考研數(shù)學(xué)一重積分

考研數(shù)學(xué)一重積分

1[單際選擇題】設(shè)D為由直線”+，=1與兩坐標(biāo)軸所圍的區(qū)域9

ITIT1w(T

IIIn(J+y)['<Lrd.v?/.(x+y)d./<1%./、in(/十.v)d.rd.v.

?、**?**

DDD

則().

A.L-

B.LWhWL

C.I3WI2WL

D.I3WLWI2

正確答案：B

參考解析：D如圖6—1所示，在D上有

故B正確.

2.【單項(xiàng)選擇題】

Mt

設(shè)D為由y=>-4和)=0所圍區(qū)域口(虹+山業(yè)力.財(cái)(

出

A.1=0

B.1>0

C.K0

D.I的正負(fù)與k有關(guān)

正確答案：C

參考解析：

D關(guān)于y軸時(shí)稱?虹關(guān)于/為寄函數(shù)?故人Ldy-O.又在D內(nèi).yVO?故1<0；

設(shè)Dix:&1.則/(1.y)clrdv=().

3.【單項(xiàng)選擇題】

AJ/(FlIX?r

BId"l/(rcostf?rsintf)rdr

|dUf'八。、九八ih"，f<lr

C.?

r9■

jjf1，o"?r、【h

正確答案：c..

參考解析：'.，化為方科，一、1?■--',-?

；【單項(xiàng)選擇題】

格二重枳分I匚此|/(rcosb.rsin8)rdr化為『［角坐你系卜的二次積分?則

().

cr*

A;IT.vd.

BJ1"J"i?J)d)

D.

正確答案：c

由rh2、in8.傅r:—2r、inG,即

參考解析：''-'''

積分區(qū)域D如圖所示，所以C正確.

5.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)V：x2+y2+z2^R2,z20,%是V位于第一卦限的部分，則

|||,rdV=4||xdV

B.

IIvdV-4||ydV

C.

MMMM

l||xvjdVr■4l||xytdV5

D.

正確答案：A

參考解析：積分區(qū)域V關(guān)于yOz面和xOz面對(duì)稱，z=zx°y°關(guān)于x與y為偶函

數(shù)，故A正確.

6.【單項(xiàng)選擇題】

nr廠&十n*IT

l\■|cosvX(Lrdy?/.=!cos(r+，)cLrdy./1-ICOM(-T:十y')'didy?其

Mt???、

中D：x2+y2^b則().

A.L>I2>I3

B.L<I2<I3

C.I2>I,>I3

D.LX"

正確答案：B

參考解析：______

住D：Ov/+y&i上有左>i>/x1+y2/+y》(工'+>：)’》o4

W|

且cosJ在0?，J上為通調(diào)M少函數(shù)?故。&cos/，&cos(x2+y:)ron(>+y)：.

所以IvlVL.B正,

lunS￡——/-----------------()1

7.【單項(xiàng)選擇題】'1?'

農(nóng)iC

C.

D.JIln2

正確答案：A

參考解析：利用二重積分的定義，有

lim—5252/()=I"I/(x.v)dv.

喊微瞅=lim4

■.，丁

n(9

djr

-------?arctanycLr

I。I-r-TJ1-rX

ln(1+x)--In2.

*co*9

【單項(xiàng)選擇題】積分1d。/(rcosG.rsin0)rdr=(

8.04

A./(?r.y)d.r

dy/(jr.y)<Lr

B.JaJ

dy|/(

c.)I

fVL?

D.dr/(i.y)d_y

正確答案：D

參考解析：此題是極坐標(biāo)下的二次積分化為直角坐標(biāo)下的二次積分，關(guān)鍵是正

確畫圖，如圖所示.

由0464]?知OWz&l.

r=cos0=>r2—rcos0=>JC2+y2=/?

即y=,故

n「G

/=dif(x.yydy.

