高中數(shù)學《第四章 數(shù)列》章節(jié)復習、單元檢測試卷易錯題

高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》章節(jié)復習

一.知識系統(tǒng)整合

1.知識網(wǎng)絡

_數(shù)列與函

數(shù)的關(guān)系-I表示方法卜

數(shù)列的

與工的關(guān)系|

有關(guān)概念-4

「1項數(shù)1—

T分類1-

U帆楸1-

-1定義1-

「

數(shù)一數(shù)

列T等壟數(shù)列11通項公式卜列

T前〃項和公式的

1---應

用

-1性質(zhì)1—_

T定義卜-

h等比數(shù)列卜T通項公式1

-1前〃項和公式1—

-|1?|------

2.知識梳理

等差數(shù)列等比數(shù)列

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與如果一個數(shù)列從第2項起，每一項

它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那與它的前一項的比等于同一常數(shù)，

定義么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個

數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用

常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通

字母d表示.

常用字母Q表示(q#0).

S±L=q

遞推公式3n+l-3-n=d

an

由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可

如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G

以看成最簡單的等差數(shù)列.這時A叫做

中項叫做a與b的等比中項，且G=±

a與b的等差中項，并且4ab

2

n-I

通項公式an=ai+(n—l)dan=aiq

$_〃(4+a)

前n項和公2q#］時，3^2=

式_,n(n+l)1-4

=nai+-----------d

2

—~~,q=l時，Sn=nai

i-q

心，的%—^n-n

an—a?=(m—n)d-----q

關(guān)系%

m,n,sf

tGN*,da￡Ui=aa

m+n=s+t

{kJ是等差數(shù)

性質(zhì){4“}是等差數(shù)列{4」是等比數(shù)列

歹！1,且

=

S2k-i(2k—2k-\

n=2k-l,a?....a續(xù)T=ak

1),Ok

ki,k2>k3(ki,

akf,ak2,akj成

a,%,。八成等比數(shù)列

k3,匕￡M)成等ki

等差數(shù)列

差數(shù)列

a?+i—a”是同一常也是同一常數(shù)

利用定義

數(shù)an

2

利用中項3n+3n+2=2dn+1&an+2=

a?=pn+q,其中

利用通項公式an=abn(a^O,bWO)

判斷方法P、q為常數(shù)

2n

利用前n項和公Sn=an+bn(a,S?=A(q-l),其中AHO,qKO且

式b為常數(shù))qrl或Sn=np(p為非零常數(shù))

二.規(guī)律方法收藏

(1)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式時，分別用到了累加法和累乘法；

(2)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和時，分別用到了倒序相加和錯位相減.

(3)等差數(shù)列和等比數(shù)列各自都涉及5個量，已知其中任意三個求其余兩個，用到了方程思

想.

(4)在研究等差數(shù)列和等比數(shù)列單調(diào)性，等差數(shù)列前n項和最值問題時，都用到了函數(shù)思

想.

(5)等差數(shù)列和等比數(shù)列在很多地方是相似的，發(fā)現(xiàn)和記憶相關(guān)結(jié)論時用到了類比.

三.學科思想培優(yōu)

一、數(shù)學抽象

數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).主要表現(xiàn)

為：獲得數(shù)學概念和規(guī)則，提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法和思想，認識數(shù)學結(jié)構(gòu)與

體系.在本章中，主要表現(xiàn)在構(gòu)造新數(shù)列，及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)中.

