第一章空間向量與立體幾何夯實基礎(chǔ)-01空間向量的線性運(yùn)算（原卷版）

第一章空間向量與立體幾何01空間向量的線性運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)：平面向量的基本概念、基本運(yùn)算有哪些？空間向量的基本概念？線性運(yùn)算是什么？空間向量的共線定理、共面定理如何理解？知識構(gòu)建知識點一空間向量的概念1.定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量2．長度或模：．3．表示方法：①幾何表示法：空間向量用表示；②字母表示法：用字母，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4.幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量的向量叫做零向量，記為0單位向量向量稱為單位向量相反向量與向量a而方向的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線或，那么這些向量叫做向量或向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向且相等的向量稱為相等向量知識點二空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法減法數(shù)乘當(dāng)λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點三共線向量空間兩個向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使2．直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，我們把與向量a的非零向量稱為直線l的方向向量．知識點四共面向量1．共面向量：如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做．2．向量共面的充要條件：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使拓展：對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．三、類型歸納類型一、空間向量的基本概念類型二、空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算類型三：空間向量線性運(yùn)算綜合問題類型四、空間共面向量定理四、類型剖析題型一空間向量概念【例1】下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【跟蹤訓(xùn)練1】下列說法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓C．模長為3的空間向量大于模長為1的空間向量D．不相等的兩個空間向量的?？赡芟嗟阮}型二、空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算【例2】（2024·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，．點M在OA上，且滿足，N為BC的中點，則（

）

A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練21】.（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練22】.（2024·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）在長方體中，等于（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練23】.已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，N為CD中點，如圖所示，則（）A． B．C． D．【跟蹤訓(xùn)練24】.在三棱錐中，為的中點，則（

）A． B．C． D．【跟蹤訓(xùn)練25】.已知三棱錐分別是的中點，是的中點，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【跟蹤訓(xùn)練26】.（2023秋·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谄叫辛骟w中，點M滿足．若，則下列向量中與相等的是（

）A． B．C． D．題型三：空間向量線性運(yùn)算綜合問題【例3】.已知平行六面體，化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：

(1)；(2)；(3).【跟蹤訓(xùn)練3】如圖E，F(xiàn)分別是長方體的棱AB，CD的中點，化簡下列表達(dá)式：(1)； (2)； (3)； (4).題型四、空間共面向量定理【例4】如圖1.19，已知平行四邊形，過平面外一點，作射線，，，，在四條射線上分別取點，，，，使．求證：，，，四點共面．【跟蹤訓(xùn)練4】.五、素養(yǎng)提升：1．（2024·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末）在四面體中，是棱的中點，且，則的值為__________.2.已知四面體，空間的一點滿足，若，，，共面，則實數(shù)的值為.3．為空間任意一點，若，若，，，四點共面，則（

）A．1 B． C． D．六、隨堂檢測：1．下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．若，則，的長度相等而方向相同或相反C．若向量，滿足，則D．相等向量其方向必相同2．在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．3．在空間四邊形中，（

）A． B． C． D．4．如圖：在平行六面體中，為的交點．若，則向量（

）A． B． C． D．5．如圖，在斜棱柱中，與的交點為點M，，，，則（

）A． B．C． D．6．如圖，平行六面體中，分別為的中點.若，則（

）A． B．C． D．二、多選題7．如圖所示，在正方體