第2章二次函數(shù)（知識(shí)歸納題型突破）（原卷版）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記巧練（北師大版）

第2章二次函數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）1．通過對(duì)實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會(huì)二次函數(shù)的意義；2．會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；3．會(huì)根據(jù)公式確定圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對(duì)稱軸，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；4．會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.一、二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).要點(diǎn)：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).(1)的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.3.拋物線中，的作用：(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.(2)和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②(即、同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則.4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式：（a≠0）.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.(可以看成的圖象平移后所對(duì)應(yīng)的函數(shù).)(3)“交點(diǎn)式”：已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).要點(diǎn)：求拋物線（a≠0）的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系函數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒有實(shí)根.通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：的圖象的解方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解方程沒有實(shí)數(shù)解要點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由的值來確定.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒有實(shí)根.四、利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟是：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)把實(shí)際問題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來；(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.要點(diǎn)：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.目錄：題型一二次函數(shù)的概念題型二確定二次函數(shù)的表達(dá)式題型三二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)題型四由二次函數(shù)的圖像判斷有關(guān)符號(hào)問題題型五二次函數(shù)與方程、不等式題型六二次函數(shù)的應(yīng)用題型七二次函數(shù)綜合解答題題型一二次函數(shù)的概念【例1】下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練：1．若是二次函數(shù)，則的值是（

）A．或2 B．4 C．2 D．2．正方形的邊長(zhǎng)為3，若邊長(zhǎng)增加，則面積增加，與的關(guān)系式為（）A． B．C． D．3．已知二次函數(shù)的圖象開口向上，則m的值是．4．已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則代數(shù)式的值為．題型二確定二次函數(shù)的表達(dá)式【例2】已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和且過點(diǎn)，拋物線的解析式為．鞏固訓(xùn)練：1．已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線相同，且它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則這條拋物線的解析式為．2．已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，則該二次函數(shù)的表達(dá)式是題型三二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例3】拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．鞏固訓(xùn)練：1．拋物線過點(diǎn)，，則此拋物線的對(duì)稱軸是直線．2．若將函數(shù)的圖象向上平移5個(gè)單位，再向右平行移動(dòng)1個(gè)單位，得到的拋物線是（）A． B．C． D．3．將拋物線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，得到的拋物線的解析式為．4．關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A．圖象的對(duì)稱軸是直線 B．圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而增大 D．當(dāng)時(shí)，y取得最大值，且最大值為35．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

6．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減小，則m的取值范圍為．7．在關(guān)于x的二次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，則的值為．題型四由二次函數(shù)的圖像判斷有關(guān)符號(hào)問題【例4】．如圖，若二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)．則：①二次函數(shù)的最大值為；②；③；④當(dāng)時(shí)，；⑤．其中正確的個(gè)數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4鞏固訓(xùn)練：1．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．下列結(jié)論：①；②；③若拋物線上有點(diǎn)，，，則；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．12．已知二次函數(shù)，，都是常數(shù)，且的圖象與軸交于點(diǎn)，、，，且，與軸的正半軸的交點(diǎn)在，的下方，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤是常數(shù)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)題型五二次函數(shù)與方程、不等式【例5】．二次函數(shù)的圖像如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程（t為實(shí)數(shù)）的解滿足，則t的取值范圍是（）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：拋物線與坐標(biāo)軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則的值為．2．一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A． B． C． D．或3．已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1且小于2，則m的取值范圍是．題型六二次函數(shù)的應(yīng)用【例6】．在羽毛球比賽中，某次羽毛球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分（如圖，水平地面為x軸，單位：米），則羽毛球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)離地面的距離是（

）A．1米 B．3米 C．5米 D．米鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)．若，兩點(diǎn)分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動(dòng)過程中，的最大面積是（）A． B． C． D．2．小明周末外出游玩時(shí)看到某公園有一圓形噴水池，如圖1，簡(jiǎn)單測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：圓形噴水池直徑為，水池中心處立著一個(gè)圓柱形實(shí)心石柱，在圓形噴水池的四周安裝了一圈噴頭，噴射出的水柱呈拋物線型，水柱在距水池中心處到達(dá)最大高度為，從各方向噴出的水柱在石柱頂部的中心點(diǎn)處匯合，小明根據(jù)圖示建立了平面直角坐標(biāo)系，如圖2，則的高度是（）

A． B． C． D．3．如圖，在等邊中，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q是上的一點(diǎn)，滿足．若的面積為S，，則S與x之間的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．題型七二次函數(shù)綜合解答題【例7】．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，而一次函數(shù)的圖象也經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)求k，b的值；(2)結(jié)合圖象直接寫出的解集．鞏固訓(xùn)練：1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)求它的頂點(diǎn)P坐標(biāo)；(2)求它與x軸的交點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在左側(cè)）坐標(biāo)．(3)求的面積．2．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)在該拋物線上，求b的值；(3)若點(diǎn)，在此拋物線上，比較與大?。?．一名運(yùn)動(dòng)員在高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度與離起跳點(diǎn)的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)的水平距離為時(shí)達(dá)到最大高度為．

(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)．4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)若，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(2)已知點(diǎn)，，都在該拋物線上，若，求的取值范圍．5．如圖，一小球M（看成一個(gè)點(diǎn)）從斜坡上的O點(diǎn)處拋出，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球到達(dá)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，解答下列問題：(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)小球落點(diǎn)為A，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在斜坡上的B點(diǎn)有一棵樹（看成線段且垂直于x軸），B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，樹高為，小球M能否飛過這棵樹？通過計(jì)算說明理由，6．如圖，拋物線交軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，與過點(diǎn)且平行于軸的直線交于另一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)恰好落在軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．7．如圖所示，拋物線與