1.3 兩個重要極限 無窮小量與無窮大量

復習：一、極限的四則運算二.極限求法;1.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;2.求函數(shù)極限時，經(jīng)常出現(xiàn)等情況，都不能直接運用極限運算法則，必須對原式進行恒等變換、化簡，然后再求極限．常使用的有以下幾種方法．（1）對于有理分式的型，常因式分解、約分，再求極限（4）對于型，可將分子分母同時除以未知數(shù)的最高次冪，然后再求極限．3.利用左右極限求分段函數(shù)極限.（2）對于無理分式的型，分子、分母有理化，

約分，再求極限.（3）對于型，往往需要先通分，化簡，再求極限.1.3

兩個重要極限無窮小量與無窮大量一、兩個重要極限二、無窮小與無窮大量一、兩個重要極限極限1注意：（2）所求變量中帶有三角函數(shù)；（1）（3）解:

例1

求例2求解：湊例3解:原式湊例4

求解：原式例5求例6求解：原式解：原式例7求解：原式極限2注意：（1）式子中，x可以用其他任何字母或式子代替。（2）底是，指數(shù)是;趨勢是，因此可記為：如：解：原式例9求解：原式例8求練習1求下列極限：例10求解：原式另解二：原式另解一：令，則原式

練習2求極限

（2）（1）例11求解：原式一、兩個重要極限或注:代表相同的表達式小結(jié)（1）牢記兩個重要極限的形式、結(jié)論。（2）方法：能湊則湊，不能湊換元當1、無窮小定義1若時,函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;為時的無窮小量，簡稱無窮小.三、無窮小與無窮大量即說明:①同一個函數(shù)，在不同的趨向下，可能是無窮小，也可能不是無窮??；②無窮小不是一個常量，是在一個變化過程中的變量；③零是唯一可作為無窮小的常數(shù)。如無窮小運算法則（在同一變化過程中）性質(zhì)1.有限個無窮小的和還是無窮小.說明:無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，性質(zhì)2.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.有限個無窮小的乘積是無窮小.解:利用性質(zhì)2可知的水平漸近線.說明:是例12求例13求解2.無窮大量定義2.如果當時,函數(shù)的絕對值無限增大，則稱函數(shù)為當時的無窮大量，簡稱無窮大。記作說明：若成立，則也稱函數(shù)為當時的無窮大。注意:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,函數(shù)當?shù)詴r,不是無窮大!3.若，則直線為曲線y=f(x)

的垂直漸近線3.無窮小與無窮大的關系若為無窮大,則為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.據(jù)此定理,關于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.

在自變量的同一變化過程中,說明:解：例14求例16指出自變量x在怎樣的變化趨勢下，下列函數(shù)為無窮小、無窮大量

（2）解：（1）因為因為，

（1）所以當時，所以當時，

（2）解：（2）因為因為所以當時，所以當時，填空：4.無窮小的比較例如,不存在，不可比.

由上面結(jié)果可看出，當時，同為無窮小,但是趨向于零的“快慢”程度卻有不同.定義例如，例5解常用等價無窮小:證明例7求解定理(等價無窮小代換定理)例8解例9解解：原式例10求小結(jié)：