（培優(yōu)特訓）專項5.3分式方程應用高分必刷（4種類型）

（培優(yōu)特訓）專項5.3分式方程應用高分必刷（4種類型）類型一：工程問題1.（汕尾）某校為美化校園，計劃對面積為1800m2的區(qū)域進行綠化，安排甲、乙兩個工程隊完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的2倍，并且在獨立完成面積為400m2區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天．（1）求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是多少m2？（2）若學校每天需付給甲隊的綠化費用為0.4萬元，乙隊為0.25萬元，要使這次的綠化總費用不超過8萬元，至少應安排甲隊工作多少天？【解答】解：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x（m2），根據(jù)題意得：﹣＝4，解得：x＝50，經檢驗x＝50是原方程的解，則甲工程隊每天能完成綠化的面積是50×2＝100（m2），答：甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是100m2、50m2；（2）設應安排甲隊工作y天，根據(jù)題意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10，答：至少應安排甲隊工作10天．2.（2021秋?道縣期中）為了提高產品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產的1200件新產品進行精加工后再投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍．根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產品？【解答】解：設甲工廠每天加工x件產品，則乙工廠每天加工1.5x件產品，依題意得﹣＝10，解得：x＝40．經檢驗：x＝40是原方程的根，且符合題意．所以1.5x＝60．答：甲工廠每天加工40件產品，乙工廠每天加工60件產品．3．（2022?南崗區(qū)校級開學）三～四月的哈爾濱，冰雪消融，大地回春，正是植樹好季節(jié)，市政有甲、乙兩個植樹工程隊，甲工程隊每天比乙工程隊多植樹20棵，同樣植樹480棵，甲工程隊比乙工程隊少用2天完成．（1）求甲、乙兩工程隊每天各植樹多少棵？（2）甲、乙兩個工程隊工作熱情高漲，甲工程隊每天比原來多植樹10%，乙工程隊每天比原來多植樹20%，現(xiàn)有植樹任務不少于1160棵，且乙工程隊植樹天數(shù)是甲工程隊植樹天數(shù)的2倍，則甲工程隊至少植樹多少天可以完成任務？【解答】解：（1）設乙工程隊每天植樹x棵，則甲工程隊每天植樹（x+20）棵，依題意得：﹣＝2，整理得：x2+20x﹣4800＝0解得：x1＝60，x2＝﹣80，經檢驗，x1＝60，x2＝﹣80均為原方程的解，x2＝﹣80不符合題意，舍去，∴x+20＝60+20＝80．答：甲工程隊每天植樹80棵，乙工程隊每天植樹60棵．（2）設甲工程隊植樹m天，則乙工程隊植樹2m天，依題意得：80×（1+10%）m+60×（1+20%）×2m≥1160，解得：m≥5．答：甲工程隊至少植樹5天可以完成任務．4.（2022?玉州區(qū)一模）為美化小區(qū)環(huán)境，物業(yè)計劃安排甲、乙兩個工程隊完成小區(qū)綠化工作．已知甲工程隊每天綠化面積是乙工程隊每天綠化面積的2倍，甲工程隊單獨完成600m2的綠化面積比乙工程隊單獨完成600m2的綠化面積少用2天．（1）求甲、乙兩工程隊每天綠化的面積分別是多少m2；（2）小區(qū)需要綠化的面積為9600m2，物業(yè)需付給甲工程隊每天綠化費為0.3萬元，付給乙工程隊每天綠化費為0.2萬元，若要使這次的綠化總費用不超過12萬元，則至少應安排甲工程隊工作多少天？【解答】解：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x（m2），根據(jù)題意得，解得：x＝150，經檢驗：x＝150是原方程的解，則2x＝300．答：甲工程隊每天能完成綠化的面積是300m2，乙工程隊每天能完成綠化的面積是150m2，（2）設甲隊工作y天完成：300y（m2），乙隊完成工作所需要（天），根據(jù)題意得：0.3y+0.2×≤12，解得：y≥8．所以y最小值是8．答：至少應安排甲隊工作8天．5．（2022春?江都區(qū)校級月考）某公司有960件新產品需經加工后才能投放市場，現(xiàn)有甲、乙兩家工廠都想加工加工這批產品．已知甲工廠單獨完成這批產品比乙工廠單獨完成這批產品多用20天，而甲工廠每天加工數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的，公司需付甲工廠加工費每天80元，需付乙工廠加工費每天120元．（1）甲、乙兩工廠每天能加工多少件新產品？（2）公司制定的方案如下：可以由每個廠家單獨完成，也可以有兩個廠家合作完成．在加工過程中，公司派一名工程師進行技術指導，并擔負每天25元的午餐補助，請幫公司需出一種既省時又省錢的加工方案，并說明理由．【解答】解：（1）設乙工廠每天能加工x件新產品，則甲工廠每天能加工x件新產品，根據(jù)題意得：﹣＝20，解得：x＝24，經檢驗，x＝24是原方程的解，且符合題意，則x＝×24＝16．答：乙工廠每天能加工24件新產品，甲工廠每天能加工16件新產品．（2）選擇甲乙兩個廠家合作完成，理由如下：甲工廠獨立完成需要的費用為×（80+25）＝6300（元）；乙工廠獨立完成需要的費用為×（120+25）＝5800（元）；甲、乙合作完成需要的費用為×（80+120+25）＝5400（元）．∵6300＞5800＞5400，∴選擇甲、乙兩個廠家合作完成省時省錢．6．（2021秋?