【典例1】“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏署相連，秋處露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，

這首二十四節(jié)氣歌，記錄了中國古代勞動人民在田間耕作長期經(jīng)驗的積累和智慧.“二十四

節(jié)氣”已經(jīng)被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄,我國古代天文學和數(shù)

學著作《周牌算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的卷長損益相同（■是按照日

影測定時刻的儀器，唇長即為所測量影子的長度）二十四節(jié)氣及辱長變化如圖所示，相鄰兩

個節(jié)氣唇長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的號長為一丈三尺五寸，夏至的

展長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則唇長為七尺五寸時，對應的節(jié)氣為

（）

A.春分、秋分B.雨水、處暑C.立春、立秋D.立冬、立夏

【答案】A

【解析】設從夏至開始到冬至，各節(jié)氣的辱長分別為%,生，。3,…，

則夏至時暮長為《=15（寸）,冬至時暮長為=135（寸）,

因為每個節(jié)氣號長損益相同，則｛4｝為等差數(shù)列，設公差為d,

所以《3=4+12d=15+12d=135,

解得d=10,

所以4=15+(〃-l)xl0=10〃+5,

由4t=75,得〃=7,

即唇長七尺五寸對應的節(jié)氣為從夏至開始的第七個節(jié)氣，即秋分;

設從冬至開始到夏至，每個節(jié)氣的孱長為外，

則2=135+（〃-1）（一10）=-10〃+145,

由么二75,得〃=7,

即暮長七尺五寸對應的節(jié)氣是從冬至開始的第七個節(jié)氣，即春分.

所以唇長為七尺五寸時，對應的節(jié)氣為春分和秋分.故選：A.

【典例2】1975年，考古工作者在湖南省云夢縣睡虎地秦墓出土了大量記載秦法律令的竹

簡，其中包括徭律一條.徭律是秦代關(guān)于徭役的法律，其中規(guī)定：服徭戍遲到處以申斥和

寬罰.失期二日到五日,停：六日到旬，黃一盾：過旬,資一甲.意思、是:退到2天以內(nèi)

算正常，不處罰；遲到3?5天，口頭批評；遲到6~10日，罰一面盾牌；遲到10天以

上，罰一副甲胄.若有一隊服徭役的農(nóng)民從甲地出發(fā)前往乙地，甲、乙兩地相距900里，

第一天行60里，以后每天都比前一天少行2里，要求18天內(nèi)到達，則該隊服徭役的農(nóng)民

最可能受到的懲罰是（）.

A.無懲罰B.律C.贊一盾D.寬一甲

【答案】C

【解析】由題意知，每日行走的路程成等差數(shù)列，記為｛%｝，

因為首項為60,公差為-2,所以q=-2〃+62.

設從甲地到乙地用左天，則‘02—6%1=900,

2

即22—612+900=0,解得女=25或攵=36（舍），

即從甲地出發(fā)前往乙地所用的時間為25天，

因為要求18天到達，所以遲到了7天，

又因為遲到6?10日，罰一面盾牌，故應費一盾.故選：C.

［典例3］已知數(shù)列｛4｝滿足冊+，〃金N’.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設或二啦壬數(shù)列也｝的前n項和S”，求證：Sn<\.

a”

4

【答案】（1）^=Vn-Vn+T（/iGN）;（2）證明見解析.

（解析】（1）由y/nan+i=>Jn+2an,得"""=’〃工」,

an八

.4〃_>/3>/4>/5\fnJ.+1\[n,J.+1

??qa2%7了,正忑…G—2G—i——五一，

?:%=五,?,.可=而5/〃+l（〃wN”）.

,/口.yjn+\-y[nyjn-\-\-y/n11

（2）由（1）得包=二-------=iI=-r—7=>

an+1\Jn+1

；￡=瓦+兒+…+幾=土%味-木+…七-意=”』,

當TISN*時，???丁^>。，???S.vl,即證.

二、數(shù)學運算

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)

為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果.在本章中，主要表現(xiàn)

在求等差、等比數(shù)列的特定項，公差（公比），前n項和，項數(shù)的運算中.

【典例4】在等比數(shù)列｛《,｝中，有％每=8的，數(shù)列帆｝是等差數(shù)列，且4=%，則

4十%等于（）

A.4B.8C.16D.24

【答案】C

【解析】???｛〃”｝是等比數(shù)列，???8〃9=。34,=〃；，4工0,所以。9=8,即

bq=佝=8,

???｛2）是等差數(shù)列,所以1+%=溝=16.

故選：C.

