湖南省長(zhǎng)沙市一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為7，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.52．設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.03．若雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.4．二項(xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.325．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，則點(diǎn)F到其一條漸近線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.46．方程表示的曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A. B.C.或 D.7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.9．己知命題；命題，則下列命題中為假命題的是（）A. B.C. D.10．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．命題“，”的否定形式是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”12．已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（）A.1 B.2C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)，則函數(shù)在處切線的斜率為_______________.14．在數(shù)列中，，，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則=___.15．已知數(shù)列滿足：，，則______16．過圓內(nèi)的點(diǎn)作一條直線，使它被該圓截得的線段最短，則直線的方程是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓M：的離心率為，左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為1，橢圓M上一點(diǎn)B位于第一象限，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線CF與橢圓M的另一交點(diǎn)為D（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AD的斜率為，直線AB的斜率為．求證：為定值18．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)的值20．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得恒成立時(shí)的最小正整數(shù).21．（12分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.22．（10分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C2、A【解析】先化簡(jiǎn)A－B，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二項(xiàng)式展開式，然后計(jì)算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是通過化簡(jiǎn)能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果在形式上滿足二項(xiàng)式展開式，然后計(jì)算出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A4、D【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是.故選：D5、A【解析】由雙曲線方程可寫出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫一漸近線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨取一條漸近線為，故點(diǎn)F到漸近線的距離為，故選：A6、D【解析】根據(jù)曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓可得出答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，解得.故選：D.7、A【解析】由題意，在上恒成立，只需滿足即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，只需滿足，即，解得故選：A.8、D【解析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設(shè),則在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式能成立問題,可以選擇分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題,也可以進(jìn)行分情況討論.9、A【解析】根據(jù)或且非命題的真假進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng),故命題是真命題，，故命題是真命題.因此可知是假命題，是真命題，，均為真命題.故選:A10、B【解析】方程表示橢圓，可得，解出的范圍即可判斷出結(jié)論.【詳解】∵方程表示橢圓，∴解得或，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B11、C【解析】由全稱命題的否定是特稱命題即得.【詳解】“任意”改為“存在”，否定結(jié)論即可.命題“，”的否定形式是“，”.故選：C.12、C【解析】由，可知，使，利用向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在解決有關(guān)平行的問題時(shí)，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知，引入?yún)?shù)，使，轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標(biāo)成比例求解，即由，得，求出m，n.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)在處切線的斜率為故答案為：14、930【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列前60項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為2等差數(shù)列，前60項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，所以.考點(diǎn)：遞推數(shù)列、等差數(shù)列.15、【解析】令n=n-1代回原式，相減可得，利用累乘法，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減可得，整理得，所以，整理得，又，解得.故答案為：16、【解析】由已知得圓的圓心為，所以當(dāng)直線時(shí)，被該圓截得的線段最短，可求得直線的方程.【詳解】解：由得，所以圓的圓心為，所以當(dāng)直線時(shí)，被該圓截得的線段最短，所以，解得，所以直線l的方程為，即，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線CF的方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】（1），，∴，，，∴；【小問2詳解】設(shè)，，則，CF：聯(lián)立∴，∴【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.18、（1）當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求時(shí)的最小值，令，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，成立，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，則，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、（1）；（2）.【解析】（1）由短軸長(zhǎng)得，由離心率處也的關(guān)系，從而可求得，得橢圓方程；（2）設(shè)，，直線的方程為，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由弦長(zhǎng)公式得弦長(zhǎng)，求出原點(diǎn)到直線的距離，得出三角形面積為的函數(shù)，用換元法，基本不等式求得最大值，得值【詳解】解：（1）由題意得，，所以，，橢圓的方程為（2）直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得由題意，，設(shè)，則，弦長(zhǎng)，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，對(duì)應(yīng)的，可解得，滿足題意20、(1)(2)1【解析】（1）先設(shè)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，列出方程組求出首項(xiàng)和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以解得所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知∴,∴，∴，∴的最小正整數(shù)為1【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前項(xiàng)和的問題，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.21、（1）（2），【解析】（1）由，計(jì)算出公差，再寫出通項(xiàng)公式即可.（2）直接用公式寫出，配方后求出