浙江省杭州市拱墅區(qū)上海世界外國語中學(xué)2023--2024學(xué)年上學(xué)期九年級期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)上海世界外國語中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10題，每題3分，30分）1．（3分）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．2．（3分）把一枚均勻的骰子拋擲一次，朝上面的點數(shù)為6的概率是A．0 B． C． D．13．（3分）關(guān)于二次函數(shù)的最值，下列敘述正確的是A．當(dāng)時，有最小值0 B．當(dāng)時，有最大值0 C．當(dāng)時，有最小值1 D．當(dāng)時，有最大值14．（3分）如圖，直線，則A． B． C． D．5．（3分）如圖，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到，點恰好落在上，若，則旋轉(zhuǎn)的角度為A． B． C． D．6．（3分）如圖，是的直徑，弦于點，若，，則下列說法正確的是A．的長為 B．的長為3 C．的長為12 D．的長為107．（3分）為了解某市九年級男生的身高情況，隨機抽取了該市100名九年級男生，他們的身高統(tǒng)計如下：組別人數(shù)1542385根據(jù)以上結(jié)果，全市約有3萬名男生，估計全市男生的身高不高于的人數(shù)是A．28500 B．17100 C．10800 D．15008．（3分）已知二次函數(shù)，它的圖象可能是A． B． C． D．9．（3分）如圖，已知，，，四邊形的面積為12，若經(jīng)過的重心，則的面積為A．25 B．26 C．27 D．2810．（3分）如圖，已知是的直徑，半徑，點在劣弧上（不與點，點重合），與交于點．設(shè)，，則A． B． C． D．二、填空題（共6題，每題4分，24分）11．（4分）有一枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子各個面上的點數(shù)分別為．任意拋擲這枚骰子，朝上面的點數(shù)為3的概率是．12．（4分）已知，那么的值為．13．（4分）已知拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的拋物線表達式為．14．（4分）如圖，、是的直徑，弦，交于點，，則．15．（4分）如圖，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點、、三個點，則不等式的解是．16．（4分）如圖，是半圓的直徑，是半圓的弦，沿弦折疊交直徑于點．（1）當(dāng)時，則的長為；（2）當(dāng)，時，則的長為．三、解答題（共8題，66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．當(dāng)時，求函數(shù)值．18．游戲者用下面兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做游戲，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形．讓兩個轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動一次．（1）求兩次數(shù)字之和為4的概率；（2）若兩次數(shù)字之積大于2，則游戲者獲勝，請求出游戲者獲勝的概率．19．如圖，某零件的截面為弓形．（1）請用直尺和圓規(guī)作出該弓形的圓心；（2）若，弓形的高為1．求弓形的半徑．20．如圖，已知．（1）求證：；（2）若，，求的長．21．如圖，在中，點，分別在邊，上且，連接，．（1）求證：．（2）若點為中點，，的面積為50，求的面積．22．如圖，是的直徑，弦于點，連接，，（1）求證：．（2）作于點，若的半徑為5，，求的長．23．已知函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中．（1）若經(jīng)過點，求的函數(shù)表達式．（2）若經(jīng)過點，判斷與圖象交點的個數(shù)，說明理由．（3）若經(jīng)過點，，且對任意，都有，請利用圖象求的取值范圍．24．已知鈍角三角形內(nèi)接于，、分別為、的中點，連接．（1）如圖1，當(dāng)點、、在同一條直線上時，求證：．（2）如圖2，當(dāng)、、不在同一條直線上時，取的中點，連接交于點，當(dāng)時．①求證：是等腰三角形；②如圖3，連并延長交于點，連接．求證：．

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)上海世界外國語中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10題，每題3分，30分）1．（3分）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．【分析】利用二次函數(shù)定義進行分析即可．【解答】解：、不是二次函數(shù)，故此選項不合題意；、是二次函數(shù)，故此選項符合題意；、不是二次函數(shù)，故此選項不合題意；、不是二次函數(shù)，是一次函數(shù)，故此選項不合題意；故選：．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．2．（3分）把一枚均勻的骰子拋擲一次，朝上面的點數(shù)為6的概率是A．0 B． C． D．1【分析】根據(jù)概率公式即可得．【解答】解：任意拋擲一次骰子共有6種等可能結(jié)果，其中朝上面的點數(shù)恰為6的只有1種，朝上面的點數(shù)恰為6的概率是，故選：．【點評】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（3分）關(guān)于二次函數(shù)的最值，下列敘述正確的是A．當(dāng)時，有最小值0 B．當(dāng)時，有最大值0 C．當(dāng)時，有最小值1 D．當(dāng)時，有最大值1【分析】由拋物線解析式可求得開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)，可求得答案．【解答】解：，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，有最大值1；正確，故選：．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在中，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為．4．（3分）如圖，直線，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理得到或，然后利用比例的性質(zhì)得到，于是可對各選項進行判斷．