S\s

【典例5】設等比數(shù)列｛叫的前〃項和為s”，若譚=彳，則富=（）

1123

A.-B.-C.-D.一

2334

【答案】D

【解析】???｛/｝是等比數(shù)列，「.Ss,Sio-Ss，S|5-S|o也稱等比數(shù)列，

51

10設Ss=2k、Sio=k,

%乙

k弘

則SLS5=-2,.?.九一九二，則九=?，

乙2

3k

.&_五_3.故選：D.

,,55-2A:-4

【典例6】設等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S“，公差4>0且則S“取得最小值

時，n的值為（）

A.3B.4C.3或4D.4或5

【答案】C

【解析】由國=*,可得（4+%）（4—％）=0,

因為d>0,所以6-%工0,

所以％+%=0,所以2a4=0=>%=0.

因為d>0,所以｛q｝是遞增數(shù)列，所以4V4〈生<4=0<%<4<…，

顯然前3項和或前4項和最小.故選：C

53

【典例7】在數(shù)列中，4=1,a2=2,對V〃eN,，%+2=]4+1-5，則

02021=（）

（、2）197^x2020za\2021

B.21-1C.2（-1D.2--1

【答案】C

【解析】由4+2=|q33

5%得%+2一%+1=5（4出一外）

3

二?數(shù)列｛凡+1一?！ǎ且酝?4=1為首項，彳為公比的等比數(shù)列,

a

4=(#(〃￡*)

,當〃N2時，an=(an-an_x)+(aH_｛-4_2)+…+(/—/)+(出一%)+4

n-2、〃一30

閆飛）+,.?I+1

J1-1

3+，

2

2仁XW-1

-1

2)

3

經(jīng)檢驗，〃=1時成立.「.4=2（5）1—1

..%021-1,故選：C.

【典例8]已知數(shù)列｛q｝的前n項和為S”,q=:，對任意的〃tN*都有

2

f=5+2)%,則S202L()

201920202021n1010

AA.-----B.-----C.D.----

2020202120221011

【答案】c

【解析】數(shù)列｛。〃｝滿足4=：,

對任意的nGN*都有〃=（〃+2）為+],

則有〃(〃+1)/=5+1)(〃+2)%_1,可得數(shù)列｛〃5+1)4｝為常數(shù)列,

有〃(〃+l)4“=2q,得+得%=.(〃+i)

11

又由%=罰=7?+1

所以％=「；+；-卜??12021

-----=1故選：C

20212022-----20222022

【典例9】【多選】已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為Sn=33〃-〃2,則下列說法正確的是

()

A.4=34-2〃B.兒為S”的最小值

C?同+同+…+同=272D.同+同+…+%|=450

【答案】AC

【解析】4=E=33-1=32,

22

an=Sn-5?_,=33n-n-33(/1-1)+(n-1)=34-2/?(/?>2),

對于〃=1也成立，

所以凡=34-2〃，故A正確；

當〃<17時，4>0,當n=17時an=O,當〃>17時，an<0,

??.S”只有最大值，沒有最小值，故B錯誤；

2

因為當〃<17時，>0,聞H------i-|a16|=SI6=33xl6-16=17x16=272,

故C正確：

同+同+-,+|/|=56+(-47-49--------60)

2

=2516-530=2X272-(33X30-30)

=544-90=454,故D錯誤.故選：AC.

三、邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為：掌握

推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏

輯地表達與交流.本章主要表現(xiàn)求數(shù)列的通項公式，在等差，等比數(shù)列判定、數(shù)列求和及

數(shù)列開放題運用等方面.

