博雅聞道2025屆高一數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

博雅聞道2025屆高一數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在，使得成立，則稱是函數(shù)的一個不動點，下列函數(shù)存在不動點的是（）A. B.C. D.2．若，，則角的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A.(，1) B.(1，2)C. D.4．定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.－1 B.0C.1 D.26．已知函數(shù)，當時．方程表示的直線是（）A. B.C. D.7．對于兩條不同的直線l1,l2,兩個不同的平面α，β，下列結(jié)論正確的A.若l1∥α，l2∥α，則l1∥l2 B.若l1∥α，l1∥β，則α∥βC若l1∥l2，l1∥α，則l2∥α D.若l1∥l2，l1⊥α，則l2⊥α8．如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A. B.8C.6 D.9．已知扇形的半徑為，面積為，則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A. B.C. D.10．角的終邊落在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．“”是“”的______條件（請從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中選擇一個填）12．___________13．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則在R上的表達式是________14．已知圓心為（1,1），經(jīng)過點（4,5），則圓標準方程為_____________________.15．函數(shù)（且）的圖像恒過定點______.16．已知是第四象限角且，則______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，方程恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，求的最小值18．已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求的值.19．為了在冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層、某棟房屋要建造能使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層的建造成本是6萬元，該棟房屋每年的能源消耗費用C（萬元）與隔熱層厚度x（厘米）滿足關(guān)系式：，若無隔熱層，則每年能源消耗費用為5萬元.設(shè)為隔熱層建造費用與使用20年的能源消耗費用之和.（1）求和的表達式；（2）當隔熱層修建多少厘米厚時，總費用最小，并求出最小值.20．已知函數(shù)，（1）若的值域為，求a的值（2）證明：對任意，總存在，使得成立21．如圖，已知圓的圓心在坐標原點，點是圓上的一點（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若過點的動直線與圓相交于，兩點．在平面直角坐標系內(nèi)，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】把選項中不同的代入，去判斷方程是否有解，來驗證函數(shù)是否存在不動點即可.【詳解】選項A：若，則，即，方程無解.故函數(shù)不存在不動點；選項B：若，則，即，方程無解.故函數(shù)不存在不動點；選項C：若，則，即或，兩種情況均無解.故函數(shù)不存在不動點；選項D：若，則，即設(shè)，則，則函數(shù)在上存在零點.即方程有解.函數(shù)存在不動點.故選：D2、B【解析】應用誘導公式可得，，進而判斷角的終邊所在象限.【詳解】由題設(shè)，，，所以角的終邊在第二象限.故選：B3、D【解析】為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，計算選項中各個變量的函數(shù)值，判斷在正負，即可求出零點所在區(qū)間.【詳解】解：在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以的零點所在的區(qū)間為.故選：D.4、B【解析】由題意可得，，在遞增，分別討論，，，，，結(jié)合的單調(diào)性，可得的范圍【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且（1），可得，，在遞增，若時，成立；若，則成立；若，即，可得（1），即有，可得；若，則，，可得，解得；若，則，，可得，解得綜上可得，的取值范圍是，，故選：B5、C【解析】利用函數(shù)是奇函數(shù)得到，然后利用方程求解，，則答案可求【詳解】解：函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，所以，所以，，故故選：C.6、C【解析】先利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到所以，再利用直線的斜率和截距判斷.【詳解】因為時，，所以則直線的斜率為，在軸上的截距故選：C7、D【解析】詳解】A.若l1∥α，l2∥α，則兩條直線可以相交可以平行，故A選項不正確；B.若l1∥α，l1∥β，則α∥β，當兩條直線平行時，兩個平面可以是相交的，故B不正確；C.若l1∥l2，l1∥α，則l2∥α，有可能在平面內(nèi)，故C不正確；D.若l1∥l2，l1⊥α，則l2⊥α，根據(jù)課本的判定定理得到是正確的.