系統(tǒng)的時域分析 卷積和及其性質(zhì) 沖擊響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性

系統(tǒng)的時域分析

線性時不變系統(tǒng)的描述及特點連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)卷積積分及其性質(zhì)離散時間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

離散時間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

卷積和及其性質(zhì)

沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性1三、卷積法系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)1.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。

數(shù)學(xué)模型:

求解方法：

根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式

再由初始狀態(tài)確定待定系數(shù)。[例]

已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為:y[k]+3y[k-1]+2y[k-2]=f[k]

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx[k]

。解：

系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為解得C1=1，C2=-2系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為[例]

已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為:y[k]+4y[k-1]+4y[k-2]=f[k]

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx[k]

。解：系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為（兩相等實根）解得C1=4,C2=4[例]

已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為:y[k]-0.5y[k-1]+y[k-2]-0.5y[k-3]=f[k]

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=2，y[-2]=-1，y[-3]=8，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx[k]

。解：

系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為解得C1=1，C2=0，C5=5三、卷積法系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]方法：

1)

直接求解初始狀態(tài)為零的差分方程。

2)

卷積法：利用信號分解和線性時不變系統(tǒng)的特性求解。

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的外部激勵f[k]產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yf[k]表示。2.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]的思路1)

將任意信號分解為單位脈沖序列的線性組合2)

求出單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)

——單位脈沖響應(yīng)3)

利用線性時不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意序列f[k]激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]

。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]推導(dǎo)由時不變特性由均勻特性由疊加特性[例]

若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為:

已知激勵,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf

[k]。解：

離散時間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

單位脈沖響應(yīng)h[k]定義

h[k]的求解迭代法等效初始條件法階躍響應(yīng)g[k]的求解一、單位脈沖響應(yīng)h[k]定義

單位脈沖序列

[k]作用于離散時間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng),用符號h[k]表示。對N階LTI離散時間系統(tǒng)，h[k]滿足方程二、h[k]的求解

求解方法:

2)等效初始條件法

將d[k-j]對系統(tǒng)的瞬時作用轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件。

等效初始條件由差分方程和h[-1]=h[-2]==h[-n]=0遞推求出。1)迭代法例1

描述某離散因果LTI系統(tǒng)的差分方程為

求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。解：h[k]滿足方程1)求等效初始條件對于因果系統(tǒng)有h[-1]=h[-2]=0，代入上面方程可推出

注意：選擇初始條件的基本原則是必須將d[k]的作用體現(xiàn)在初始條件中可以選擇h[0]和h[1]或h[-1]和h[0]作為初始條件解：h[k]滿足方程2)求差分方程的齊次解特征方程為特征根為齊次解的表達(dá)式為代入初始條件，有解得C1=-1，C2=2例1

描述某離散因果LTI系統(tǒng)的差分方程為

求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。三、單位階躍響應(yīng)

求解方法:

單位階躍序列u[k]作用在離散時間LTI系統(tǒng)上產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用符號g[k]表示。1)

迭代法2)

經(jīng)典法3)

利用單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系h[k]=g[k]-g[k-1]例2

求例1所述系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g[k]。

例1若描述某離散時間LTI系統(tǒng)的差分方程為

例1

所述系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為解：利用h[k]與g[k]

的關(guān)系，可得h[k]=[-(-1)k+2(-2)k]u[k]

卷積和的計算與性質(zhì)

圖解法計算卷積和列表法計算卷積和卷積和的性質(zhì)

交換律結(jié)合律分配律位移特性差分與求和特性2一、圖解法計算卷積和

卷積和的定義為

計算步驟：1)

將f[k]、h[k]中的自變量由k改為n；2)

把其中一個信號翻轉(zhuǎn)，如將h[n]翻轉(zhuǎn)得h[-n]

；3)

把h[-n]平移k，k是參變量。k>0圖形右移，k<0圖形左移。4)