【典例10】【多選】已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和S”滿足S〃+1+S“=4(〃+1)2,下列說法正

確的是()

A.若首項4=1,則數(shù)列｛〃”｝的奇數(shù)項成等差數(shù)列

B.若首項4=1,則數(shù)列｛4｝的偶數(shù)項成等差數(shù)列

C.若首項4=1,則$5=477

D.若首項4=〃，若對任意〃EN*，見＜。的恒成立，則。的取值范圍是(3,5)

【答案】BCD

(解析】由S?|+S〃=4(〃+1)2①得S〃+S〃T=4*(〃22)②，

①一②可得4+1+q=4(〃+1)2-4/=8〃+4=4(2〃+1)(〃22)③，

所以=4(2〃-④,

③一④可得=8(n＞3),

因此數(shù)列｛4｝從第三項開始，奇數(shù)項成等差，偶數(shù)項也成等差；

若％=1,即則$2十S]—4(1十1)2,即勺I2%=16,所以叼=14；

由S3+02=4(2+1)2得%+2S2=36,則6=6；

由5+53=4(3+1)2得/+253=64,則%=22；

所以〃3-4=5工8,a4-a2=8,

因此數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項不成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等差數(shù)列，即A錯，B正確；

止匕時S]5=4+(%+織+…+415)+(4+〃4+…+〃14)

7x(7-l)/IF7x(7-l)/I

=1+la.+——----x8+7a＞+——-----x8=477,即C正確；

2J2

因為43MsM7,…，。2"+1成公差為8的等差數(shù)列，。2，。4，。8,…，。2"也成公差為8的等差數(shù)

列；

為使對任意〃￡N*，an＜〃“+[恒成立，

只需“＜生＜%＜。4，

若q=〃，由Sz+S=4(1+1)2=16,則。2=16-2a；由S3+S2=4(2+1『=36,可

得％=36-2s2=4+2。；由S4+S3=4(3+17=64得。4二的一2§3=24-2。

所以。＜16—2。＜4+2。V24—2。，解得3＜。＜5,即D正確.故選：BCD.

3

【典例11】在①S〃=w/-如+15￡N*，&為常數(shù)），②47=a〃+d5wN*,d為常

數(shù)），③〃用=94（4>O/￡N’,夕為常數(shù)）這三個條件中任選一個，補充到下面問題中,

若問題中的數(shù)列存在，求數(shù)列一^|（〃的前10項和；若問題中的數(shù)列不存在,

l^A+iJ

說明理由.

問題：是否存在數(shù)列｛q｝（〃￡M）,其前〃項和為S“，且％=1,6=4,?

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】答案見解析

[a.=S.,

【解析】如果選擇①，由《二。

[a3=S3-S29

1=3-火+1

即|4

27

4=——3k-3+2k

4

,3

k=—

解得，4

k=--

4

該方程組無解,

所以該數(shù)列不存在.

如果選擇②6用=%eN\d為常數(shù)），即數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列,

由。[=1,。3=4,可得公差4=烏——

22

―11121111115

4%%%4。%31/a2a2a3a10%J8

如果選擇③〃"產(chǎn)qan（q>0,nwN*,q為常數(shù)），即數(shù)列｛q｝為等比數(shù)歹ij,

由4=1,%=4,可得公比q=〃=2,

111/c、

所以-----+------=-(n>2]t

凡％%凡4

11112，1、

所以數(shù)列〈-----卜是首項為：，公比為一的等比數(shù)列，所以其前10項和為彳1-加.

H

^A+J24314J

【典例12】設數(shù)列｛4｝,｛2｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列，數(shù)列｛%｝滿足

%=%+2，〃wN二

(1)若%=2",2=3",是否存在常數(shù)3使得數(shù)列｛。田一總〃｝為等比數(shù)列?若存在，求

女的值；若不存在，說明理由；

(2)證明：｛qj不是等比數(shù)列.

【答案】(1)存在,&=2或攵=3：(2)證明見解析.

【解析】(1)由題意知，若數(shù)列｛。同一品〃｝為等比數(shù)列，

則有(c?「Sj=(c”+2-kC")(q「S-),其中〃N2且"N"

將g=2〃+3"代入上式，得

[2)+3rt+,-k(2n+3")]2=[2*2+3*2-2(2"+i+3,,+,)]?〔2”+3“一%"7+)],

即[(2-Q2"+(3-⑥3〃了=[(2-攵)27+(3-左)3>[?[(2-k)T-'+(3-Ar)3n-,],

整理得」(2-2)(3-女>2〃-3"=0,解得2=2或k=3.