9.【單項(xiàng)選擇題】

累次積分di/(z,_y)dy+dyf(J-.)d.r可寫成

2J】J。

d.r/(z,1y)dy

?a0?J

?2C2-y

dy/(N，3)dr.

D..,

k*1

du*/(?r，3)dy

C.Jo

ri

dy

D.、.

正確答案：C

參考解析：原積分域?yàn)橹本€丫=乂，x+y=2,與y軸圍成的三角形區(qū)域，故應(yīng)選

(0.

10.1單項(xiàng)選擇題】設(shè)積分區(qū)域D={(z,y)|0WxWl,OWyWl),則二重積分

___r=

?y(i+x2+y)7

A.

B.3.

▼

c.4.

D.6.

正確答案：D

參考解析：

在二重積分I中積分區(qū)域D被直線》=z分割成關(guān)于

y=l對(duì)稱的兩個(gè)部分區(qū)域。={(73)|&l.O&y《工},

D2={(],?)I={(z,y)I0&y41,04

工《)，}(如圖所示),被積函數(shù)八].y)關(guān)于變量工~對(duì)稱,即f(x.y)=

f(y,z)?從而

『_____________=『_____________

￡(1+/+/戶￡(1+/2+/2

故

&_

J2dff

=HD（i+/+y）TQ?（1+V+川

設(shè)i=rco4,y=rsin人在極坐標(biāo)系(r,8)中a可表示成

所以

『由仔3

Jo(?

=T：卷[由=2。]—^^"

TTof~d（sin6）n0.sin0

2J。72-sin2^2戊

11.【單項(xiàng)選擇題】

設(shè)區(qū)域D由>r=0,jy=0,i+<y=[,1r+y=l圍成,若

L=]|[ln（z+））了（1工力J=]|（z+y）'心力J="sin'（1+y）didy,則（）.

DDD

A.1,>12>13

B.12>13>1,

C.1,<12<1：）

D.I2<I3<Ii

正確答案：B

參考解析：

由J4工+'41得[ln（.r+y）：40,于是/1=||[In（工+y）]'clrdy40;

D

當(dāng)時(shí)，由sin"(jr+_y)20得122[320,

故h》八》八，應(yīng)選(B).

12.【單項(xiàng)選擇題】

設(shè)曲面E是]=12+4界于z=0與z=4之間的部分，則『，)dS等干()

vJ1+412+4丁

A.2ne"

B.n(e-1)

C.2n(e'-l)

D.ne1

正確答案：B______________

參考解析：dS=+4]2+4y2d?rd.y,則

edS=口e「r"dzdv=ddre"dr=〃(e'-1),選(B).

b+422+4丁丹*JoJo

13.1單項(xiàng)選擇題】

M*

設(shè)/(工)是連續(xù)的正值函數(shù)J=f(T)dx-/(i)/(y)(Lrdy,D=((i,y)IO&y《l,O《

JoJJ

n&y}?則/=().

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：C

參考解析：如圖所示，由輪換對(duì)理性，有“

JJ/CxJ/CjJdrdj=jJ/(jr)/(y)drdj,

?:::

故

[=}]Jf(x)f(y)dxdy

IH-D,

1riri

=f八工)"f(y)dy.

4J0J0

即21=八.整理得1(2-n=0?解得/=2或0.

又/(JF)>QJ=f(/)dr>0,故I=2.

0\

14.【填空題】

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

11

參考解析：；；

【解析】

由于丁』的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達(dá)，故交換積分順序才能計(jì)算.

原積分區(qū)域D如圖6—5所示，

VA

12分?也分1

15.【填空題】

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

1—cos1

參考解析：

【解析】

如圖6-7”示?彳換枳分糧序?得

/=dy|siny'ctr

vMtnv:dv口—sinv'di

圖67

16.【填空題】

設(shè)/Q)在[0J]上連續(xù),且，，([)業(yè)?4?剜IIdx[7<j)/(y)d?