故答案為D.8、B【解析】根據(jù)斜二測畫法得出原圖形四邊形的性質(zhì)，然后可計算周長【詳解】由題意，所以原平面圖形四邊形中，，，，所以，所以四邊形的周長為：故選：B9、A【解析】由扇形的面積公式即可求解.【詳解】解：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為，則扇形面積為，解得，因為，所以扇形的圓心角的弧度數(shù)為4.故選：A10、A【解析】根據(jù)角的定義判斷即可【詳解】，故為第一象限角，故選A【點睛】判斷角的象限，將大角轉(zhuǎn)化為一個周期內(nèi)的角即可二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、必要不充分【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】當時，可得由，不能得到例如：取時，，也滿足所以由，可得成立，反之不成立“”是“”的必要不充分條件故答案為：必要不充分12、【解析】利用、兩角和的正弦展開式進行化簡可得答案.【詳解】故答案為：.13、【解析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出時的解析式，再寫出上的解析式即可【詳解】時，，，所以故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵14、【解析】設(shè)出圓的標準方程，代入點的坐標，求出半徑，求出圓的標準方程【詳解】設(shè)圓的標準方程為（x-1）2+（y-1）2=R2，由圓經(jīng)過點（4,5）得R2=25，從而所求方程為（x-1）2+（y-1）2=25，故答案為（x-1）2+（y-1）2=25【點睛】本題主要考查圓的標準方程，利用了待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定圓的半徑15、【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過定點的性質(zhì)，令指數(shù)冪等于零即可.【詳解】由，.此時.故圖像恒過定點.故答案為：【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)恒過定點的性質(zhì)，屬于簡單題.16、【解析】直接由平方關(guān)系求解即可.【詳解】由是第四象限角，可得.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解析】（1）由余弦函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，，即可求出；（2）利用函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合在時的單調(diào)性與最值，可得實數(shù)的取值范圍；（3）先求出的解析式，然后利用圖象關(guān)于原點中心對稱，是奇函數(shù)，可求出的最小值【詳解】（1）由余弦函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，，所以當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個公共點，即當時,方程恰有兩個不同的實數(shù)根時（3）函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到,則是奇函數(shù)，則，即，，則因為，所以當時，.【點睛】本題綜合考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，及圖象的平移變換，屬于中檔題18、（1）（2）【解析】（1）利用誘導公式求出，由已知得出，再由齊次式即可求解.（2）由題意可得，，再由兩角和的正切公式即可求解.【小問1詳解】由已知，，得所以【小問2詳解】由，，可知，，∴.∵，∴.而，∴.∴，∴.19、（1），（2）隔熱層修建4厘米厚時，總費用達到最小值，最小值為64萬元【解析】(1)由已知，又不建隔熱層，每年能源消耗費用為5萬元．所以可得C（0）＝5，由此可求，進而得到．由已知建造費用為6x，根據(jù)隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），可得f（x）的表達式(2)由(1)中所求的f（x）的表達式，利用基本不等式求出總費用f（x）的最小值【小問1詳解】因為，若無隔熱層，則每年能源消耗費用為5萬元，所以，故，因為為隔熱層建造費用與使用20年的能源消耗費用之和，所以.【小問2詳解】，當且僅當，即時，等號成立，即隔熱層修建4厘米厚時，總費用達到最小值，最小值為64萬元.20、（1）2（2）證明見解析【解析】（1）由題意，可得，從而即可求解；（2）利用對勾函數(shù)單調(diào)性求出在上的值域，再分三種情況討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，然后證明的值域是值域的子集恒成立即可得證.【小問1詳解】解：因為的值域為，所以，解得【小問2詳解】證明：由題意，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，所以設(shè)在上的值域為M，當，即時，在上單調(diào)遞增，因為，，所以；當，即時，在上單調(diào)遞減，因為，，所以；當，即時，，，所以；綜上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立，所以對任意總存在，使得成立.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)設(shè)圓的方程為，將代入，求得，從而可得結(jié)果；(Ⅱ)先設(shè)，由可得，再證明對任意，滿足即可，，則利用韋達定理可得，，由角平分線定理可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)設(shè)圓的方程為，將代入，求得，所以圓的方程為；(Ⅱ)先設(shè)，，由由（舍去）再證明對任意，滿足即可，由，則則利用韋達定理可