6

(2)設數(shù)列｛約｝,｛〃｝的公比分別為且〃國工0,4口產(chǎn)0,

則q=qp""+麗”'，

為證｛%｝不是等比數(shù)列，只需證c；/。?。3，

事實上c；=(%p+ba)?=a；p?+2%apq+b；q2,

qq=3+4)?(qp2+bd)=Wp2+幽(p2+q2)+b；q2,

由于〃工4,故d>2pq，又力曲工0,從而c；wq?C3，

所以｛cj不是等比數(shù)列.

【典例13]已知｛〃“｝是等差數(shù)列，｛"｝是遞增的等比數(shù)列且前〃和為S”，

24=偽=2,4+4=10,_________.在①打弓么也成等差數(shù)列，②S“=2””+4

（4為常數(shù)）這兩個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答

（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.

（1）求數(shù)列｛4｝和仇｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛4+"｝的前〃項和

2

【答案】條件選擇見解析；（1）%=幾，b=T；（2）r2M+l-2+—+-.

n”22

【解析】選①解：

（1）設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

,:24=2,4+/=1°，.?2々1+8d=10,a[=1,d=T,

an=l+（n-l）xl=n.

（5、

由題意知4=2,2?-by=b2+b4t得54=也+2么，

14z

2

設等比數(shù)列也｝的公比為45b,q=2b2+2b2q,即2g2-5q+2=0,

解得4=2,或4二相由數(shù)列也｝為遞增等比數(shù)列可知夕二g不合題意，

所以｛2｝是一個以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

.?."=2x21=2”

（2）由（1）知%+a=〃+2”,

.?.7；=（l+2i）+（2+22）+（3+23）+…+（及+2”）,

Tn=（1+2+3+...+〃）+（21+2?+2,+...+2"）,

.+?2（1-2〃）

一”-—2-1-2

選②解:

(1)設等差數(shù)列{%}的公差為d,

,.?2q=2,a2+a8=10,/.2a}+8J=10,/.a{-1,d=1,

an=l+(n-l)xl=/?.

令〃=1,則S[=2*+/l,.?.&=5=4+4=2,.\2=-2,

M+,

...Sw=2-2

當〃N2時，bn=S,-Sn_.=(2“T-2)-(2”-2)=2〃

當〃=1時，4=2也滿足上式.

a=2〃

(2)由(1)知?！?a=〃+2",

123,,

.-.7；=(1+2)+(2+2)+(3+2)+...+(H+2),

二7；=(1+2+3+…+〃)+()+2?+23+…+2"),

〃(1+〃)巧,“2向-2+^+4

〃21-2,22

四、數(shù)學建模

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問

題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)在：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解

決問題，在本章主要表現(xiàn)在數(shù)列的的實際應用問題中.

【典例14]“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載增最早用數(shù)學方法計算出半音

比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依

次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都

等于啦.若第一個單音的頻率為f,則第六個單音的頻率為()

A.版/B.而fC,狂于D.舊

【答案】B

【解析】由題意知，十三個單音的頻率構(gòu)成等比數(shù)列{4},公比為與傷，

二.第六個單音的頻率.爐=0聲/.故選：B.

【典例15]某公司自2020年起，每年投入的設備升級資金為500萬元，預計自2020年起

80（n-l）,/i<5

11

（2020年為第1年），因為設備升級，第年可新增的盈利%二、0G0（1_06”-5）〃>6

（單位：萬元），求：

（1）第幾年起，當年新增盈利超過當年設備升級資金；

（2）第幾年起，累計新增盈利總額超過累計設備升級資金總額.

【答案】（1）第7年；（2）第12年.

