學高中數學 第二章 2.2.2（二）雙曲線的簡單幾何性質(二)基礎過關訓練 新人教A版選修1-1

2.2.2雙曲線的簡單幾何性質(二)一、基礎過關1.過雙曲線x2－y2＝4的焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，則AB的長為()A.2 B.4 C.8 D.4eq\r(2)2.過雙曲線的一個頂點A作直線l，若l與雙曲線只有一個公共點，則這樣的直線l有幾條()A.0 B.1 C.3 3.已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1和雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,3)＝1(m>0)有相同的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是()A.3x±y＝0 B.x±3y＝0C.eq\r(3)x±y＝0 D.x±eq\r(3)y＝04.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的半焦距為c，若原點到直線bx＋ay＝ab的距離為eq\f(c,2)，則雙曲線的離心率e等于 ()A.eq\r(2) B.2 C.2eq\r(2) D.45.過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左焦點F且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點，且雙曲線的右頂點A滿足MA⊥NA，則雙曲線的離心率等于________.6.已知點(x，y)在雙曲線4x2－y2＝16上，則y2＋8x的最小值為________.7.雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為________.二、能力提升8.設F1、F2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點.若P在雙曲線上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|等于 ()A.2eq\r(5) B.eq\r(5) C.2eq\r(10) D.eq\r(10)9.已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點.若C1恰好將線段AB三等分，則 ()A.a2＝eq\f(13,2) B.a2＝13C.b2＝eq\f(1,2) D.b2＝210.已知雙曲線方程x2－eq\f(y2,2)＝1，過點A(0,1)作直線l交雙曲線于P1、P2的不同兩點，若線段P1P2的中點在直線x＝eq\f(1,2)上，求l的斜率k的值.11.已知雙曲線E的中心為原點，F(3,0)是E的一個焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15).求雙曲線E的方程.三、探究與拓展12.直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A、B.(1)求實數k的取值范圍；(2)是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

答案1.B2.C3.C4.A5.26.－167.(1,3]8.C9.C10.解設直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2－\f(y2,2)＝1，))得(2－k2)x2－2kx－3＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－k2≠0，,Δ＝4k2－42－k2－3,＝－8k2＋24>0.))解得－eq\r(3)<k<eq\r(3)，且k≠±eq\r(2).∵P1P2的中點在直線x＝eq\f(1,2)上.∴eq\f(1,2)(x1＋x2)＝eq\f(－k,k2－2)＝eq\f(1,2)，∴k＝－1±eq\r(3).∵－eq\r(3)<k<eq\r(3)，且k≠±eq\r(2).∴k＝－1＋eq\r(3).11.解設雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意知c＝3，a2＋b2＝9.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)－\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式作差得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq\f(－12b2,－15a2)＝eq\f(4b2,5a2).又直線AB的斜率是eq\f(－15－0,－12－3)＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2所以雙曲線的標準方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.12.解(1)將直線l的方程y＝kx＋1代入雙曲線C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①，依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝2k2－8k2－2>0，,－\f(2k,k2－2)>0，,\f(2,k2－2)>0，))解得k的取值范圍為{k|－2<k<－eq\r(2)}.(2)設A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則由①得x1＋x2＝eq\f(2k,2－k2)，x1x2＝eq\f(2,k2－2)，②假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F(c,0)，則由FA⊥FB，得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0，③把②式及c＝eq\f(\r(6),2)代入③