共形映射 分式線形函數(shù)及其映射性質(zhì)

第六章共形映射掌握共形映射的概念；掌握解析函數(shù)的映射的幾個(gè)重要性質(zhì)；掌握分式線性映射的主要性質(zhì)；掌握幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的映射

第一節(jié)共形映射的概念正確理解解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及共形映射的概念；掌握解析函數(shù)的映射的保域性、保伸縮率及旋轉(zhuǎn)角的性質(zhì)；伸縮率與旋轉(zhuǎn)角

可以看出，曲線被伸縮和旋轉(zhuǎn)。如圖，過(guò)點(diǎn)的曲線經(jīng)映射后，變成了過(guò)點(diǎn)的曲線

1.伸縮率

切線

2.旋轉(zhuǎn)角

切線

伸縮率和旋轉(zhuǎn)角定量地刻畫(huà)了曲線經(jīng)映射后的局部變化特征。

導(dǎo)數(shù)的定義

一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線

切線

切線

切線

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

為曲線在點(diǎn)的伸縮率。

為曲線在點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角。

結(jié)論:導(dǎo)數(shù)的幾何意義表現(xiàn)為切線

切線

2.伸縮率不變性

切線

切線

3.旋轉(zhuǎn)角不變性

4.保角性即保持了兩條曲線的交角的大小與方向不變。

切線

切線

二、共形映射的概念三、共形映射的基本問(wèn)題對(duì)于問(wèn)題一，有下面兩個(gè)定理對(duì)于問(wèn)題二，有下面定理掌握分式線性函數(shù)的映射性質(zhì)第二節(jié)分式線性函數(shù)一、分式線性函數(shù)的定義分式線性函數(shù)是指下列形狀的函數(shù)：其中是復(fù)常數(shù)，而且。在時(shí)，我們也稱它為整線性函數(shù)。分式線性函數(shù)的反函數(shù)為它也是分式線性函數(shù)，其中

注：(1)分式線性函數(shù)的定義域可以推廣到擴(kuò)充復(fù)平面。(2)當(dāng)時(shí)，規(guī)定它把映射成；(3)當(dāng)時(shí)，規(guī)定它把映射成二、分式線性函數(shù)的拓廣保形映射的概念可以擴(kuò)充到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)及其鄰域。把及其一個(gè)鄰域保形映射成t=0及其一個(gè)鄰域，那么我們說(shuō)w=f(z)把及其一個(gè)鄰域保形映射成及其一個(gè)鄰域。如果注：分式線性函數(shù)把擴(kuò)充z平面保形映射成擴(kuò)充w平面。如果把及其一個(gè)鄰域保形映射成t=0及其一個(gè)鄰域，那么我們說(shuō)w=f(z)把及其一個(gè)鄰域保形映射成及其一個(gè)鄰域。三、分式線性函數(shù)的分解一般分式線性函數(shù)是由下列四種簡(jiǎn)單函數(shù)疊合而得的：（1）、（為一個(gè)復(fù)數(shù)）；（2）、（為一個(gè)實(shí)數(shù)）；（3）、（r為一個(gè)正數(shù)）；（4）、。事實(shí)上，我們有：（2）、確定一個(gè)旋轉(zhuǎn)；（3）、確定一個(gè)以原點(diǎn)為相似中心的相似映射；（4）、是由映射及關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映射疊合而得。（1）、確定一個(gè)平移；把z及w看作同一個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)，則有：四、映射的性質(zhì)1、保圓性規(guī)定：在擴(kuò)充復(fù)平面上，任一直線看成半徑是無(wú)窮大的圓。定理6.6在擴(kuò)充復(fù)平面上，分式線性函數(shù)把圓映射成圓。證明：由于分式線性函數(shù)所確定的映射是平移、旋轉(zhuǎn)、相似映射及型的函數(shù)所確定的映射復(fù)合而得。但前三個(gè)映射顯然把圓映射成圓，所以只用證明映射也把圓映射為圓即可。在圓的方程中（如果a=0，這表示一條直線），代入則得圓的復(fù)數(shù)表示：其中a,b,c,d是實(shí)常數(shù)，是復(fù)常數(shù)。函數(shù)把圓映射成為即w平面的圓（如果d=0，它表示一條直線，即擴(kuò)充w平面上半徑為無(wú)窮大的圓）。注解：(1)、設(shè)分式線性函數(shù)把擴(kuò)充z平面上的圓C映射成擴(kuò)充w平面上的圓C‘。于是，C及C’把這兩個(gè)擴(kuò)充復(fù)平面分別分成兩個(gè)沒(méi)有公共點(diǎn)的區(qū)域，及，其邊界分別是C及C'。(2)、映射后的區(qū)域的象究竟是還是，必須通過(guò)檢驗(yàn)其中某一個(gè)點(diǎn)的象來(lái)決定。定理6.7對(duì)于擴(kuò)充

z平面上任意三個(gè)不同的點(diǎn)以及擴(kuò)充

w平面上任意三個(gè)不同的點(diǎn)存在唯一的分式線性函數(shù)，把依次分別映射成2、保形性證明：先考慮已給各點(diǎn)都是有限點(diǎn)的情形。設(shè)所求分式線性函數(shù)是那么，由得同理，有：因此，有由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。其次，如果已給各點(diǎn)除外都是有限點(diǎn)。則所求分式線性函數(shù)有下列的形式：那么，由同理有由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。顯然這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。