玉州區(qū)期末）在某市某一城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工程隊投標，經測算：甲隊單獨完成這項工程需要60天，若由甲隊先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙隊單獨完成這項工程需要多少天？（2）甲隊施工一天，需付工程款3萬元，乙隊施工一天需付工程款2.5萬元．若該工程計劃在70天內完成，在不超過計劃天數(shù)的前提下，是由甲隊或乙隊單獨完成工程省錢？還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢？【解答】解：（1）設乙隊單獨完成這項工程需要x天，依題意得：+＝1，解得：x＝90，經檢驗，x＝90是原方程的解，且符合題意．答：乙隊單獨完成這項工程需要90天．（2）∵60＜70＜90，∴共有2種方案可供選擇，方案1：甲隊單獨完成這項工程；方案2：甲乙兩隊全程合作完成這項工程．選擇方案1所需費用為3×60＝180（萬元）；選擇方案2所需費用為（3+2.5）×＝198（萬元）．∵180＜198，∴由甲隊單獨完成該工程省錢．7．（2021秋?江北區(qū)期末）市級重點工程盤溪立交改造正在進行中，某建筑公司承建了修筑其中一段公路的任務，指派甲、乙兩隊合作，18天可以完成，共需施工費144000元，如果甲、乙兩隊單獨完成此項工程，乙隊所用時間是甲隊的1.5倍，乙隊每天的施工費比甲隊每天的施工費少1000元．（1）甲、乙兩隊每天的施工費用各需多少元？（2）甲、乙兩隊單獨完成此項工程，各需多少天？【解答】解：（1）設甲公司每天的施工費用是y元，那么乙公司每天的施工費用是（y﹣1000）元，則由題意可得：（y+y﹣1000）×18＝144000，解得：y＝4500，∴y﹣1000＝3500，答：甲公司每天的施工費用是4500元，乙公司每天的施工費用是3500元；（2）設甲公司單獨完成此項工程需x天，根據(jù)題意可得：+＝，解得：x＝30，檢驗，知x＝30符合題意，∴1.5x＝45，答：甲公司單獨完成此項工程需30天，乙公司單獨完成此項工程需45天．8．（2021秋?花都區(qū)期末）某校推行“新時代好少年?紅心向黨”主題教育讀書工程建設活動，原計劃投資10000元建設幾間青少年黨史“讀書吧”，為了保證“讀書吧”的建設的質量，實際每間“讀書吧”的建設費用增加了10%，實際總投資為15400元，并比原計劃多建設了2間黨史“讀書吧”．（1）原計劃每間黨史“讀書吧”的建設費用是多少元？（2）該校實際共建設了多少間青少年黨史“讀書吧”？【解答】解：（1）設原計劃每間黨史“讀書吧”的建設費用是x元，則實際每間黨史“讀書吧”的建設費用為（1+10%）x元，根據(jù)題意得：﹣＝2，解得：x＝2000，經檢驗：x＝2000是原方程的解，答：原計劃每間黨史“讀書吧”的建設費用是2000元；（2）＝7，答：該校實際共建設了7間青少年黨史“讀書吧”．9.（2021秋?東莞市校級期末）某施工隊對一段2400米的河堤進行加固，在施工800米后，采用新的施工機器，每天工作的效率比原來提高了25%，共用了26天完成全部工程．（1）求原來每天加固河堤多少米？（2）若承包方原來每天支付施工隊工資800元，提高工作效率后，每天支付給施工隊的工資也增加了25%，那么整個工程完成后承包方需要支付工資多少元？【解答】解：（1）設原來每天加固河堤x米，則采用新的施工機器后每天加固河堤（1+25%）x米，依題意得：+＝26，解得：x＝80，經檢驗，x＝80是原方程的解，且符合題意．答：原來每天加固河堤80米．（2）施工800米所需時間為800÷80＝10（天），∴承包方需要支付工資為800×10+800×（1+25%）×（26﹣10）＝800×10+800×125%×16＝8000+16000＝24000（元）．答：整個工程完成后承包方需要支付工資24000元．10.（2021秋?蕪湖期末）為積極創(chuàng)建全國文明城市，甲、乙兩工程隊承包了我市某街道路面改造工程．若由甲、乙兩工程隊合做20天可以完成；若甲工程隊先單獨施工40天，再由乙工程隊單獨施工10天也可以完成．求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要多少天？【解答】解：設甲工程隊單獨完成此項工程需要x天，則甲工程隊的工作效率為，乙工程隊的工作效率為（﹣），依題意得：+10（﹣）＝1，解得：x＝60，經檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意，∴乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)為1÷（﹣）＝1÷（﹣）＝30．11.（2021秋?寧遠縣校級月考）某校為美化校園，計劃對面積為1800m2的區(qū)域進行綠化，安排甲、乙兩個工程隊完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的2倍，并且在獨立完成面積為400m2區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天．（1）求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是多少m2？（2）若學校每天需付給甲隊的綠化費用為0.4萬元，乙隊為0.25萬元，要使這次的綠化總費用不超過8萬元，至少應安排甲隊工作多少天？【解答】解：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x（m2），根據(jù)題意得：﹣＝4，解得：x＝50，經檢驗x＝50是原方程的解，則甲工程隊每天能完成綠化的面積是50×2＝100（m2），答：甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是100m2、50m2；（2）設應安排甲隊工作y天，根據(jù)題意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10，答：至少應安排甲隊工作10天．