【解析】（1）當"W5時，a,f=80（n-l）>500,解得〃>7.25,即〃28,不成立，

當〃之6時，q=1000（1-0.6〃7）>500,即0.6〃-5Vo.5，0.6”T隨著〃的增大而減小，

當〃=6時，0.66-5=0.6v0.5不成立，當〃=7時，OS,、=0.36<0.5成立,

故第7年起，當年新增盈利超過當年設備升級資金；

（2）當〃=5時，累計新增盈利總額

S5=a]+a2+a3+a4+a5=0+80+160+240+320=800<500x5,

可得所求〃超過5,

6QQ（1Q6）

當〃之6時，5=SS+1OOO（??-5）--,>500/7,

整理得〃+3x0.6"-5>11.4，由于3x0.6"T隨著n的增大而減小

又當〃=11時，11+3乂0.6"-5<11.4，故不成立,

當〃=12時，12+3x0.635>1].4，故成立，

故從第12年起，累計新增盈利總額超過累計設備升級資金總額.

高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（一）

注意事項:

本試卷滿分150分，考試時間12分鐘，試題共22題.答卷前，考生務必用0.5亳米黑色

簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的)

1.已知數(shù)列｛為｝的前4項依次為2,6,12,20,則數(shù)列｛4｝的通項公式可能是

()

n

A.an=4n-2B.an=2+2(n-l)

2M-1

C.an=n+nD.an=3+2/7-1

【答案】C

【解析】對于A,%=10工12,故A錯誤.

對于B,q=16+6=22w20,故B錯誤.

2222

對于C,=I+1=2,=2+2=6,a3=3+3=12,a4=4+4=20,

故C正確.

對于D,《=9+5=14012,故D錯誤.故選：C.

2.已知｛4｝,｛〃｝均為等差數(shù)列，且4+々=1，4+4=3,則%)2O+HO2O=()

A.4043B.4041C.4039D.4037

【答案】C

【解析】數(shù)列｛為+或｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列

「?4020+仇020=1+2019x2=4039故選：C.

3.在等比數(shù)列｛4｝中，已知/一%=4,%=2,則公比q=()

A.土!B.±2C.D.2

22

【答案】D

a,a4-a,a=42

【解析】由《%，解得夕=2,4=一故選：D

*_%=27

4.中國古代詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學名題：“九百九十二斤綿，贈分八子做盤

纏，次第每人多十六，要將第八數(shù)來言”.題意是：把992斤綿分給8個兒子作盤纏，按

照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多16斤綿，那么第8個兒子分到

的綿是（）

A.174斤B.184斤C.180斤D.181斤

【答案】C

【解析】設第8個兒子分到的綿是片,第9-〃個兒子分到的綿是%，則｛4｝構(gòu)成以外為

首項，-16為公比的等比數(shù)列

(-16)=992,解得q=180故選：C

2

5.設S“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若〃“>0,ax=-t\<2,則等比數(shù)列｛凡｝的

公比的取值范圍是（）

A.B.4c?qD.

【答案】A

【解析】設等比數(shù)列｛4｝的公比為《，

因為凡>0，4=g，S”<2,所以Ovqvl,

<2=]g”-4+4夕<0=g”3+4q<0,因為Ovgvl,

T-q"q

所以有一3+4q<0=—3+4q<，,

因為0<qvl,所以Ovq"vl,

因此要想一3+4q<g"對于〃wN*恒成立，只需一3+49WOnqW二，而Ovqvl,

4

3

所以0<夕工己.故選：A

4

Sn—\

6.設等差數(shù)列伍“｝前〃項和為S,,等差數(shù)列｛〃』前〃項和為7；,若才=—.則

Tn〃+1

)

A24

B.一

35D-7

【答案】B

Snn-1￡9-14

【解析】因為U=F，所以

T“n+\

因為s.是等差數(shù)列｛%｝前〃項和，Tn是等差數(shù)列｛2｝前〃項和,

所以品=%1抖=%，…弘?=9初

Sq49a544

則不"=￡=有：，7~=7?故選：B.