和分別稱為及的交比。分別記為，注：推論在分式線性函數(shù)所確定的映射下，交比不變。即設(shè)一個(gè)分式線性函數(shù)把擴(kuò)充

z平面上任意不同四點(diǎn)映射成擴(kuò)充

w平面上四點(diǎn)，那么定理6.8擴(kuò)充

z平面上任何圓，可以用一個(gè)分式線性函數(shù)映射成擴(kuò)充

w平面上任何圓。證明：設(shè)C是z平面上的一個(gè)圓，C‘是w平面上的一個(gè)圓，在C和C’上分別取三個(gè)不同的點(diǎn)，由定理6.7，存在一個(gè)分式線性函數(shù)，把映射成，從而把圓C映射成圓C‘。設(shè)已給圓3、保對(duì)稱點(diǎn)性如果兩個(gè)有限點(diǎn)及在過(guò)的同一射線上，并且那么我們說(shuō)它們是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)。注解1、圓C上的點(diǎn)是它本身關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)；2、規(guī)定及是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)；3、利用此定理也可以解釋關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。引理6.1不同兩點(diǎn)及是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)的必要與充分條件是：通過(guò)及的任何圓與圓C正交。證明：如果C是直線（半徑為無(wú)窮大的圓）；或者C是半徑為有限的圓，及之中有一個(gè)是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則結(jié)論顯然。必要性設(shè)及關(guān)于圓C的對(duì)稱，那么通過(guò)及的直線（半徑為無(wú)窮大的圓）顯然和圓C正交。而及都是有限的情形?，F(xiàn)在考慮圓C為作過(guò)z1及z2的任何圓C‘

（半徑為有限）；過(guò)z0作圓C‘的切線，設(shè)其切點(diǎn)是z’，于是從而這說(shuō)明z’∈C

。從而上述C'的切線恰好是圓C的半徑，因此C與C'直交。顯然，z1及z2在這切線的同一側(cè)。又過(guò)z1及z2作一直線L，由于L與C直交，它通過(guò)圓心z0。于是z1及z2在通過(guò)z0的一條射線上。充分性過(guò)z1及z2作一個(gè)圓C‘

（半徑為有限），與C交于一點(diǎn)z’。由于圓C與C‘正交，C’在z‘的切線通過(guò)圓C的心z0。則因此，z1及z2是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)。定理6.9(保圓的對(duì)稱性）如果分式線性函數(shù)把

z平面上圓C映射成

w平面上的圓C‘，那么它把關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)z1及z2映射成關(guān)于圓C‘的對(duì)稱點(diǎn)w1及w2

。證明：過(guò)w1及w2的任何圓是由過(guò)z1及z2的圓映射得來(lái)的。由引理6.1，過(guò)z1及z2的任何圓與圓C直交。從而由分式線性函數(shù)的保形性，過(guò)w1及w2的任何圓與圓C‘直交。再利用引理6.1，w1及w2是關(guān)于圓C'的對(duì)稱點(diǎn)。分式線性函數(shù)把w1及w2映射成關(guān)于圓w|=R的對(duì)稱點(diǎn)0及∞，把擴(kuò)充z平面上的曲線映射為圓w|=R。由定理6.1、定理6.9知，上式表示一個(gè)圓，z1及z2是關(guān)于它對(duì)稱點(diǎn)。例：考慮擴(kuò)充w平面上的一個(gè)圓|w|=R。五、兩個(gè)特殊的分式線性函數(shù)(1)、上半平面Imz>0保形映射成單位圓|w|<1內(nèi)部的分式線性函數(shù)解：該函數(shù)應(yīng)當(dāng)一方面把Imz>0內(nèi)某一點(diǎn)z0

映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。由于線性函數(shù)把關(guān)于實(shí)軸Imz=0的對(duì)稱點(diǎn)映射成為關(guān)于圓|w|=1的對(duì)稱點(diǎn)，所求函數(shù)不僅把z0映射成w=0，而且把映射成w=∞。因此這種函數(shù)的形狀是：其中是一個(gè)復(fù)常數(shù)。其次，如果z是實(shí)數(shù)，那么于是，其中是一個(gè)實(shí)常數(shù)。由于z是實(shí)數(shù)時(shí)，|w|=1，因此它把直線Imz=0映射成圓|w|=1，從而把上半平面Imz>0映射成|w|<1或|w|>1。又因?yàn)楫?dāng)z=z0時(shí)，|w|=0<1，因此該函數(shù)正是所要求的。因此所求的函數(shù)應(yīng)是注解：1、圓盤|w|<1的直徑是由通過(guò)z0

及的圓在上半平面的弧映射成的；2、以w=0為心的圓由以z0及為對(duì)稱點(diǎn)的圓映射成的；3、w=0是由z=z0

映射成的。(2)、把單位圓|z|<1保形映射成單位圓盤|w|<1的分式線性函數(shù)解：首先，這種函數(shù)應(yīng)當(dāng)把|z|<1內(nèi)某一點(diǎn)z0

映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不難看出，與z0關(guān)于圓|z|=1的對(duì)稱點(diǎn)是，和上面一樣，這種函數(shù)還應(yīng)當(dāng)把映射成因此這種函數(shù)的形狀是：其中是一個(gè)復(fù)常數(shù)。其次，如果|z|=1時(shí)，那么于是因此，其中是一個(gè)實(shí)常數(shù)。所求的函數(shù)應(yīng)是由于當(dāng)|