12．（2021?桃江縣模擬）為落實“美麗撫順”的工作部署，市政府計劃對城區(qū)道路進行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊完成．已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的倍，甲隊改造360米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用3天．（1）甲、乙兩工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米？（2）若甲隊工作一天需付費用7萬元，乙隊工作一天需付費用5萬元，如需改造的道路全長1200米，改造總費用不超過145萬元，至少安排甲隊工作多少天？【解答】解：（1）設乙工程隊每天能改造道路的長度為x米，則甲工程隊每天能改造道路的長度為x米，根據(jù)題意得：﹣＝3，解得：x＝40，經檢驗，x＝40是原分式方程的解，且符合題意，∴x＝×40＝60．答：乙工程隊每天能改造道路的長度為40米，甲工程隊每天能改造道路的長度為60米．（2）設安排甲隊工作m天，則安排乙隊工作天，根據(jù)題意得：7m+5×≤145，解得：m≥10．答：至少安排甲隊工作10天．13．（2021秋?灌陽縣期中）某工廠計劃在規(guī)定時間內生產24000個零件．若每天比原計劃多生產30個零件，則在規(guī)定時間內可以多生產300個零件．（1）求原計劃每天生產的零件個數(shù)和規(guī)定的天數(shù)；（2）為了提前完成生產任務，工廠在安排原有工人按原計劃正常生產的同時，引進5組機器人生產流水線共同參與零件生產，已知每組機器人生產流水線每天生產零件的個數(shù)比20個工人原計劃每天生產的零件總數(shù)還多20%．按此測算，恰好提前兩天完成24000個零件的生產任務，求原計劃安排的工人人數(shù)．【解答】解：（1）設原計劃每天生產的零件x個，依題意有＝，解得x＝2400，經檢驗，x＝2400是原方程的根，且符合題意．∴規(guī)定的天數(shù)為24000÷2400＝10（天）．答：原計劃每天生產的零件2400個，規(guī)定的天數(shù)是10天；（2）設原計劃安排的工人人數(shù)為y人，依題意有[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）＝24000，解得y＝480，經檢驗，y＝480是原方程的根，且符合題意．答：原計劃安排的工人人數(shù)為480人．類型二：行程問題14．（2020秋?安丘市期末）星期天，小明和小芳從同一小區(qū)門口同時出發(fā)，沿同一路線去離該小區(qū)1800米的少年宮參加活動，為響應“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”的號召，兩人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，結果小明比小芳早6分鐘到達，求小芳的速度．【解答】解：設小芳的速度是x米/分鐘，則小明的速度是1.2x米/分鐘，根據(jù)題意得：﹣＝6，解得：x＝50，經檢驗x＝50是原方程的解，答：小芳的速度是50米/分鐘．15．（2020秋?紅谷灘區(qū)校級期末）2014年12月28日“青煙威榮”城際鐵路正式開通，從煙臺到北京的高鐵里程比普快里程縮短了81千米，運行時間減少了9小時，已知煙臺到北京的普快列車里程約為1026千米，高鐵平均時速為普快平均時速的2.5倍．（1）求高鐵列車的平均時速；（2）某日王老師要去距離煙臺大約630千米的某市參加14：00召開的會議，如果他買到當日8：40從煙臺至城市的高鐵票，而且從該市火車站到會議地點最多需要1.5小時，試問在高鐵列車準點到達的情況下他能在開會之前到達嗎？【解答】解：（1）設普快的平均時速為x千米/小時，高鐵列車的平均時速為2.5x千米/小時，由題意得，﹣＝9，解得：x＝72，經檢驗，x＝72是原分式方程的解，且符合題意，則2.5x＝180，答：高鐵列車的平均時速為180千米/小時；（2）630÷180＝3.5，則坐車共需要3.5+1.5＝5（小時），王老師到達會議地點的時間為13點40．故他能在開會之前到達．16.（2021春?東港市期末）一汽車從甲地出發(fā)開往相距240km的乙地，出發(fā)后第一小時內按原計劃的速度勻速行駛，1小時后比原來的速度加快，比原計劃提前24min到達乙地，求汽車出發(fā)后第1小時內的行駛速度．【解答】解：設汽車出發(fā)后第1小時內的行駛速度是x千米/小時，根據(jù)題意可得：＝1++，解得：x＝80，經檢驗得：x＝80是原方程的根，答：汽車出發(fā)后第1小時內的行駛速度是80千米/小時．17．（2020秋?白云區(qū)期末）一輛汽車開往距離出發(fā)地180km的目的地，出發(fā)后第一小時內按原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前40分鐘到達目的地，求前一小時的行駛速度．【解答】解：設前一小時的行駛速度為xkm/h，根據(jù)題意可得：+1＝﹣，解得：x＝60，檢驗得：x＝60是原方程的根，答：前一小時的行駛速度為60km/h．18．（2021秋?零陵區(qū)期中）甲、乙兩座城市的中心火車站A，B兩站相距360km．一列動車與一列特快列車分別從A，B兩站同時出發(fā)相向而行，動車的平均速度比特快列車快54km/h，當動車到達B站時，特快列車恰好到達距離A站135km處的C站．求動車和特快列車的平均速度各是多少？【解答】解：設特快列車的平均速度為xkm/h，則動車的速度為（x+54）km/h，由題意，得：＝，解得：x＝90，經檢驗得：x＝90是這個分式方程的解．x+54＝144．答：特快列車的平均速度為90km/h，動車的速度為144km/h．