廣東省深圳實驗學校2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

廣東省深圳實驗學校2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)，若實數(shù)是函數(shù)的零點，且，則（）A. B.C. D.無法確定2．若橢圓與直線交于兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為,則A. B.C. D.23．方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A. B.C.或 D.4．已知空間中三點，，，則下列結論中正確的有（）A.平面ABC的一個法向量是 B.的一個單位向量的坐標是C. D.與是共線向量5．函數(shù)為的導函數(shù)，令，則下列關系正確的是（）A. B.C. D.6．當圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.7．某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著A車和B車，同時進來C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（）A. B.C. D.8．若是函數(shù)的一個極值點，則的極大值為（）A. B.C. D.9．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.910．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.11．橢圓以坐標軸為對稱軸，經(jīng)過點，且長軸長是短軸長的倍，則橢圓的標準方程為（）A. B.C.或 D.或12．已知在空間直角坐標系（O為坐標原點）中，點關于x軸的對稱點為點B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是____________.14．已知數(shù)列的前的前n項和為，數(shù)列的的前n項和為，則滿足的最小n的值為______15．若等比數(shù)列滿足，則的前n項和____________16．雙曲線的離心率______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角.18．（12分）在空間直角坐標系Oxyz中，O為原點，已知點，，，設向量，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數(shù)k的值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間；20．（12分）已知等差數(shù)列各項均不為零，為其前項和，點在函數(shù)的圖像上.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和；（3）若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值、最小值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)與在x=1處的切線平行，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知為數(shù)列的前項和，且.（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因為函數(shù)在遞減，又實數(shù)是函數(shù)的零點，即，又因為，所以，故選：A2、D【解析】細查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設出點的坐標，由根與系數(shù)的關系可以推出線段的中點坐標，再由過原點與線段的中點的直線的斜率為，進而可推導出的值.【詳解】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設，則，從而線段的中點的橫坐標為，縱坐標，因為過原點與線段中點的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點睛】該題是一道關于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點有直線與橢圓相交時對應的解題策略，中點坐標公式，斜率坐標公式，屬于簡單題目.3、D【解析】根據(jù)曲線為焦點在y軸上的橢圓可得出答案.【詳解】因為方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，所以，解得.故選：D.4、A【解析】根據(jù)已知條件，結合空間中平面法向量的定義，向量模長的求解，以及共線定理，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】因為，，，故可得，因為，故，不平行，則D錯誤；對A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對B：因為向量的模長為，其不是單位向量，故B錯誤；對C：因為，故可得，故C錯誤；故選：A.5、B【解析】求導后，令，可求得，再利用導數(shù)可得為減函數(shù)，比較的大小后，根據(jù)為減函數(shù)可得答案.【詳解】由題意得，，，解得，所以所以，所以為減函數(shù)因為，所以，故選：B【點睛】關鍵點點睛：比較大小的關鍵是知道的單調性，利用導數(shù)可得的單調性.6、C【解析】求出圓心坐標和直線過定點，當圓心和定點的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因為圓的圓心為,半徑，又因為直線過定點A(-1,1),故當與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.7、B【解析】先求出基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率【詳解】解：某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著車和車，同時進來，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：故選：B8、D【解析】先對函數(shù)求導，由已知，先求出，再令，并判斷函數(shù)在其左右兩邊的單調性，從而確定極大值點，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.【詳解】因為，，所以，所以，，令，解得或，所以當，，單調遞增；時，，單調遞減；當，，單調遞增，所以的極大值為故選：D9、D【解析】結合等差數(shù)列的通項公式求得.【詳解】設公差，.故選：D10、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A11、C【解析】分情況討論焦點所在位置及橢圓方程.【詳解】當橢圓的焦點在軸上時，由題意過點，故，，橢圓方程為，當橢圓焦點在軸上時，，，橢圓方程為，故選：C.12、B【解析】根據(jù)點關于坐標軸對稱的性質，結合空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】因為點關于x軸的對稱點為，所以，設平面OAB的一個法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個方向向量為，設z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意建立空間直角坐標系，然后結合點面距離公式即可求得點M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），設（x，y，z）為平面ABCD的法向量，則，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點睛】本題主要考查空間直角坐標系及其應用，點面距離的計算等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、9【解析】由數(shù)列的前項和為，則當時，，所以，所以數(shù)列的前和為，當時，，當時，，所以滿足的最小的值為.點睛：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用問題，其中解答中涉及到數(shù)列的通項與的關系，推導數(shù)列的通項公式，以及等差、等比數(shù)列的前項和公式的應用，熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前項和公式是解答的關鍵，著重考查了學生的推理與運算能力.15、##【解析】由已知及等比數(shù)列的通項公式得到首項和公比，再利用前n項和公式計算即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由已知，得，解得，所以.故答案為：16、【解析】根據(jù)雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意可證得，所以以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明，（2）求出兩個平面的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，.設平面的法向量為，則，令，則，∵平面，∴∥平面.【小問2詳解】，設平面的法向量為，則，令，則.∴.由圖可知平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角為.18、（1）（2）【解析】（1）由向量的坐標先求出，，，由向量的夾角公式可得答案.（2）由題意可得，從而求出參數(shù)的值【小問1詳解】由題，，，故，，，所以故與夾角余弦值為.【小問2詳解】由與的互相垂直知，，，即19、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當時，若和時，；若時，；的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；②當時，在上恒成立，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；③當時，若和時，；若時，；的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；綜上所述：當時，的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點處的切線方程、利用導數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間的問題，屬于常考題型.20、（1）（2）（3）最大值為，最小值為【解析】（1）將點代入函數(shù)解析再結合前和即可求解；（2）運用錯位相減法或分組求和法都可以求解；（3）將數(shù)列的通項變形為，再求和，通過分類討論從單調性上分析求解即可.【小問1詳解】因為點在函數(shù)的圖像上，所以，又數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即所以，；【小問2詳解】解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；【小問3詳解】記的前n項和為，則=，當n為奇數(shù)時隨著n的增大而減小，可得，當n為偶數(shù)時隨著n增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.21、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線平行求出a，即可求出切線方程；（2）先把已知條件轉化為，令,，利用導數(shù)求出的最小值，即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）,故,而,故，故,解得:，