將f[n]與h[k-n]

相乘；5)

對乘積后的圖形求和。3例1已知f[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0<a<1，計算y[k]=f[k]*h[k]4例1已知f[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0<a<1，計算y[k]=f[k]*h[k]k

<0,f[n]與h[k-n]圖形沒有相遇y[k]=05例1已知f[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0<a<1，計算y[k]=f[k]*h[k]k

0,f[n]與h[k-n]圖形相遇6例1已知f[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0<a<1，計算y[k]=f[k]*h[k]k

0，f[n]與h[k-n]圖形相遇k

<0，f[n]與h[k-n]圖形沒有相遇y[k]=07例2計算

y[k]=RN[k]*RN[k]8例2計算

y[k]=RN[k]*RN[k]k

<0時,RN

[n]與RN

[k-n]圖形沒有相遇y[k]=00

k

N-1時，重合區(qū)間為[0，k]9例2計算

y[k]=RN[k]*RN[k]N-1<k

2N-2時，重合區(qū)間為[k

-(N-1)，N-1]k>2N-2時，RN

[n]與RN

[k-n]圖形不再相遇y[k]=010例2計算

y[k]=RN[k]*RN[k]k

<0時,RN

[n]與RN

[k-n]圖形沒有相遇y[k]=00

k

N-1時，重合區(qū)間為[0，k]N-1<

k

2N-2時，重合區(qū)間為[k

-(N-1)，N-1]k>2N-2時，RN

[n]與RN

[k-n]圖形不再相遇y[k]=011二、列表法計算序列卷積和設(shè)f[k]和h[k]都是因果序列，則有當(dāng)k=0時，當(dāng)k=1時，當(dāng)k=2時，當(dāng)k=3時，以上求解過程可以歸納成列表法。12二、列表法計算序列卷積和

將h[k]的值順序排成一行，將f[k]的值順序排成一列，行與列的交叉點記入相應(yīng)f[k]與h[k]的乘積，對角斜線上各數(shù)值就是

f[n]h[k-n]的值。對角斜線上各數(shù)值的和就是y[k]各項的值。13解:例3計算與的卷積和。14常用序列卷積和序號12345678解:例4

計算與的卷積和。

15三、卷積和的性質(zhì)交換律:f[k]*h[k]=h[k]*f[k]f[k]*{h1[k]*

h2[k]}={f[k]*h1[k]}*

h2[k]f[k]*{h1[k]+h2[k]}=f[k]*h1[k]+f[k]*

h2[k]

結(jié)合律:

分配律:16三、卷積和的性質(zhì)位移特性：f[k]*d[k-n]=f[k-n]推論：若f[k]*h[k]=y[k]，則f[k-n]*h[k-l]=y[k-(n+l)]

差分與求和特性：若f[k]*h[k]=y[k]17解:例5計算與的卷積和。利用位移特性18

沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性

級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

因果系統(tǒng)

穩(wěn)定系統(tǒng)19一、級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)根據(jù)卷積積分的結(jié)合律性質(zhì)，有h(t)20一、級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

結(jié)論:1)級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。2)交換兩個級聯(lián)系統(tǒng)的先后連接次序不影響系統(tǒng)總的沖激響應(yīng)。

兩個離散時間系統(tǒng)的級聯(lián)也有同樣的結(jié)論。21二、并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)應(yīng)用卷積積分的分配律性質(zhì)，有h(t)22二、并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

結(jié)論:并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。

兩個離散時間系統(tǒng)的并聯(lián)也有同樣的結(jié)論。23例1求圖示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，其中h1(t)=e-3t

u(t)，h2(t)=δ(t-1)，h3(t)=u(t)。解：

子系統(tǒng)h1(t)與h2(t)級聯(lián)，h3(t)支路與h1(t)h2(t)級聯(lián)支路并聯(lián)。24例2求圖示系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，其中h1[k]=2ku[k]，

h2[k]=d[k-1]，h3[k]=3ku[k]，h4[k]=u[k]。解：

子系統(tǒng)h2[k]與h3[k]級聯(lián)，h1[k]支路、全通支路與h2[k]h3[k]級聯(lián)支路并聯(lián)，再與h4[k]級聯(lián)。