19．（2021春?仁壽縣期中）動車的開通為揚州市民的出行帶來了方便．從揚州到合肥，路程為360km，某趟動車的平均速度比普通列車快50%，所需時間比普通列車少1小時，求該趟動車的平均速度．【解答】解：設普通列車的速度為為xkm/h，動車的平均速度為1.5xkm/h，由題意得，﹣＝1，解得：x＝120，經檢驗，x＝120是原分式方程的解，且符合題意．動車的平均速度＝120×1.5＝180km/h．答：該趟動車的平均速度為180km/h．20．（2021?包頭）小剛家到學校的距離是1800米．某天早上，小剛到學校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在家中，此時離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎自行車按原路返回學校．已知小剛騎自行車時間比跑步時間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小剛跑步的平均速度；（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學校？請說明理由．【解答】解：（1）設小剛跑步的平均速度為x米/分，則小剛騎自行車的平均速度為1.6x米/分，根據(jù)題意，得，解得：x＝150，經檢驗，x＝150是所列方程的根，答：小剛跑步的平均速度為150米/分．（2）他不能在上課前趕回學校，理由如下：由（1）得小剛跑步的平均速度為150米/分，則小剛跑步所用時間為1800÷150＝12（分），騎自行車所用時間為12﹣4.5＝7.5（分），∵在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分，∴小剛從開始跑步回家到趕回學校需要12+7.5+3＝22.5（分）．又∵22.5＞20，∴小剛不能在上課前趕回學校．21．（2020秋?朝陽區(qū)校級期末）從貴陽到廣州，乘特快列車的行程約為1800km，高鐵開通后，高鐵列車的行程約為900km，運行時間比特快列車所用的時間減少了16h．若高鐵列車的平均速度是特快列車平均速度的2.5倍，求特快列車的平均速度．【解答】解：設特快列車的平均速度為xkm/h，根據(jù)題意可列出方程為＝+16，解得x＝90．檢驗：當x＝90時，2.5x≠0．所以x＝90是方程的解．答：特快列車的平均速度為90km/h．22．（2021?黃石模擬）李老師家距學校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半時發(fā)現(xiàn)忘帶，此時離上班時間還有23分鐘，于是他立刻步行回家取，隨后騎電瓶車返回學校．已知李老師騎電瓶車到學校比他步行到學校少用20分鐘，且騎電瓶車的平均速度是步行速度的5倍，李老師到家開門、取、啟動電瓶車等共用4分鐘．（1）求李老師步行的平均速度；（2）請你判斷李老師能否按時上班，并說明理由．【解答】解：（1）設李老師步行的平均速度為xm/分鐘，騎電瓶車的平均速度為5xm/分鐘，由題意得，﹣＝20，解得：x＝76，經檢驗，x＝76是原分式方程的解，且符合題意，則5x＝76×5＝380，答：李老師步行的平均速度為76m/分鐘，騎電瓶車的平均速度為380m/分；（2）由（1）得，李老師走回家需要的時間為：＝12.5（分鐘），騎車走到學校的時間為：＝5，則李老師走到學校所用的時間為：12.5+5+4＝21.5＜23，答：李老師能按時上班．23．（2021?長春模擬）甲、乙兩同學的家與學校的距離均為3000米．甲同學先步行600米，然后乘公交車去學校、乙同學騎自行車去學校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍．甲乙兩同學同時從家出發(fā)去學校，結果甲同學比乙同學早到2分鐘．（1）求乙騎自行車的速度；（2）當甲到達學校時，乙同學離學校還有多遠？【解答】解：（1）設乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，根據(jù)題意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分鐘，經檢驗x＝300是方程的根，答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘；（2）∵300×2＝600米，答：當甲到達學校時，乙同學離學校還有600米．24．（哈爾濱）早晨，小明步行到離家900米的學校去上學，到學校時發(fā)現(xiàn)眼鏡忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼鏡后立即按原路騎自行車返回學校．已知小明步行從學校到家所用的時間比他騎自行車從家到學校所用的時間多10分鐘，小明騎自行車速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度（單位：米/分）是多少；（2）下午放學后，小明騎自行車回到家，然后步行去圖書館，如果小明騎自行車和步行的速度不變，小明步行從家到圖書館的時間不超過騎自行車從學校到家時間的2倍，那么小明家與圖書館之間的路程最多是多少米？【解答】解：（1）設小明步行的速度是x米/分，由題意得：，解得：x＝60，經檢驗：x＝60是原分式方程的解，答：小明步行的速度是60米/分；（2）設小明家與圖書館之間的路程是y米，根據(jù)題意可得：，解得：y≤600，答：小明家與圖書館之間的路程最多是600米．25．（2021春?寬甸縣校級月考）從甲市到乙市乘坐高速列車的路程為180千米，乘坐普通列車的路程為240千米．高速列車的平均速度是普通列車的平均速度的3倍．高速列車的乘車時間比普通列車的乘車時間縮短了2小時．高速列車的平均速度是每小是多少千米？【解答】解：設普通列車平均速度每小時x千米，則高速列車平均速度每小時3x千米，根據(jù)題意得，﹣＝2，解得：x＝90，經檢驗，x＝90是所列方程的根，則3x＝3×90＝270．