2025屆上海市松江區(qū)市級名校高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆上海市松江區(qū)市級名校高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對是（）A. B.C. D.2．已知點是橢圓上的任意點，是橢圓的左焦點，是的中點，則的周長為（）A. B.C. D.3．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標原點，M，N兩點分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.5．下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.1987．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.8．已知隨圓與雙曲線相同的焦點，則橢圓和雙曲線的離心，分別為（）A. B.C. D.9．金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個等邊三角形組成的正八面體．若某金剛石的棱長為2，則它的體積為（）A. B.C. D.10．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離11．一動圓與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線12．已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正實數(shù)，，都有，則實數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在圓C：（）內(nèi)，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則______14．已知直線和直線垂直，則實數(shù)___________.15．已知，則曲線在點處的切線方程是______.16．在△ABC中，，AB=3，，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：上的點到其準線的距離為5.（1）求拋物線的方程；（2）已知為原點，點在拋物線上，若的面積為6，求點的坐標.18．（12分）在中，其頂點坐標為.（1）求直線的方程；（2）求的面積.19．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點，點在直線上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）是否存在點，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.20．（12分）求下列函數(shù)的導數(shù)（1）；（2）21．（12分）已知圓C：的半徑為1（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長22．（10分）已知等差數(shù)列中，首項，公差，且數(shù)列的前項和為（1）求和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對是，故選：2、A【解析】設(shè)橢圓另一個焦點為，連接，利用中位線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，，如圖，設(shè)橢圓的另一個焦點為，連接，因為、分別為、的中點，則，則的周長為，故選：A.3、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項.【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.4、C【解析】由題意可得且，從而求出點的坐標，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點，設(shè)點在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得，過點作軸交軸于點，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C5、C【解析】先舉例說明ABD不成立，再根據(jù)不等式性質(zhì)說明C成立.【詳解】當時，滿足，但不成立，所以A錯；當時，滿足，但不成立，所以B錯；當時，滿足，但不成立，所以D錯；因為所以，又，因此同向不等式相加得，即C對；故選：C【點睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項公式求解.【詳解】因為等差數(shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時，該數(shù)列的前項和取得最大值，最大值為，故選：A7、C【解析】設(shè)，求導分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因為，所以，所以.故選：C8、B【解析】設(shè)公共焦點為，推導出，可得出，進而可求得、的值.【詳解】設(shè)公共焦點為，則，則，即，故，即，，故選：B9、C【解析】由幾何關(guān)系先求出一個正四面體的高，再結(jié)合錐體體積公式即可求解正八面體的體積.【詳解】如圖，設(shè)底面中心為，連接，由幾何關(guān)系知，，則正八面體體積為.故選：C10、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以兩圓相外切，故選：B.11、C【解析】設(shè)動圓圓心，與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出幾何關(guān)系式，化簡，再根據(jù)圓錐曲線的定義，可得到動圓圓心軌跡.【詳解】設(shè)動圓圓心，半徑為，圓x2+y2＝1的圓心為，半徑為，圓x2+y2﹣8x+12＝0，得，則圓心，半徑為，根據(jù)圓與圓相切，則，，兩式相減得，根據(jù)定義可得動圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選：C【點睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，圓錐曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】不妨設(shè)，由題意，可得，構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，從而有在上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值即可求解.【詳解】解：由題意，不妨設(shè)，因為對任意兩個不等的正實數(shù)，，都有，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，當時，因為，所以，所以，實數(shù)的最小值為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內(nèi)一點最短的弦，結(jié)合弦長公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【詳解】由點在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過圓內(nèi)一點最短的弦，應(yīng)垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：14、【解析】根據(jù)兩條直線相互垂直的條件列方程，解方程求得m的值.【詳解】由于兩條直線垂直，故，解得.故答案為：.15、【解析】求導，得到，寫出切線方程.【詳解】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線方程是，即，故答案為：16、3【解析】計算得出，可得出，再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】∵，，，∴故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)，根據(jù)三角形的面積列方程，求得的值，進而求得點的坐標.【小問1詳解】由拋物線的方程可得其準線方程，依拋物線的性質(zhì)得，解得.∴拋物線的方程為.【小問2詳解】將代入，得.所以，直線的方程為，即.設(shè)，則點到直線的距離，又，由題意得，解得或.∴點的坐標是或.18、（1）（2）【解析】（1）先求出AB的斜率，再利用點斜式寫出方程即可；（2）先求出，再求出C到AB的距離即可得到答案.【小問1詳解】由已知，，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】，C到直線AB的距離為，所以的面積為.19、（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算得出，即可得出結(jié)論；（2）計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，所以，，則，因此，無論取何值，總有；（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，由題意可得，整理可得，，此方程無解，因此，不存在點，使得平面與平面所成的角為.20、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）導數(shù)四則運算中的乘除法則.（2）求導數(shù)，主要考查復(fù)合函數(shù)，外導乘內(nèi)導.【小問1詳解】【小問2詳解】.21、（1）；（2）直線l與圓C相交，.【解析】（1）利用配方法進行求解即可；（2）根據(jù)點到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長公式進行求解即可.【小問1詳解】將化為標準方程得：因為圓C的半徑為1，