2023-2024學年七年級數(shù)學下冊單元速記·巧練（湘教版）第五章 軸對稱與旋轉（壓軸題專練）（解析版）

第五章軸對稱與旋轉（壓軸題專練）一、選擇題1．（2024·山東濟寧·一模）在平面直角坐標系中，等邊如圖放置，點的坐標為，每一次將繞著點順時針方向旋轉，同時每邊擴大為原來的倍，第一次旋轉后得到，第二次旋轉后得到，，依次類推，則點的坐標為（）

A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了圖形旋轉的坐標的規(guī)律計算，分別求出每次旋轉后點的對應點的坐標，發(fā)現(xiàn)點A的坐標變化規(guī)律即可求解，熟練掌握正三角形邊角性質，正確探究發(fā)現(xiàn)點坐標的變化規(guī)律并運用規(guī)律解決問題是解題的關鍵．【詳解】由題意可得：第一次旋轉后，，點，第二次旋轉后，，點，第三次旋轉后，，點，第四次旋轉后，，點，第五次旋轉后，，點，第六次旋轉后，，點，第七次旋轉后，，點，，第七次旋轉后，，，點，故選：．2．（22-23八年級上·貴州黔南·期末）如圖，在中，，，沿過點的直線折疊這個三角形，使點落在邊上的點處，為折痕，若，則邊長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質，三角形的面積，由折疊可得，，進而由得到，根據(jù)三角形面積即可得到，進而求解，由折疊的性質得到是解題的關鍵．【詳解】解：由折疊可得，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，故選：．3．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，在中，，，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在邊上的點E處，折痕為，若，則的長是（

）．

A． B． C． D．2【答案】A【分析】由折疊的性質可得：，，，如圖，過點D作于點M，作于點N，則可得，則，，求出，即可求解．【詳解】解：由折疊的性質可得：，，，如圖，過點D作于點M，作于點N，則，

∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．4．（22-23八年級上·河南駐馬店·階段練習）如圖，長方形的兩邊分別在x軸，y軸上，點C與原點重合，點，將長方形沿x軸向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾點A對應點記為，經(jīng)過第二次翻滾點A對應點記為……依此類推，經(jīng)過2022次翻滾后點A對應點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求得前幾個點的坐標，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：如圖所示：

點，進過一次翻滾后，再經(jīng)過一次翻滾后，，再經(jīng)過一次翻滾后，再經(jīng)過一次翻滾后可得：經(jīng)過4次翻滾后點對應點一循環(huán)，∵，矩形的周長為∴經(jīng)過2022次翻滾后點A對應點的坐標為，即故選：B5．（22-23八年級上·江蘇淮安·期末）如圖，在中，，點P、Q分別是邊上的動點，則的最小值等于（

）

A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】由勾股定理可得，作A關于的對稱點，過點作，交于點，交于點，根據(jù)對稱可得：，得到當三點共線時，最小，再根據(jù)垂線段最短，得到時，最小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：在中，，∴作A關于的對稱點，過點作，交于點，交于點，

∵，∴當三點共線時，最小，∵垂線段最短，∴時，最小，連接，∵關于對稱，∴，∴，∵，∴，即：，∴．故選D．6．（22-23八年級下·湖南懷化·期末）如圖，點B在x軸上，，將繞點O按順時針方向旋轉，每次旋轉，則第2023次旋轉結束后，點B所在位置的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷三角形繞點O順時針旋轉，每次旋轉，可得旋轉3次為一個循環(huán)．再分別求解第次，第次，第次旋轉后的坐標，由規(guī)律得到第次旋轉后與第1次旋轉后的位置相同即可解答．【詳解】解：，∵三角形繞點O順時針旋轉，每次旋轉，∴旋轉3次為一個循環(huán)．第1次旋轉，如圖，過作軸于由旋轉的性質可得：

點B所在位置的坐標為；第2次旋轉，如圖，過作軸于此時與軸重合，

同理可得：點B所在位置的坐標為；第3次旋轉，如圖，三角形回到原位置，

所以點B所在位置的坐標為；……∵，∴第次旋轉后，與第次旋轉后的位置相同，所以點B所在位置的坐標為．故選：A．7．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，，點到的距離是2，到的距離是3，，分別是，上的動點，則周長的最小值是（