答：高速列車平均速度為每小時270千米．26．（2021?昆明模擬）李明到離家2.1千米的學校參加初三聯(lián)歡會，到學校時發(fā)現(xiàn)演出道具還放在家中，此時距聯(lián)歡會開始還有48分鐘，于是他立即步行（勻速）回家，在家拿道具用了2分鐘，然后立即騎自行車（勻速）返回學校．已知李明騎自行車到學校比他從學校步行到家用時少20分鐘，且騎自行車的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度是多少？（2）李明能否在聯(lián)歡會開始前趕到學校？【解答】解：（1）設李明步行的速度為x米/分，則騎自行車的速度為3x米/分．依題意，得：﹣＝20，解得：x＝70，經檢驗，x＝70是原方程的解，且符合題意．答：李明步行的速度是70米/分．（2）++2＝42（分鐘），∵42＜48，∴李明能在聯(lián)歡會開始前趕到學校．27．（2021秋?寧遠縣校級月考）從甲地到乙地有兩條公路，一條是全長600km的普通公路，另一條是全長480km的高速公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需的時間．【解答】解：設客車由高速公路從甲地到乙地需x小時，則走普通公路需2x小時，根據(jù)題意得：，解得x＝4經檢驗，x＝4原方程的根，答：客車由高速公路從甲地到乙地需4時．28．（2021秋?綏寧縣期中）徐州至北京的高鐵里程約為700km，甲、乙兩人從徐州出發(fā)，分別乘坐“徐州號”高鐵A與“復興號”高鐵B前往北京．已知A車的平均速度比B車的平均速度慢80km/h，A車的行駛時間比B車的行駛時間多40%，兩車的行駛時間分別為多少？【解答】解：設B車行駛的時間為t小時，則A車行駛的時間為1.4t小時，根據(jù)題意得：﹣＝80，解得：t＝2.5，經檢驗，t＝2.5是原分式方程的解，且符合題意，∴1.4t＝3.5．答：A車行駛的時間為3.5小時，B車行駛的時間為2.5小時．29.（2022春?北碚區(qū)校級期末）甲、乙兩人計劃開車從A地前往B地，已知A、B兩地相距60km，甲的速度是乙的1.5倍，若同時出發(fā)，甲比乙早到半小時．（1）求甲、乙的速度各是多少？（列方程解答）（2）甲、乙同時出發(fā)后，甲在途中發(fā)現(xiàn)忘帶了物品，于是立刻原速返回A地，取到物品后繼續(xù)原速前往B地，最后甲在距離B地10km處追上乙，求甲出發(fā)多久時發(fā)現(xiàn)忘帶了物品？【解答】解：（1）設乙的速度是xkm/h，則甲的速度是1.5xkm/h，依題意得：﹣＝，解得：x＝40，經檢驗，x＝40是原方程的解，且符合題意，∴1.5x＝1.5×40＝60．答：甲的速度是60km/h，乙的速度是40km/h．（2）設甲出發(fā)yh發(fā)現(xiàn)忘帶了物品，依題意得：2y+＝，解得：y＝．答：甲出發(fā)h時發(fā)現(xiàn)忘帶了物品．類型三：銷售問題30．（2022春?田東縣期末）“芒果正宗，源自田東”．田東的桂七芒果，皮薄肉細，多汁香甜、營養(yǎng)豐富、品質上乘，被譽為“果中一絕，果之上品”．現(xiàn)某芒果園有甲、乙兩支專業(yè)采摘隊，已知甲隊比乙隊每天多采摘600公斤芒果，甲隊采摘28800公斤芒果所用的天數(shù)與乙隊采摘19200公斤芒果所用的天數(shù)相同．問甲、乙兩隊每天分別可采摘芒果多少公斤？【解答】解：設乙隊每天可采摘芒果x公斤，則甲隊每天可采摘芒果（x+600）公斤，依題意得：＝，解得：x＝1200，經檢驗，x＝1200是原方程的解，且符合題意，∴x+600＝1200+600＝1800．答：甲隊每天可采摘芒果1800公斤，乙隊每天可采摘芒果1200公斤．31．（2022春?錦州期末）2022年北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可愛、英姿颯爽形象，深受大家喜愛．某商店第一次用3600元購進一批“冰墩墩”玩具，很快售完；該商店第二次購進該“冰墩墩”玩具時，進價提高了20%，同樣用3600元購進的數(shù)量比第一次少了10件．（1）求第一次購進的“冰墩墩”玩具每件的進價是多少元；（2）若兩次購進的“冰墩墩”玩具每件售價均為80元，求該商店兩次購進的“冰墩墩”玩具全部售完的總利潤是多少元？【解答】解：（1）設第一次購進的“冰墩墩”玩具每件的進價為x元，則第二次購進的“冰墩墩”玩具每件的進價為（1+20%）x元，依題意得：﹣＝10，解得：x＝60，經檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意．答：第一次購進的“冰墩墩”玩具每件的進價為60元．（2）第一次購進的“冰墩墩”玩具的數(shù)量為3600÷60＝60（件），第二次購進的“冰墩墩”玩具的數(shù)量為3600÷[60×（1+20%）]＝50（件）．80×（60+50）﹣3600﹣3600＝1600（元）．答：兩次的總利潤為1600元．32.（2022春?大觀區(qū)校級期末）某商場準備購進甲、乙兩種商品進行銷售，若每個甲商品的進價比每個乙商品的進價少2元，且用80元購進甲商品的數(shù)量與用100元購進乙商品的數(shù)量相同．（1）求每個甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？（2）若該商場購進甲商品的數(shù)量比乙商品的數(shù)量的3倍還少5個，且購進甲、乙兩種商品的總數(shù)量不超過95個，則商場最多購進乙商品多少個？【解答】解：（1）設每個甲商品的進價為x元，則每個乙商品的進價為（x+2）元，依題意得：＝，解得：x＝8，經檢驗，x＝8是原方程的解，且符合題意，∴x+2＝8+2＝10．答：每個甲商品的進價為8元，每個乙商品的進價為10元．（2）設購進m個乙商品，則購進（3m﹣5）個甲商品，依題意得：3m﹣5+m≤95，解得：m≤25．答：商場最多購進乙商品25個．33．