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案；

A'

參考解析：「

【解析】

令F(i)=j/(j)dy.tt1!F'(jr)——/(i).故

J4

I=JcLr|f(JT)/(>)dy=|/(x)dJ|/(>)dy

jF(x)d[F(x)]——yPtx)i..?

16.【填空題】

設(shè)/G)在[OJ]上連續(xù)?且，/(」)(Lr,八,則/d47(i)/(y)cb

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

A?

參考解析：一

【解析】

令F(?r)=/4)dy.則F"(jr)=—/(1).故

J￡

/=cLr|/(x)/(y)dy~|/(jr)cLr/(y)dy

v"w99VJ-

——jF(x)d[F(jr)]——4F’《工》[■

17.【填空題】

：tt

設(shè)D;—1《工￡0.1—>/\—JT!￡y4-i?則/—||——-

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了’'

正確答案：

參考解析：J].

=arcsin—此

JV2Io

=J；(L/de=專

18.[填空題]

設(shè)D：2i4>+｝；?0&y&z&2.則I—[j；=

TiJ1"+_y*

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：21n(1+&)-J，

【解析】

D如圖6-11所示?采用極坐標(biāo)./+/=21的極坐標(biāo)方事為=2cos。,工=2的

極坐標(biāo)方程為「=2sec￡.y=工的極坐標(biāo)方程為6=；，故

rITdxdv戶i/21j

2

?%\ZrJoJZMr

,21(sec0-cos6)AQ

sec0+tan0sin0)

+于)dLrdy=

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

13n

參考解析：仃「

【解析】

D關(guān)于直線yI對(duì)稱.由輪換對(duì)稱性.有

r.

49)didy

2H仔+$+9+1)"人

1+JII(x:4-y2)drdy

~2(Tl

7佶+小碘/搭

20.【填空題】

設(shè)區(qū)域D由>=2所圉.則/

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

*

參考解析：1

【解析】

如圖6—12所示，設(shè)

K612

DK=((x>>)-24140?04,=2?

Df.=(1)—v2,y-y2&jrW二0?

則/=Ivdrdy-11yckrdy—[ycLrdy

??????

F/為

p>n/*Wpa*w?

?<Lrydy-*Id0|r2sintfdr

J—￡JQJ▼J0

lc

-8?3sz1sz4<

34222,***

V：r■v,r-2v2J.W]1I(?v';)dV

21.【填空題】

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：0

【解析】

V是以(-1.1.0)為球心、女為半徑的球體.若視其密度為常數(shù),則質(zhì)心(形心)坐

標(biāo)為(-1.1.0),則

jjfxdVjj.vdV亞dV

r=.V=1,z=1___

FFF

而|[dV為球的體積]、信，故

V

IPdV=-1-尬RX(-1)=-

Vuu

口”

dVz-X1=?

VV

ftT

FIV=>/2nX0=0t

rrrv，

于是/=||l(x+>+Z><IV-oJ

22.【填空題】球體x2+y2+z2=R2(R>0)被圓柱面x?+y2=Rx所截得含在圓柱面內(nèi)的

立體的體積為.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：1(23-

【解析】

xOy坐標(biāo)面上方部分立體如圖6—14所示，則

T

S614

VVVFr-y'ctrdN=4|dtfjJR一1?rAr

tiuJQJ?

-(1-

23.【填空題】設(shè)平面薄片(密度p=l)由丫之二(與直線y=x所圍，則D對(duì)x軸和

y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I*，卜.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

1I

參考解析：：：.」'

［解析］

對(duì)Z軸與y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為L(zhǎng)=］；業(yè)心與山山?故

飛0

;

L=|［vdjrd^=￡dx4ydy=J-jy|j.dx==，

/,=%d/dy=fcLr|@

JJJoJxT00

24.【填空題】

設(shè)、c/(x)=N.D：-co<x<+co,8vyV+°°?則/=

0,其他，

A

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

]

參考解析：f

【解析】

由已知，有

八y,io.其他.

故Di=(《l?y>I-y4，41—?0&yVI)?