【解答】解：，或，．故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．5．（3分）如圖，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到，點恰好落在上，若，則旋轉(zhuǎn)的角度為A． B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可求解．【解答】解：將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到，，，，，，，即旋轉(zhuǎn)的角度為，故選：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，是的直徑，弦于點，若，，則下列說法正確的是A．的長為 B．的長為3 C．的長為12 D．的長為10【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，求出和，再根據(jù)勾股定理求出，再得出答案即可．【解答】解：連接，，，由勾股定理得：，即，，，，，，即只有選項正確，選項、選項、選項都錯誤；故選：．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識點，能熟記勾股定理是解此題的關(guān)鍵．7．（3分）為了解某市九年級男生的身高情況，隨機抽取了該市100名九年級男生，他們的身高統(tǒng)計如下：組別人數(shù)1542385根據(jù)以上結(jié)果，全市約有3萬名男生，估計全市男生的身高不高于的人數(shù)是A．28500 B．17100 C．10800 D．1500【分析】用總?cè)藬?shù)乘以樣本中男生的身高不高于的人數(shù)所占比例即可．【解答】解：估計全市男生的身高不高于的人數(shù)是（名，故選：．【點評】本題主要考查頻數(shù)（率分布表和用樣本估計總體，從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本，我們很難從一個個數(shù)字中直接看出樣本所包含的信息．這時，我們用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，從而去估計總體的分布情況．8．（3分）已知二次函數(shù)，它的圖象可能是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法，可以判斷各個選項中的圖象是否正確，本題得以解決．【解答】解：二次函數(shù)，當(dāng)時，，即該函數(shù)的圖象過點，故選項錯誤；該函數(shù)的頂點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，該函數(shù)圖象開口向上，頂點的橫坐標(biāo)小于，故選項正確，選項錯誤；當(dāng)時，該函數(shù)圖象開口向下，頂點的橫坐標(biāo)大于，故選項錯誤；故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．9．（3分）如圖，已知，，，四邊形的面積為12，若經(jīng)過的重心，則的面積為A．25 B．26 C．27 D．28【分析】設(shè)重心為，則，根據(jù)三角形相似的判定與性質(zhì)可得，，，列出方程組并求解即可．【解答】解：經(jīng)過的重心，，，，，，，，，設(shè)的面積為，則的面積為，的面積為，四邊形的面積為，，，．故選：．【點評】本題考查的是重心的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，得到面積的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，已知是的直徑，半徑，點在劣弧上（不與點，點重合），與交于點．設(shè)，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用表示，進而由圓心角與圓周角關(guān)系，用表示，最后由角的和差關(guān)系得結(jié)果．【解答】解：，，，，，，，故選：．【點評】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是用表示．二、填空題（共6題，每題4分，24分）11．（4分）有一枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子各個面上的點數(shù)分別為．任意拋擲這枚骰子，朝上面的點數(shù)為3的概率是．【分析】由題意知，共有6種等可能的結(jié)果，其中朝上面的點數(shù)為3的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．【解答】解：由題意知，共有6種等可能的結(jié)果，其中朝上面的點數(shù)為3的結(jié)果有1種，任意拋擲這枚骰子，朝上面的點數(shù)為3的概率是．故答案為：．【點評】本題考查概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．12．（4分）已知，那么的值為．【分析】利用比例的性質(zhì)，進行計算即可解答．【解答】解：，，故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（4分）已知拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的拋物線表達式為．【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移法則即可解決問題．【解答】解：因為拋物線的解析式為，則將此拋物線向右平移2個單位所得拋物線的表達式為，再向上平移1個單位后所得拋物線的表達式為．故答案為：．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的平移法則是解題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，、是的直徑，弦，交于點，，則．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件求出，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：弦，，，對的圓周角是，圓心角是，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)等知識點，注意：一條弧所對的圓周角等于圓心角的一半．15．（4分）如圖，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點、、三個點，則不等式的解是或．【分析】利用函數(shù)圖象，寫出拋物線在雙曲線上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：當(dāng)或時，拋物線在雙曲線上方，所以不等式的解集為或．