7；59b§b55

7.在等差數(shù)列｛4｝中，q=-114=-5.記7；=44…?！?=1，2,…），則數(shù)列｛1｝

（）

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】C

【解析】依題意可得公差d=4U=￡^J=2,

4-13

所以當時，an<0,當〃27時，見之0,

因為7；=-11<0,7；=-llx(-9)=99>0,T；=-llx(-9)x(-7)=-693<0,

7；=-llx(-9)x(-7)x(-5)=3465>0,Ts=3465x(-3)=-10395<0,

7；=-I0395x(-l)=l0395>0,

-T?,…a』

又當〃N6時，(344a5%…，且=ai=2w-11>1?

lna\ai''ann+

即［川NT；,所以當〃之6時，數(shù)列｛，,｝單調(diào)遞增，

所以數(shù)列｛4｝無最大項，數(shù)列｛1｝有最小項（=-10395.故選：C

8.已知數(shù)列｛4｝的前n項和S”=2""-2,若\/〃￡>1*,%4?4+S2“恒成立，則實數(shù)

力的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】因為數(shù)列｛4｝的前n項卻Sn=2向一2,

當〃之2時，冊=S-z=（2”“-2）-（2”-2）=2”；

當〃=1時，q=S[=2?-2=2滿足上式，

所以?！?2〃（〃wN）,

4+S

又W，eN*，《4+$2”恒成立，所以V〃eN*,—恒成立;

=事=4+2*2二空出口叫工,

“an2〃TT

則%一2=（2"+2+/_＞卜+|+晟）=2向-泉＞0對任意〃￡N*，顯然都成立,

2

所以"單調(diào)遞增，

因此（a）min=^.=22+|=5,即士區(qū)的最小值為5，

2a〃

所以4W5,即實數(shù)；I的最大值是5.故選：C

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0

分）

9.等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前〃項和為S“，當首項q和d變化時，4+6+43是一

個定值，則下列各數(shù)也為定值的有（）

A.%B./C.5[$D.S]6

【答案】BC

【解析】由等差中項的性質(zhì)可得的+仆+43=3%為定值，則人為定值，

515="（a；%）=154為定值，但516=16"=8a+%）不是定值.

故選：BC.

10.若數(shù)列｛%｝對任意〃N2（〃wN）滿足（〃〃一《1-2）伍〃一2〃“_1）=0,下面選項中關(guān)

于數(shù)列｛4｝的命題正確的是（）

A.｛%｝可以是等差數(shù)列B.｛%｝可以是等比數(shù)列

C.｛an｝可以既是等差又是等比數(shù)列D.｛alt｝可以既不是等差又不是等比數(shù)列

【答案】ABD

【解析】因為（%-%-2）（勺-21）=0,

所以見一-2=0或%-2an_=0,

即：?！?4I=2或/=2%_

①當4HoM小=0時，｛勺｝是等差數(shù)列或是等比數(shù)列.

②%=0或4-=0時，（％）可以既不是等差又不是等比數(shù)列，故選ABD

11.設｛%｝是公比為2的等比數(shù)列，下列四個選項中是正確的命題有（）

A.〈，是公比為g的等比數(shù)列B.｛%“｝是公比為4的等比數(shù)列

C.｛26｝是公比為4的等比數(shù)列D.｛《4+J是公比為2的等比數(shù)列

【答案】AB

【解析】由于數(shù)列｛4｝是公比為2的等比數(shù)列，則對任意的〃wN”，?！肮?,且公比為

對于A選項，與>=&=，=：,即數(shù)列，口-1是公比為!的等比數(shù)列，A選項正確;

±《向q?IqJ2

對于B選項，^-=<72=4,跳數(shù)列｛的“｝是公比為4的等比數(shù)列，B選項正確；

對于C選項，合2。"=4=2,即數(shù)列｛%“｝是公比為2的等比數(shù)列，C選項錯誤；

對于D選項，&必乜=4±1=42=4,即數(shù)列｛。加向｝是公比為4的等比數(shù)列，D選項

錯誤.故選：AB.

12.設為數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，若芥（〃wN+）等于一個非零常數(shù)，則稱數(shù)列｛q｝為

”和等比數(shù)列”.下列命題正確的是（）.