如圖6-37所示.

在Di_t/(y)=y.f(x+y)=*+y?在口以外部分

/(y)=0或f(x+y)=0?故

(T■IT

I-I?r+y)cLrdy-y(x+y)<Lrdv

F

,ip-fp1?ifpi

dy|y(*+y)<Lr=|y?丁(1+y)'dy=|—_yd>—

25.【填空題】

設(shè)0=1(x.v):—djdv=

I14Z4ZJ1'xy

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：(ln2)2

【解析】

利用極坐標(biāo)求解.如圖6—38所示，D關(guān)于y=x對(duì)稱，且

n1一，】一?-—】?〃

f1..

r——Min0.

故由7解得夕=arctan5■?故

r=-cos8.

4

Jsin&co,01

26.【填空題】1心~

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：I"COSH'

【解析】

交換積分順序，得

vsin(1-x尸dy=^-sin(1—x)

J04

jfl

yI<1~x)sin(1—=——Isin(l一1)Td[(l-

M<04J?

-j-(1—cos1)?

*...

27.【填空題】

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：JI

【解析】

積分屋域如圖6—39,所示，交換極坐標(biāo)順序，則

/=|dr|gd0=|e"?dr=[e"?-[/dr

二二￥e，dt=TIote，dt

28.【填空題】

交換積分順序?.「此r”‘f(rcos8.「§in^)rdr(a>0)為

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案:

(rcosd.rsin0)rdd.

參考解析：

【解析】

極坐標(biāo)下交換積分順序可視。為x軸，r為y軸，用直角坐標(biāo)處理(包括畫圖和

確定積分限).

依題意，已知積分區(qū)域如圖6—40所示.

40

當(dāng)0&G&V時(shí)?，=丁）的反函數(shù)為

4

1廠

8=—arcsin—$

Za

當(dāng)牛V。4與時(shí)《=寶的反函數(shù)為

44

q_兀1

u=---r-arcsin-7■

乙乙

「W-T^rrwn-r

故［時(shí)；，「f(rcos8?廠sin0)rdO.

JOJva/TAinT

設(shè)D：尹方&1，則/=吩業(yè)力

29.【填空題】

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

Hub

參考解析：：?

【解析】

由于D為橢圓形區(qū)域，故用廣義極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.

令:=arcos0,y?Arsin仇喇Dt—十;：-4l.變?yōu)镈'&ra1.04?42x.其變換

雅可比行列式為

J*ijr?

?=d（jr.y）JrMaco$0-ar^in*_,

?（，■6）入打bsin86rco?9'r*

IJr2。

（TITrup

故b「djrdy=|（Arnin0）JdrM=|曲|6^r*sin:^?abrdr=-—.

30.[填空題】‘7=]“‘h，】一、》--dy----------J

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

1

參考解析：4e

【解析】

直接積分比較困難，交換積分順序，積分區(qū)域如圖6—42所示，先對(duì)x積分,

得

MM

/=]||(1_y)e-L>：dV

=yj<1''dj

31.【填空題】

設(shè)V由曲面m="+/與t/I—/一,所。,則/=1(<r+w)dV-

V

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

7T

參考解析：8

【解析】

V由下半圓錐與上半球面所圍，如圖所示，V關(guān)于yOz面對(duì)稱，且被積函數(shù)x是

意函數(shù)，故

RrdV=O.則

?ftTIT

/=1|(E+z)dV=0+

*T

ri.

d(prcosq?rsin(pdr=—.

rJnn

32.【填空題】計(jì)算用1打=--------.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

2—三

參考解析：2

【解析】

本題在直角坐標(biāo)下不易計(jì)算，利用極坐標(biāo)計(jì)算.

flr/l-JT1__1_f-Tfl

dx,與打=dG,(cos8+sin夕)dr

J。Ji/+3Jo

="(cos6+sin6)d8—[=2—

J0N/

33.【填空題】

設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且\+9口/(j-.j)di74-y.

r+?2ci則

f(x,y)=?