全通支路滿足

全通離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為單位脈沖序列d[k]25三、因果系統(tǒng)

定義：因果系統(tǒng)是指系統(tǒng)t0時刻的輸出只和t0時刻及以前的輸入信號有關(guān)。LTI系統(tǒng)因果的充分必要條件

因果連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)必須滿足

因果離散時間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)必須滿足26例3判斷M1+M2+1點滑動平均系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)。解：

M1+M2+1點滑動平均系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為即顯然，只有當(dāng)M1=0時，才滿足h[k]=0,k<0

的充要條件。即當(dāng)M1=0時，系統(tǒng)是因果的。27四、穩(wěn)定系統(tǒng)

定義：若系統(tǒng)對任意的有界輸入其輸出也有界，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(BIBO穩(wěn)定)LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

連續(xù)時間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是

離散時間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是28例4判斷M1+M2+1點滑動平均系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：由例3可知，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

由離散時間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可以判斷出該系統(tǒng)穩(wěn)定。對h[k]求和，可得29例5已知一因果LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=eatu(t)，判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：由于

當(dāng)

a<0時，系統(tǒng)穩(wěn)定

當(dāng)a

0時，系統(tǒng)不穩(wěn)定30綜合例題1.

已知某連續(xù)因果LTI系統(tǒng)的微分方程為求:(1)零輸入響應(yīng)yx(t)

(2)

沖激響應(yīng)h(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)

(3)完全響應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、固有響應(yīng)、強迫響應(yīng)(4)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：(1)系統(tǒng)的特征方程為s2+7s+12=0

特征根為s1=-3,s2=-4（兩不等實根）

零輸入響應(yīng)為代入初始狀態(tài)y(0-),y'(0-)===1

===2解得A=6

B=-5系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 31綜合例題1.

已知某連續(xù)因果LTI系統(tǒng)的微分方程為求:(1)零輸入響應(yīng)yx(t)

(2)

沖激響應(yīng)h(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)

(3)完全響應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、固有響應(yīng)、強迫響應(yīng)(4)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：(2)利用沖激平衡法可求出C=1D=-1系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

32綜合例題1.

已知某連續(xù)因果LTI系統(tǒng)的微分方程為求:(1)零輸入響應(yīng)yx(t)

(2)

沖激響應(yīng)h(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)

(3)完全響應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、固有響應(yīng)、強迫響應(yīng)(4)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：(3)系統(tǒng)的固有響應(yīng)為強迫響應(yīng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng)為33綜合例題1.

已知某連續(xù)因果LTI系統(tǒng)的微分方程為求:(1)零輸入響應(yīng)yx(t)

(2)

沖激響應(yīng)h(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)

(3)完全響應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、固有響應(yīng)、強迫響應(yīng)(4)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：(4)該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)34綜合例題2.

已知某離散因果LTI系統(tǒng)的差分方程為求:(1)零輸入響應(yīng)yx[k]

(2)單位脈沖響應(yīng)h[k]、零狀態(tài)響應(yīng)

yf[k]

(3)完全響應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、固有響應(yīng)、強迫響應(yīng)(4)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：(1)系統(tǒng)的特征方程為r2–3r+2=0

特征根為r1=1,r2=2零輸入響應(yīng)為代入初始狀態(tài)y[-1],y[-2]=3

解得A=-1B=8系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 =1

35綜合例題2.

已知某離散因果LTI系統(tǒng)的差分方程為求:(1)零輸入響應(yīng)yx[k]

(2)單位脈沖響應(yīng)h[k]、零狀態(tài)響應(yīng)

yf