diǎn)D處成功攔截？（參考數(shù)據(jù)：，，，）41．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度）的山坡，點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上，與在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓的高度，在坡底C處測得樓頂A的仰角為45°，然后沿坡面上行了20米到達(dá)點(diǎn)D處，此時在D處測得樓頂A的仰角為14°．（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0．1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，）(1)求點(diǎn)D到地面的垂直高度的長；(2)求樓的高度．42．（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）如圖，小明在廣場上觀測商場墻上的大屏幕，他用測角儀在A處測得屏幕下端D處的仰角為，然后他正對屏幕方向前進(jìn)了9米到達(dá)B處，又測得幕上端C處的仰角為．已知屏幕的高度為3米，測角儀支架高（點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)）(1)填空：________度，_________米；(2)如果設(shè)米，則可表示為_________米（用含的代數(shù)式表示）﹔(3)求屏幕下端D到地面的高度?（，，結(jié)果保留整數(shù)）43．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）如圖，某建筑物樓頂掛有廣告牌，張偉準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識估測該建筑的高度．由于場地有限，不便測量，所以張偉從點(diǎn)A沿坡度為的斜坡步行30米到達(dá)點(diǎn)P，測得廣告牌底部C點(diǎn)的仰角為，廣告牌頂部B點(diǎn)的仰角為，張偉的身高忽略不計，已知廣告牌米，求建筑物CO的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）44．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）酒駕猛于虎，但很多人不以為是，為了加強(qiáng)人們對酒駕危害