（2022春?普寧市期末）某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多400元，商城用80000元購進電冰箱的數(shù)量與用64000元購進空調的數(shù)量相等．（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？（2）現(xiàn)在商城準備一次性購進這兩種家電共100臺，要求購進空調數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于13000元，一共有多少種合理的購買方案？【解答】解：（1）設每臺空調的進價為x元，則每臺電冰箱的進價為（x+400）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝1600經檢驗，x＝1600是原方程的解，且符合題意，則x+400＝1600+400＝2000，答：每臺空調的進價為1600元，則每臺電冰箱的進價為2000元．（2）設購進電冰箱m臺（m為正整數(shù)），這100臺家電的銷售總利潤為y元，則y＝（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）＝﹣50m+15000，根據(jù)題意得：，解得：33≤m≤40，∵m為正整數(shù)，∴m＝34，35，36，37，38，39，40，∴一共有7種合理的購買方案．34．（2022春?市南區(qū)期末）某中學舉辦了以“童心繪未來”為主題繪畫比賽．學校計劃購買A、B兩種學習用品獎勵獲獎同學，已知購買一個A種學習用品比購買一個B種學習用品多用20元，若用400元購買A種學習用品的數(shù)量是用160元購買B種學習用品數(shù)量的一半．（1）求A、B兩種學習用品每件多少元？（2）商店給該校購買一個A種學習用品贈送一個B種學習用品的優(yōu)惠，如果該校需要B種學習用品的個數(shù)是A種學習用品個數(shù)的2倍還多8個，且該校購買A、B兩種獎品的總費用不超過670元，那么該校最多可購買多少個A種學習用品？【解答】解：（1）設購買一個B種學習用品需要x元，則購買一個A種學習用品需要（x+20）元．根據(jù)題意得：＝×，解得：x＝5，經檢驗，x＝5是原方程的解，且符合題意，則x+20＝25．答：購買一個A種學習用品需要25元，購買一個B種學習用品需要5元；（2）設該校購買A種學習用品個數(shù)為a個，則購買B種學習用品的個數(shù)是（2a+8﹣a）個．由題意得：25a+5（2a+8﹣a）≤670，解得：a≤21，答：該校最多可購買21個A種學習用品．35．（2022春?龍崗區(qū)期末）為實行鄉(xiāng)村振興計劃，某縣的果蔬加工公司先后兩次購買龍眼，第一次購買龍眼用了56000元；因龍眼大量上市，價格下跌，該公司第二次購買龍眼用了84000元，所購進數(shù)量是第一次的2倍，但進貨單價比第一次便宜了2000元/噸．（1）求該公司第一次購進龍眼多少噸？（2）公司計劃把兩次購買的龍眼加工成龍眼肉和干龍眼，1噸龍眼可加工成龍眼肉0.2噸或干龍眼0.5噸，龍眼肉和干龍眼的銷售價格分別是10萬元/噸和3萬元/噸，若全部的銷售額不少于39萬元，則至少需要把多少噸龍眼加工成龍眼肉？【解答】解：（1）設第一次購買龍眼的單價為x元/噸，根據(jù)題意得：2×＝，解得：x＝8000，將x＝8000代入得第一次購買龍眼7噸．（2）由于第二次購進龍眼數(shù)量是第一次購進龍眼數(shù)量的二倍，則易知第二次購進龍眼14噸，所以兩次一共購進7+14＝21噸龍眼，設把y噸龍眼加工成桂圓肉，則把（21﹣y）噸龍眼加工成龍眼干，由題意得：10×0.2y+3×0.5（21﹣y）≥39，解得：y≥15，∴至少需要把15噸龍眼加工成桂圓肉，36．（2021?天寧區(qū)校級一模）某超市預測某飲料有發(fā)展前途，用1600元購進一批飲料，面市后果然供不應求，又用6000元購進這批飲料，第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍，但單價比第一批貴2元．（1）第一批飲料進貨單價多少元？（2）若二次購進飲料按同一價格銷售，兩批全部售完后，獲利不少于1200元，那么銷售單價至少為多少元？【解答】解：（1）設第一批飲料進貨單價為x元，則第二批飲料進貨單價為（x+2）元，根據(jù)題意得：3?＝，解得：x＝8，經檢驗，x＝8是分式方程的解．答：第一批飲料進貨單價為8元．（2）設銷售單價為m元，根據(jù)題意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，解得：m≥11．答：銷售單價至少為11元．37．（2022春?11．（2021?沙坪壩區(qū)校級開學）某超市用3000元購進某種干果銷售，由于銷售狀況良好，超市又調撥9000元資金購進該種干果，但這次的進價比第一次的進價提高了20%，購進干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千克，如果超市按每千克9元的價格出售，當大部分干果售出后，余下的600千克按售價的8折售完．（1）該種干果的第一次進價是每千克多少元？（2）超市銷售這種干果共盈利多少元？【解答】解：（1）設該種干果的第一次進價是每千克x元，則第二次進價是每千克（1+20%）x元，由題意，得＝2×+300，解得x＝5，經檢驗x＝5是原方程的解．答：該種干果的第一次進價是每千克5元；（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）＝（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000＝1500×9+4320﹣12000＝13500+4320﹣12000＝5820（元）．答：超市銷售這種干果共盈利5820元．38．（2021春?濱?？