故答案為或．【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組：對于二次函數(shù)、、是常數(shù)，與不等式的關(guān)系可以利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，利用交點直觀求解．16．（4分）如圖，是半圓的直徑，是半圓的弦，沿弦折疊交直徑于點．（1）當(dāng)時，則的長為；（2）當(dāng)，時，則的長為．【分析】（1）連接、，由圓周角定理得，則，，再由直角三角形的性質(zhì)得，則，然后由勾股定理求解即可；（2）連接、，由圓周角定理得，則，過點作于，則，再證，求出，然后由勾股定理即可得出答案．【解答】解：（1）連接、，如圖1所示：根據(jù)折疊的性質(zhì)，弧所對的圓周角是，，，，是半圓的直徑，，，，，，，故答案為：；（2）連接、，如圖2所示：根據(jù)折疊的性質(zhì)，弧所對的圓周角是，，，，過點作于，則，，是半圓的直徑，，，，，，，，即，在中，，故答案為：．【點評】本題考查了圓周角定理，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系、勾股定理等知識，正確找出輔助線，證明是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8題，66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．當(dāng)時，求函數(shù)值．【分析】求得拋物線對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可求得．【解答】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，對稱軸為直線，點關(guān)于對稱軸的對稱點為，當(dāng)時，則函數(shù)值．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的對稱性，求得對稱軸是解題的關(guān)鍵．18．游戲者用下面兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做游戲，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形．讓兩個轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動一次．（1）求兩次數(shù)字之和為4的概率；（2）若兩次數(shù)字之積大于2，則游戲者獲勝，請求出游戲者獲勝的概率．【分析】（1）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次數(shù)字之和為4的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次數(shù)字之積大于2的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次數(shù)字之和為4的結(jié)果有2種，兩次數(shù)字之和為4的概率為；（2）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次數(shù)字之積大于2的結(jié)果有3種，游戲者獲勝的概率為．【點評】此題考查的是樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19．如圖，某零件的截面為弓形．（1）請用直尺和圓規(guī)作出該弓形的圓心；（2）若，弓形的高為1．求弓形的半徑．【分析】（1）在弧上任取點，分別作線段，的垂直平分線，相交于點，則點即為該弓形的圓心．（2）設(shè)線段的垂直平分線交弧于點，交于點，連接，則，．設(shè)弓形的半徑為，則，．由勾股定理得，，代入求出的值即可．【解答】解：（1）如圖，在弧上任取點，分別作線段，的垂直平分線，相交于點，則點即為所求．（2）設(shè)線段的垂直平分線交弧于點，交于點，連接，則，．設(shè)弓形的半徑為，則，．由勾股定理得，，即，解得，弓形的半徑為2．【點評】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖、垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．20．如圖，已知．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)兩對角相等的三角形相似，即可得到三角形與三角形相似；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：，，，，；（2）解：，，，，，，（負(fù)值舍去）．答：的長為．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及一元二次方程的解法，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21．如圖，在中，點，分別在邊，上且，連接，．（1）求證：．（2）若點為中點，，的面積為50，求的面積．【分析】（1）由已知得出，由，即可得出：．（2）設(shè)，則，，由已知求出，得出，得出，由三角形面積關(guān)系即可得出答案．【解答】（1）證明：，，，．（2）解：點為中點，，，設(shè)，則，，，，，，的面積為50，的面積．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積關(guān)系等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，是的直徑，弦于點，連接，，（1）求證：．（2）作于點，若的半徑為5，，求的長．【分析】（1）利用等角的余角相等證明即可；（2）利用勾股定理求出，，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：是直徑，，，，，，；解法二：，是直徑，，．（2）解：如圖，連接．在中，，在中，，，，．【點評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．23．已知函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中．（1）若經(jīng)過點，求的函數(shù)表達式．（2）若經(jīng)過點，判斷與圖象交點的個數(shù)，說明理由．（3）若經(jīng)過點，，且對任意，都有，請利用圖象求的取值范圍．【分析】（1）將代入可得的值，從而得到答案，（2）將代入得到，再聯(lián)立、判斷解的個數(shù)從而得到交點個數(shù)，（3）將點，代入可得的值，再聯(lián)立、求出圖象只有一個交點時的值，觀察圖象得到無交點時的范圍即得答案．