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：73+1+?

【解析】

因/(工~)連續(xù).從而義工.》)在區(qū)域/十丁41上可積?設(shè)

/(jr,y)da=A

則/Cr,y)=-兩邊在。上積分得

A=j[：J，?+-da+

■r'+jvi?+?<i

4fixflf2?fl

=-d。r2dr4-d。r3sin20dr

KJoJoJoJo

2,ff_fio_

=-A+4sin汨dgr3dr=—A+—

jJoJo34

=>A=-j-n.故/(工,))=~+y+爐.

1M：(土』)業(yè)

34.【填空題】

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：T"—1)

【解析】

ri

而-x-dv=

0

所以原式=y(e-l).

35.【填空題】L甸J-xdy=------

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：2~

【解析】

坐=（#一工）m

【填空題】jo^^jo（2z-'

36.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

_L-1

參考解析：Ts,nT

【解析】

先二后一法.如圖所示，記所圍區(qū)域?yàn)?/p>

37.【填空題】

設(shè)E是球面/+/+z2=1外側(cè)在第一卦限的部分?則『/drdy=.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了：

正確答案：

7T

參考解析：8

【解析】

W為/+：/+-=1,因此必=1一/一:/忑在工。丁平面上投影域以,為

一+，＜1》o，y》0.

所以|1(Lrd.y=||(1—f—y?)<Lrdy=dO(1—r2)rdr—7T

v?/3J。J08

38.【解答題】計(jì)算下列二重積分：

(I)、，

設(shè)D由j'一丁=0.x+y=0及1=1所圍，求/=1］工》(工一y)d.rdy;

?■?

(II)."

設(shè)D由y=G、3=z所圍.求/=。'"Udidy；

n」

(III)

設(shè)D由_v—尸(j20>.y=I..r=0所QB?求/=IT-/*,drdyi

￡+y

(IV)

設(shè)D：—14工&siny,yW與?求I—x(ex：，ro>Jrsiny—l)(Lrd^?

乙JL

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：(1W如圖6—17所示，先對(duì)y積分較簡(jiǎn)便.

y4

工I<Lr(x-y)dy

(ID

D如圖6T8所示?若先對(duì)y枳分?則/不力不能&示

為初等函數(shù)，故只能先對(duì)x積分.

y)conv5inI-1生inL

n6-18

(III)

D如圖6-19所示.先對(duì)r枳分.則

■e|-2"<1vIxcLr

J。V1+yl'?

EE6-19

(IV)D如圖6—20所示,作輔助線y二-arcsinx(-1WxWO),將D劃分為D1與

D2,則

I]=l|xer,''sinvd.rd^y

D

=||xeJ:ot,sinvdjdj+111e，"'sinyd/dj

Dib.

由o,關(guān)于y軸對(duì)稱1寸“,siny關(guān)于工是奇函數(shù).故

I]xe'g—sinyckrd》=0.

??

rt*.

同理?11.re'-'sinyclrdy=0?故L=0.

I：=I|.rdj-dv=11.rdrdjy4||Wy,

*Ab*

P

根據(jù)對(duì)你性?『jdxdy

0.又

<■*

■o

V-/T

設(shè)M+y：￡9.計(jì)算+y-Id」d.v.

DI「I，4

39.【解答題】

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：用x?+y2=4將D劃分為口與D2,如圖6—23所示，則

/=『./+1/—4Idxdv

=-JJ'z‘+y"-4)djrdy+口《工’4-j*—4)ctrd1y

Dt

=一『(J+y：-4)djdj+11(x*+-4)d.rd)

????

DtA%

TfT

=11(/+y?-4)dxdv—21|(犬+爐—4)JLrdy

40.曲著盲】

段［，：14*'+G2”?>20?計(jì)算/=|J-------j----2_.-<Lrdvj

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析："如留'：解例如點(diǎn)八佶岑）.