h期中）寧波火車站北廣場將于2015年底投入使用，計劃在廣場內種植A，B兩種花木共6600棵，若A花木數(shù)量是B花木數(shù)量的2倍少600棵（1）A，B兩種花木的數(shù)量分別是多少棵？（2）如果園林處安排26人同時種植這兩種花木，每人每天能種植A花木60棵或B花木40棵，應分別安排多少人種植A花木和B花木，才能確保同時完成各自的任務？【解答】解：（1）設B花木數(shù)量為x棵，則A花木數(shù)量是（2x﹣600）棵，由題意得：x+2x﹣600＝6600，解得：x＝2400，2x﹣600＝4200，答：B花木數(shù)量為2400棵，則A花木數(shù)量是4200棵；（2）設安排a人種植A花木，由題意得：＝，解得：a＝14，經檢驗：a＝14是原分式方程的解，26﹣a＝26﹣14＝12，答：安排14人種植A花木，12人種植B花木．39．（2021?中寧縣模擬）某商場購進甲、乙兩種商品，甲種商品共用了2000元，乙種商品共用了2400元．已知乙種商品每件進價比甲種商品每件進價多8元，且購進的甲、乙兩種商品件數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種商品的每件進價；（2）該商場將購進的甲、乙兩種商品進行銷售，甲種商品的銷售單價為60元，乙種商品的銷售單價為88元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好，商場決定：甲種商品銷售一定數(shù)量后，將剩余的甲種商品按原銷售單價的七折銷售；乙種商品銷售單價保持不變．要使兩種商品全部售完后共獲利不少于2460元，問甲種商品按原銷售單價至少銷售多少件？【解答】解：（1）設甲種商品的每件進價為x元，則乙種商品的每件進價為（x+8）元．根據(jù)題意，得，＝，解得x＝40．經檢驗，x＝40是原方程的解．答：甲種商品的每件進價為40元，乙種商品的每件進價為48元；（2）甲乙兩種商品的銷售量為＝50．設甲種商品按原銷售單價銷售a件，則（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲種商品按原銷售單價至少銷售20件．40．（2021春?龍華區(qū)校級期中）某商場準備購進甲、乙兩種商品進行銷售，若每個甲商品的進價比每個乙商品的進價少2元，且用80元購進甲商品的數(shù)量與用100元購進乙商品的數(shù)量相同．（1）求每個甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？（2）若該商場購進甲商品的數(shù)量比乙商品的數(shù)量的3倍還少5個，且購進甲、乙兩種商品的總數(shù)量不超過95個，則商場最多購進乙商品多少個？（3）在（2）的條件下，如果甲、乙兩種商品的售價分別是12元/個和15元/個，且將購進的甲、乙兩種商品全部售出后，可使銷售兩種商品的總利潤超過380元，那么該商場購進甲、乙兩種商品有哪幾種方案？【解答】解：（1）設每件乙種商品的進價為x元，則每件甲種商品的進價為（x﹣2）元，根據(jù)題意，得＝，解得：x＝10，經檢驗，x＝10是原方程的根，每件甲種商品的進價為：10﹣2＝8．答：每件甲種商品的進價為8元，每件乙種商品件的進價為10元．（2）設購進乙種商品y個，則購進甲種商品（3y﹣5）個．由題意得：3y﹣5+y≤95．解得y≤25．答：商場最多購進乙商品25個；（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，解得：y＞23．∵y為整數(shù)，y≤25，∴y＝24或25．∴共有2種方案．方案一：購進甲種商品67個，乙商品件24個；方案二：購進甲種商品70個，乙種商品25個．41．（2021?郴州）“七?一”建黨節(jié)前夕，某校決定購買A，B兩種獎品，用于表彰在“童心向黨”活動中表現(xiàn)突出的學生．已知A獎品比B獎品每件多25元，預算資金為1700元，其中800元購買A獎品，其余資金購買B獎品，且購買B獎品的數(shù)量是A獎品的3倍．（1）求A，B獎品的單價；（2）購買當日，正逢該店搞促銷活動，所有商品均按原價八折銷售，故學校調整了購買方案：不超過預算資金且購買A獎品的資金不少于720元，A，B兩種獎品共100件，求購買A，B兩種獎品的數(shù)量，有哪幾種方案？【解答】解：（1）設A獎品的單價為x元，則B獎品的單價為（x﹣25）元，由題意得：＝，解得：x＝40，經檢驗，x＝40是原方程的解，則x﹣25＝15，答：A獎品的單價為40元，則B獎品的單價為15元；（2）設購買A種獎品的數(shù)量為m件，則購買B種獎品的數(shù)量為（100﹣m）件，由題意得：，解得：22.5≤m≤25，∵m為正整數(shù)，∴m的值為23，24，25，∴有三種方案：①購買A種獎品23件，B種獎品77件；②購買A種獎品24件，B種獎品76件；③購買A種獎品25件，B種獎品75件．42．（2020秋?恩施市期末）煙臺享有“蘋果之鄉(xiāng)”的美譽．甲、乙兩超市分別用3000元以相同的進價購進質量相同的蘋果．甲超市銷售方案是：將蘋果按大小分類包裝銷售，其中大蘋果400千克，以進價的2倍價格銷售，剩下的小蘋果以高于進價10%銷售．乙超市的銷售方案是：不將蘋果按大小分類，直接包裝銷售，價格按甲超市大、小兩種蘋果售價的平均數(shù)定價．若兩超市將蘋果全部售完，其中甲超市獲利2100元（其它成本不計）．問：（1）蘋果進價為每千克多少元？（2）乙超市獲利多少元？并比較哪種銷售方式更合算．【解答】解：（1）設蘋果進價為每千克x元，根據(jù)題意得：400×2x+（1+10%）x（﹣400）﹣3000＝2100，解得：x＝5，經檢驗x＝5是原方程的解，答：蘋果進價為每千克5元．（2）由（1）得，每個超市蘋果總量為：＝600（千克），大、小蘋果售價分別為10元和5.5元，則乙超市獲利600×（﹣5）＝1650（元），∵甲超市獲利2100元，∵2100＞1650，∴將蘋果按大小分類包裝銷售，更合算43．（2021春?