）A． B． C．9 D．【答案】A【分析】作點分別關于、的對稱點、，連接，分別交、于，則，，，，′，則，，此時周長最小，為，據(jù)此解答即可．【詳解】作點分別關于、的對稱點、，連接，分別交、于，，則，，，，′，∴，，∴此時周長最小，為，延長，交與．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即周長的最小值是．故選：A．二、填空題8．（2024·河南·一模）如圖，在等腰中，，，點是射線上的一點，且，連接，以為直角頂點，在的左側作等腰直角，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接，交于點，則的長為．【答案】或【分析】連接，分點在線段上，點在線段的延長線上兩種情況，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到，，求出，根據(jù)全等三角形點的性質與判定，以及勾股定理，即可求解，本題考查了全等三角形的性質與判定，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是：根據(jù)點的兩種情況進行討論．【詳解】解：如圖，當點在線段上時，連接，∵是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，在與，，，∴，，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，如圖，當點在線段的延長線上時，連接，同理可得，，∴，∴，綜上所述，的長為或，故答案為：或．9．（23-24九年級上·吉林長春·期末）如圖，是等腰直角三角形，是斜邊，點P是內(nèi)一定點，延長至點，將繞點A旋轉后，與重合，如果，那么．【答案】2【分析】本題考查旋轉的性質∶旋轉變化前后，對應點到旋轉中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相等．根據(jù)旋轉的性質和全等三角形的性質解答可知．【詳解】∵繞點旋轉后能與重合，，故答案為：2．10．（22-23八年級下·四川成都·階段練習）如圖1．和中，，，，與重疊．若繞點O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉不停．在旋轉過程中．若和中有一組邊平行，則稱之為一次“邊平行”，當旋轉到秒時，第三次邊平行；當旋轉到秒時，第2022次邊平行．

【答案】【分析】畫出第三次平行的圖像，得到三次平行時，計算出繞點O旋轉，即可求得時間；由同一種邊平行之間相差180度可得繞點O旋轉一周有6次邊平行出現(xiàn)，再求出繞點O按每秒旋轉一周所用時間及2022次邊平行需要轉幾周，進行求解即可．【詳解】解：第三次邊平行時，如下圖所示，此時，

∵，∴，∵，∴，∴此時繞點O旋轉，∴旋轉時間為：秒；由圖2得，第一次平行時，即，∵，∴，∴,故第一次平行時，繞點O旋轉；當旋轉角度大于時，時，，由此可得，繞點O旋轉一周有6次邊平行出現(xiàn)，∵繞點O按每秒旋轉一周所用時間為秒，∵周，∴秒，故答案為：，秒．11．（23-24九年級上·遼寧鞍山·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，將繞點順時針旋轉到的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將繞點順時針旋轉到的位置，點在軸上，將繞點順時針旋轉到的位置，點在軸上，依次進行下去…，若點、，則點的橫坐標為．

【答案】【分析】可求，，，，可得當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，即可求解．【詳解】解：由題意得，，，，，，，，，，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，當時，，，故答案∶12．（22-23七年級下·福建龍巖·階段練習）如圖1紙片（），將按如圖2所示沿著折疊至，與線段交于，，點在線段上，若將按如圖3所示沿著折疊至，且在線段的延長線上，點在線段上，則．（用含的式子表示）