A.等差數(shù)列可能為“和等比數(shù)列”

B.等比數(shù)列可能為“和等比數(shù)列”

C.非等差等比數(shù)列不可能為“和等比數(shù)列”

D.若正項數(shù)列｛〃“｝是公比為4的等比數(shù)列，且數(shù)列｛In4｝是“和等比數(shù)列”，則4=。；

【答案】ABD

【解析】若等差數(shù)列的公差為0,則.=眄=2是非零常數(shù)，則此數(shù)列為“和等比數(shù)

S〃na｝

歹『'，A對

若等比數(shù)列的公比為1,則稱網(wǎng)^=2是非零常數(shù)，則此數(shù)列為“和等比數(shù)列”，B

S”叫

對

若數(shù)列｛凡｝滿足勺=<八…則黃=1是非零常數(shù)，它既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)

[0,77>2七

列，但它是“和等比數(shù)列”，C錯

正項數(shù)列｛/｝是公比為4的等比數(shù)列，???凡=囚尸,

w-1

則Inan=ln（4]4"T）=InaA+ln（^）=In4-（w—1）In<7

故數(shù)列｛InaJ是首項為In4,公差為In4的等差數(shù)列，又數(shù)列｛Inq｝是“和等比數(shù)

列”，

2n[ln%+In4+(2n-l)lnq\

則—=---------------------------

Sn[\n4+In4+(〃-1)Inq]

2

_2[21nq+(2〃-l)lnq]_2+2n\nq-2+2Ing

21n4+(〃-l)lnq2｝nai-\nq+n\nq2Inq-Ing?

n

又2+21n4-Ing[為非零常數(shù)，則21n4-lng=o,即21n4=ln4,即

+In夕n

n

q=a：,D對故選：ABD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)

13.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項司5”=3向+4,則《+4=.

【答案】3

【解析】2時，a“=S〃—S“T=(3"”+/i)—(3〃+/l)=2x3”，

又4=S1=9+；l,數(shù)列｛%｝等比數(shù)列，

4二殳,即其=”，解得力=一3.

%a29+218

+4=3.故答案為：3.

14.設數(shù)列｛4｝中，4=2,%八=〃“+〃，則通項an=.

【答案】耳(〃2-〃+4)

【解析】因為4+1=?！?〃，所以%+]-4=〃，

則《一q=1；

生一4=2；

凡一%="1?

各式相加可得4-4=1+2…1=一〃(〃-1),

2

所以二〃〃〃

q3(.1)+4(.1)+2=g(〃2-〃+4),

故答案為：-〃+4).

2

15.數(shù)列｛4｝滿足：4=；,al+a2+...+an=nan,則數(shù)列｛4｝的通項公式

【答案】力

【解析】因為q+。2+…+?！?/?4①;

當〃之2時，4+4+.-+?！瘪R-1)②;

①減②得4=.6-5-1)2.4_1,即(九2Tq=(”1)2%,所以

(刀一1)(刀+1)?%=(刀一1戶4_|，所以("+i)q=(〃T)q_i，所以

a,1a.2a,3

所以丁=5,[="點=不

〃+1

a.a.a.a?123n-\an21

以■???---=-X-X-X???X-----------所以丁而可，又展所以

a4=

4a2%n-\345n+l

111

〃,廣而而'當〃=1時巴=而可也成立'所以凡=而可

1

故答案為：礪而

16.數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，定義血｝的“優(yōu)值”為兄=4+四+…+2”4,現(xiàn)

n

己知｛4｝的“優(yōu)值"”〃=2〃，則?！?,S.=.

【答案】n+\二-----L

2

【解析】由題意4+2%+…+2*%"=〃-2",

，〃N2時，4+2a2-----^2"2%_]=(n-1),2"1,

兩式相減得：2'1凡=〃-2”-5-1)-2"7=5+1)-21,afl=n+l,

又q=2,滿足=n+l,

,an=n+l,

〃(2+〃+l)