興慶區(qū)校級期中）為了保護環(huán)境，某開發(fā)區(qū)綜合治理指揮部決定購買A，B兩種型號的污水處理設備共10臺．已知用90萬元購買A型號的污水處理設備的臺數(shù)與用75萬元購買B型號的污水處理設備的臺數(shù)相同，每臺設備價格及月處理污水量如下表所示：污水處理設備A型B型價格（萬元/臺）mm﹣3月處理污水量（噸/臺）220180（1）求m的值；（2）由于受資金限制，指揮部用于購買污水處理設備的資金不超過165萬元，問有多少種購買方案？并求出每月最多處理污水量的噸數(shù)．【解答】解：（1）由90萬元購買A型號的污水處理設備的臺數(shù)與用75萬元購買B型號的污水處理設備的臺數(shù)相同，即可得：，解得m＝18，經檢驗m＝18是原方程的解，即m＝18；（2）設買A型污水處理設備x臺，則B型（10﹣x）臺，根據(jù)題意得：18x+15（10﹣x）≤165，解得x≤5，由于x是整數(shù)，則有6種方案，當x＝0時，10﹣x＝10，月處理污水量為1800噸，當x＝1時，10﹣x＝9，月處理污水量為220+180×9＝1840噸，當x＝2時，10﹣x＝8，月處理污水量為220×2+180×8＝1880噸，當x＝3時，10﹣x＝7，月處理污水量為220×3+180×7＝1920噸，當x＝4時，10﹣x＝6，月處理污水量為220×4+180×6＝1960噸，當x＝5時，10﹣x＝5，月處理污水量為220×5+180×5＝2000噸，答：有6種購買方案，每月最多處理污水量的噸數(shù)為2000噸．44．（2021?章丘區(qū)二模）某專賣店的一張進貨單上有如下信息：A款進貨單價比B款多800元，花38400元購進A款的數(shù)量與花28800元購進B款的數(shù)量相同．（1）求A，B兩款的進貨單價分別是多少元？（2）某周末兩天銷售單上的數(shù)據(jù)，如表所示：日期A款（部）B款（部）銷售總額（元）星期六5840100星期日6741100求A，B兩款的銷售單價分別是多少元？（3）根據(jù)（1）（2）所給的信息，專賣店要花費28000元購進A，B兩款若干部，問有哪幾種進貨方案？根據(jù)計算說明哪種進貨方案獲得的總利潤最高．【解答】解：（1）設B款的進貨單價是x元，則A款的進貨單價是（x+800）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝2400，經檢驗，x＝2400是原方程的解，則x+800＝2400+800＝3200，答：A款的進貨單價是3200元，B款的進貨單價是2400元；（2）設A款的銷售單價是a元，B款的銷售單價是b元，根據(jù)題意得：，解得：，答：A款的銷售單價是3700元，B款的銷售單價是2700元；（3）設購買A款m部，B款n部，根據(jù)題意，得3200m+2400n＝28000，化簡得，4m+3n＝35，∵m、n都是正整數(shù)，∴或或，即有三種進貨方案：方案一：購買A款2部，B款款9部，利潤是：（3700﹣3200）×2+（2700﹣2400）×9＝3700（元）；方案二：購買A款5部，B款款5部，利潤是：（3700﹣3200）×5+（2700﹣2400）×5＝4000（元）；方案三：購買A款8部，B款款1部，利潤是：（3700﹣3200）×8+（2700﹣2400）×1＝4300（元）；∵3700＜4000＜4300，∴選擇方案三獲得的總利潤最高．45．（2021?碧江區(qū)二模）某商店購進A、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等．（1）求購買一個A商品和一個B商品各需要多少元；（2）商店準備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？【解答】解：（1）設購買一個B商品需要x元，則購買一個A商品需要（x+10）元，依題意，得：＝，解得：x＝5，經檢驗，x＝5是原方程的解，且符合題意，∴x+10＝15．答：購買一個A商品需要15元，購買一個B商品需要5元．（2）設購買B商品m個，則購買A商品（80﹣m）個，依題意，得：，解得：15≤m≤16．∵m為整數(shù)，∴m＝15或16．∴商店有2種購買方案，方案①：購進A商品65個、B商品15個；方案②：購進A商品64個、B商品16個．46．（2021?鄭州模擬）在“扶貧攻堅”活動中，某單位計劃選購甲、乙兩種物品慰問貧困戶．已知甲物品的單價比乙物品的單價高10元，若用500元單獨購買甲物品與450元單獨購買乙物品的數(shù)量相同．①請問甲、乙兩種物品的單價各為多少？②如果該單位計劃購買甲、乙兩種物品共55件，總費用不少于5000元且不超過5050元，通過計算得出共有幾種選購方案？【解答】解：①設乙種物品單價為x元，則甲種物品單價為（x+10）元，由題意得：＝解得x＝90經檢驗，x＝90符合題意∴甲種物品的單價為100元，乙種物品的單價為90元．②設購買甲種物品y件，則乙種物品購進（55﹣y）件由題意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050解得5≤y≤10∴共有6種選購方案．47．（2021?羅湖區(qū)校級開學）某校為了改善辦公條件，計劃從廠家購買A、B兩種型號電腦．已知每臺A種型號電腦價格比每臺B種型號電腦價格多0.1萬元，且用10萬元購買A種型號電腦的數(shù)量與用8萬購買B種型號電腦的數(shù)量相同．（1）求A、B兩種型號電腦每臺價格各為多少萬元？（2）學校預計用不多于9.2萬元的資金購進這兩種電腦共20臺，其中A種型號電腦至少要購進10臺，請問有哪幾種購買方案？【解答】解：（1）設求A種型號電腦每臺價格為x萬元，則B種型號電腦每臺價格（x﹣0.1）萬元．根據(jù)題意得：，解得：X＝0.5．經檢驗：x＝0.5是原方程的解，x﹣0.1＝0.4答：A、B兩種型號電腦每臺價格分別是0.5萬元和0.4萬元．（2）設購買A種型號電腦y臺，則購買B種型號電腦（20﹣y）臺．根據(jù)題意得：0.5y+0.4（20﹣