【答案】【分析】先根據(jù)鄰補角性質求得，再由平行線性質與折疊性質求得，再根據(jù)折疊性質求得，最后用角的和差求得結果便可．【詳解】解：，，，，，由折疊性質得，，．故答案為：．13．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，，將折疊，使得點恰好落在邊上的點出，折痕為，為折痕上一動點，則周長的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)由沿對稱,得到，進而表示出，最后求周長即可．【詳解】由沿對稱得到，則E與C關于直線對稱，，∴，如圖,連接，由題意得，∴，當P在邊上，即D點時取得最小值6，∴周長為，最小值為．故答案為:．14．（22-23九年級上·遼寧沈陽·期中）如圖，四邊形為矩形，，，點P為邊上一點，以為折痕將折疊，點A的對應點為點A′，連接，交于點M，點Q為線段上一點，連接，，則的最小值是．【答案】【分析】作點A關于的對稱點T，取的中點R，連接，，，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質和勾股定理求出，，根據(jù)三邊關系求出的最小值，再根據(jù)，可得結論．【詳解】如圖所示：點A關于的對稱點T，取的中點R，連接，，，，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∵A、關于對稱，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴的最小值為，∵，∴，∴的最小值為，故答案為：．15．（21-22七年級下·湖北武漢·階段練習）如圖1所示為一條足夠長的長方形紙帶，其中PN∥QM，點A、B分別在PN、QM上，記∠ABM＝α（0＜α＜90°）；如圖2，將紙帶第一次沿BR1折疊成圖2，使BM與BA重合；如圖3，將紙條展開后第二次再折疊，使BM與BR1重合，第三次沿AR2折疊成圖4，第四次沿BR2折疊成圖5，按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住∠AR2B，整個過程共折疊了9次，則α＝°．【答案】80°/80度【分析】根據(jù)題意，可知第9次折疊時，剛好與重合，根據(jù)折疊的性質，則有平角被平分成了9個角，則，再根據(jù)折疊的性質，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，可知第9次折疊時，剛好與重合，作圖如下：根據(jù)折疊的性質，則有平角被平分成了（9-1+1）個角，∴，∵，∴，∵根據(jù)折疊的性質有，，∴，∴，∴，故答案為：80°．三、解答題16．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）新定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角．如圖1，若射線在的內(nèi)部，且，則是的內(nèi)半角，根據(jù)以上信息，解決下面的問題：(1)如圖1，，若是的內(nèi)半角，則______，______．(2)如圖2，已知，將繞點按順時針方向旋轉一個角度至．若是的內(nèi)半角，求的值．(3)把一塊含有角的三角板按圖3方式放置，使邊與邊重合，邊與邊重合，如圖4，將三角板繞頂點以4度/秒的速度按順時針方向旋轉一周，旋轉時間為秒，當射線構成內(nèi)半角時，請求出的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）本題主要考查了角的和差，先根據(jù)題意算出的度數(shù)，再利用即可解答；弄清楚角之間的關系是解題的關鍵；（2）本題主要考查看旋轉的性質、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應用等知識點，根據(jù)旋轉性質可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度數(shù)，根據(jù)是的內(nèi)半角，即可求出α的值即可；掌握內(nèi)半角的定義是解題的關鍵；（3）本題主要考查了旋轉的性質、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應用等知識點，根據(jù)旋轉一周構成內(nèi)半角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對應t值即可．掌握分類討論思想是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵是的內(nèi)半角，，∴，∴．故答案為：，．（2）解：由旋轉性質可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：．∴的值為．（3）解：①如圖4：此時是的內(nèi)半角，由旋轉性質可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；②如圖：此時是的內(nèi)半角，由旋轉性質可得：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；③如圖所示，此時是的內(nèi)半角，由旋轉性質可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；④如圖所示，此時是的內(nèi)半角，由旋轉性質可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：．綜上所述：當射線構成內(nèi)半角時，t的值為或或或．17．（23-24七年級上·福建泉州·階段練習）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角、如圖①所示，若，則是的內(nèi)半角.(1)如圖①所示，已知，，是的內(nèi)半角，則______；(2)如圖②，已知，將繞點O按順時針方向旋轉一個角度至，當旋轉的角度為何值時，是的內(nèi)半角？(3)已知，把一塊含有角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點O以/秒的速度按順時針方向旋轉，如圖④，問：在旋轉一周的過程中，射線，，，能否構成內(nèi)半角？若能，請求出旋轉的時間；若不能，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)能，當旋轉的時間為或或或時，射線，，，能構成內(nèi)半角.【分析】（1）根據(jù)內(nèi)半角的定義，即可求解；（2）根據(jù)旋轉的性質可得：，，再根據(jù)內(nèi)半角的定義，即可求解；（3）分四種情況討論，利用內(nèi)半角的含義，建立一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵是的內(nèi)半角，，∴∵，∴，（2）∵，，∴，，∵是的內(nèi)半角，∴，∴，∴旋轉的角度為21°時，是的內(nèi)半角；（3）在旋轉一周的過程中，射線，，，能構成內(nèi)半角，理由如下；理由：設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為t，如圖1，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴；如圖2，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴；如圖3，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴，如圖4，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴，綜上所述，當旋轉的時間為或或或時，射線，，，能構成內(nèi)半角.18．（23-24七年級上·河北石家莊·期中）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角．如圖①所示，若，則是的內(nèi)半角．(1)如圖①所示，已知，是的內(nèi)半角，則____，若，_____；(2)如圖②，已知，將繞點O按順時針方向旋轉一個角度至，當旋轉的角度為何值時，是的內(nèi)半角？請說明理由；(3)已知，把一塊含有角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點O以/秒的速度按順時針方向旋轉，如圖④，問：在旋轉一周的過程中，且射線始終在的外部，射線能否構成內(nèi)半角？若能，請直接寫出旋轉的時間；若不能，請說明理由．【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)或30或90【分析】本題考查了新定義，角的相關計算，旋轉的性質，解題關鍵是理解什么是內(nèi)半角的定義．（1）根據(jù)題意算出的度數(shù)，利用即可算出的度數(shù)；（2）根據(jù)旋轉性質可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度數(shù)，根據(jù)是的內(nèi)半角，即可求出α的值；（3）根據(jù)旋轉一周構成內(nèi)半角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對應t值即可．【詳解】（1）∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，故答案為：，；（2）由旋轉性質可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；（3）①如圖4所示，此時是的內(nèi)半角，設旋轉時間為t，由旋轉性質可知：，∴，，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；②如圖所示，此時是的半角，由旋轉性質可得：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；③如圖所示，此時是的內(nèi)半角，由旋轉性質可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；④如圖所示，此時是的內(nèi)半角，由旋轉性質可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：（此情況不符合題意，舍去）；綜上所述：當射線構成內(nèi)半角時，t的值為或30或90．19．（23-24七年級上·浙江金華·階段練習）如圖1，點O為直線上一點，將兩個含角的三角板和三角板如圖擺放，使三角板的一條直角邊、在直線上，其中．