/=I]-----------------工y-----d>rdv

電(1+/+y?)1e+口

X

sin8

?rdr

11+r

1rfr2E，-|

——sin0ln(1+/)dd

2J0L1J

=5f「ln(1+4cos0—In2]sin0d6

ZJ0

u■cos81fli._一.

—[[ln(1+4/)-In2」d〃

.-1-pn-1'+-arctan2一手).

41「【解答題】

設(shè)504W2.計(jì)算/=「口+j+)]&rdy.其中口+工+4表示不

超過1+x+y的最大整數(shù).

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：如圖6—25所示，直線x+y=i(i=l,2,3,4)將D分為4個(gè)區(qū)域

Dk(k=l,2,3,4),則[l+x+y]=k(k=l,2,3,4),故

I=||」+”+y」cLrdy

AM

Ii口/.-..111;,:中I)

42.【解答題】

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：由符號(hào)函數(shù)的定義，知

sgn什:0.V+2-0.

-1?爐+2Vo.

故1-2=0.即a曲鳴一三-1將D劃分為三十

區(qū)域，?，?D,.如圖6-27所示.

故21-4~pdy

▼7???

-ln（.r+，2+工：）

S627

43.【解答題】

設(shè)八3"<爐+爐產(chǎn)】?43?會(huì)一4'由I=3"=1~=

0.“A他.

y=3所圖,計(jì)算/=n/Cx.>Jdj-dJ

?、

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析:將D分成D=D|+D2+D3,如圖6—28所示,則

明俞28

43.【解答題】,

f1y八百//

設(shè)/（1■，）?<（X+y?尸3D由工

0.j■他.

￥=3所困.計(jì)算1?

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：將D分成D=DI+DZ+D3,如圖6—28所示，貝!|

I=1.r?^r）d.rd^

jj

?|Tft...ITLdy1f|Tn..

=Qtkrdy+I；■t工+IOctrdy

-??

JJL碼”

=I此|2（1了

J，JM<?T

■ri*>r4

（）

=TUTI?con-0d0O=la—I1+COR28M

【解答題】

(I)(x2+y2)2=2(x2-y2)；

(II)(x2+y2)2=2xy.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：(I)

雙紐線(x2+y2)2=2(x2-y2)如圖6-29所示，由于D關(guān)于x軸對(duì)稱，xy關(guān)于y是奇

函數(shù)，，故

/—Il.ryd.rdv—0.

(II)雙紐線(x?+y2)2=2xy如圖6—30所示，由于D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,而xy=(-x)(-

y),故

I=l|°drd.v2xvdrdytD是D在第一象限的部分)

=2必r5cosddr

ffi129BE6-30

45.【解答題】

設(shè)V季由曲面之=-V與：+1=46-，所由的區(qū)域,計(jì)算

I-|]pdV.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：用柱面坐標(biāo).積分區(qū)域V如圖6二32所示,

04642穴.04廠&1,r-&-r2■

46.【解答題】計(jì)算積分

I,drIc11(sin*j+cos*y)dy+du*|''(sin'x+u

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：積分區(qū)域D如圖6-46所示，顯然D關(guān)于直線—y對(duì)稱,則

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：型，利用洛必達(dá)法則，需交換積分順序，二次積分表示的積分區(qū)

域如圖6—47所示.

48.【解答題】

If|*x1-]ctrdy.CW0,

設(shè)Lr-V」求函數(shù)F"）的表達(dá)式.

IQ,——0

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：積分區(qū)域D如圖6-49所示，用極坐標(biāo).當(dāng)tWO時(shí),

F4

ffi<149_.

1x1—十.[<￡rdy

.￡LJT1+曠y'」

ftprFir)1

此rcos01------；—?rdr

J。J。L尸」

=|*cos(MO|/1一>"?dr

LL」

=sin8?|r1-F(r)]dr

二|r:dr—IF(r)dr=—fF(r)dr?

F(l)0—f1—JF(r)dr.①

①式詞邊同M對(duì)/求史得F'(D="-F(D,即F'")+F(，)=八該式為一階線性微

分方程,解得F(r)=+C.=d-2t+2+Ce-.

由已知F(0)=0.得C=-2,故F(t)=r-2t+2-2e'.

49.【解答題】設(shè)f(t)在(-g,+8)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

2

/(/)=21|(J-2+y)/(JF-寸)d-rdy+〃./)：/?y&t.

求f(t).

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：由已知，f(0)=0,f(t)是偶函數(shù)，只需討論t>0的情況.用極坐

標(biāo)，有

/(I)=2|此|r1/(r)dr+/*?4<|r'/(r)dr+r.

上式的邊同時(shí)對(duì)I求導(dǎo)?將/(/)=4"/")+”?且=0,制此一階線性微分方程帚

/(r)=--(c"—I)./0.

t

而/</)是偶函數(shù)?故在(-x>?+8)內(nèi)有/")=—(ew，-1).

50.【解答題】設(shè)f(x,y)在區(qū)域：0〈x〈l,OWyWl上連續(xù)，f(0,0)=0,且

dtf(t?u)du

[1?lim；■4

f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

奉考解析：交換積分順序，如圖6—50所示,

圖65。

Idr|Jdu|f(t,u)dt.

由枳分中(ft定理?I/(r.x)dz-/(8J0/<04ST?：)?

故原式=Hm

ih〃J,V)/V占《o?o)外可曲.■南“I激的定義.右______

/&工)=/(0,0)4-7,(0.0)e-|-/?(0.0)x+o(/?+.).

又J(°O§<=|/；(0,0)J-|,

XXI

則limA"??=0.lim“心+。=lim3=0.

工i*z一.J

51.【解答題】

Ixj'(x)djr

設(shè)/U)是連續(xù)正值雨畋?旦單謝減少.證明-------

Ix/(x)<￡r

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：所證不等式變形為

/=xf'(j-)(Lr/(z)djr—|jr/(?r)d/1f1(j,)dx40.

由定積分的值與積分上*的字母無(wú)關(guān),故

*中141.0Wy41為正方脛.

由/(/)單網(wǎng)減少.向〔/(1)—/(丫)：與(，-丫)異號(hào).而/(/)>0./(v)>0?根據(jù)二*

枳分的性服?知/40?即所證6等式或工

52.【解答題】

設(shè)D為由擺線''[''n''(0a，42n)及1軸所圉的平面區(qū)域.求D的質(zhì)心坐標(biāo).

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：積分區(qū)域D如圖6—52所示，設(shè)其密度為常數(shù)P,考慮D的對(duì)稱

性，質(zhì)心在x=n上，只需求

JMBMt

?■pcLrdV-一dxciv

而面積

cLrdy—y(x)ctr-|(1cos/)?(1con/)df=3*?

JR—x*—?求/=?(3x2+5y:+7/)dV.

53.【解答題】

請(qǐng)查看答藁解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：考慮到被積函數(shù)3x?+5y2+7z2關(guān)于z是偶函數(shù)，對(duì)V補(bǔ)上下半球體

得修：x2+y2+zMR2(如圖6—53),則VI關(guān)于直線x=y=z對(duì)稱,故

54.【解暑儲(chǔ):

22

設(shè)F(，)=|||[24-/(x+y)]dV,/(u)連續(xù).其中憶0424/|,^+》2《汽

(I)

求工

案小'

(II)

求lim4-F(f).

請(qǐng)番著答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

參考解析：(I)依題意，這是含參數(shù)t的三重積分，積分區(qū)域V是由圓柱面

x2+y2=t2,平面z=0,z=h所圍，采用柱面坐標(biāo)，則V：0W0W2n,OWrW

111,OWzWh.

+j2)JdVrdr[/+/(r2)

.+"3)rdr--j-A3/2+2nhj/(r2)rdr

=2n

=卷h'『+nhf/(w)du.

3