(1)將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得邊在的內(nèi)部且平分，求旋轉角？(2)三角板在繞點O按逆時針方向旋轉時，若在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關系，并說明理由；(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度按順時針方向旋轉，同時將三角板繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉，將射線繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉，旋轉后的射線記為，射線平分，射線平分，當射線、重合時，射線改為繞點O以原速按順時針方向旋轉，在與第二次相遇前，當時，求出旋轉時間t的值．【答案】(1)(2)當在外部時，，當在內(nèi)部時，，理由見解析(3)或或60或70秒【分析】（1）先根據(jù)平分，得到，即可求出；（2）先根據(jù)題意可得，，然后作差即可；（3）先求出旋轉前與的夾角，然后再求出與第一次和第二次相遇所需要的時間，再設在與第二次相遇前，當時，需要旋轉時間為t，再分在的左側和在的右側兩種情況解答即可．【詳解】（1）平分，，三角板旋轉的角：，（2）當在外部時，，理由如下：，，，，；當在內(nèi)部時，，理由如下：，，；（3）射線平分，射線平分，，，選擇前與的夾角為，與第一次相遇的時間為秒，此時旋轉的角度為，此時OC與OE的夾角為，與第二次相遇的時間為（秒），設在與第二次相遇前，當時，需要旋轉時間為t，①，解得，；②，解得，；③，解得，，；④，解得，，，在與第二次相遇前，當時，旋轉時間t為或或60或7020．（23-24七年級上·江蘇常州·期末）如圖，在的內(nèi)部繞點O自由旋轉，旋轉過程中、的大小始終保持不變，其中．首先繞點O順時針勻速旋轉，旋轉速度為每秒，旋轉開始前與重合，當旋轉至與重合時，立即再以另一速度繞點O逆時針勻速旋轉，當旋轉至與重合時，旋轉停止，設時間為t秒，記，W用含t的代數(shù)式表示，已知繞點O順時針勻速旋轉過程中，當和時，與之對應的W的兩個值互為相反數(shù)；從開始旋轉到最后停止，整個過程總用時秒．(1)繞點O順時針勻速旋轉過程中，W的值的變化情況：______（填“由負到正”或“由正到負”）；(2)求的大小及逆時針旋轉時的速度；(3)在整個旋轉過程中，若，直接寫出t的值．【答案】(1)由負到正(2)，(3)或18【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用、角的計算等知識點，理解題意、表示出相關角以及分類討論思想是解題的關鍵．（1）在繞點O順時針勻速旋轉過程中，從逐漸增大到，從逐漸減小到，結合即可解答；（2）設的度數(shù)為，分別表示出和時的，然后根據(jù)題意列出關于x的一元一次方程列式可求得的度數(shù)，再利用時間等于的度數(shù)與的差除以順時針旋轉的速度可得順時針旋轉的時間，進而求得逆時針旋轉的時間，最后求出逆時針旋轉速度即可；（3）分及兩種情況，分別表示出、，再根據(jù)題意列出關于t的方程求解即可．【詳解】（1）解：繞點O順時針勻速旋轉過程中，從逐漸增大到，從逐漸減小到，∵，∴的值的變化情況是由負到正．故答案為：由負到正．（2）解：設的度數(shù)為，當時，，當時，，根據(jù)題意得，，，，，∴,∵，∴逆時針旋轉時的速度為．答：的大小為，逆時針旋轉時的速度為每秒．（3）解：當時，、，，解得:；當時，、，，解得:．答：當W=60時，t的值為或18．21．（23-24七年級上·浙江金華·期末）東東發(fā)現(xiàn)折紙中蘊含著豐富的數(shù)學問題，他將長方形紙片按如圖1所示折疊，點F在邊上，點E，G在其它三邊上，和為兩條折痕，且折疊后重疊的紙片最多不超過三層．東東在探究的過程中，發(fā)現(xiàn)隨著點E，G的位置變化而變化，為了研究方便，把記為，記為．

(1)