2025版新教材高考數(shù)學一輪復習第4章三角函數(shù)與解三角形新高考新題型微課堂4開放題命題熱點之解三角形學案含解析新人教B版

第4章三角函數(shù)與解三角形四開放題命題熱點之解三角形數(shù)學開放題是高考的一種新題型，此類問題的核心是培育學生的創(chuàng)建意識和創(chuàng)新實力，激發(fā)學生獨立思索和創(chuàng)新的意識．開放題通常是變更命題結(jié)構(gòu)，變更設問方式，增加問題的探究性以及解決問題過程中的多角度思索．解三角形是開放性命題的熱點之一．三角形中基本量的計算(2024·全國卷Ⅰ)在①ac＝eq\r(3)，②csinA＝3，③c＝eq\r(3)b這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA＝eq\r(3)sinB，C＝eq\f(π,6)，________？解：(方法一)由sinA＝eq\r(3)sinB可得eq\f(a,b)＝eq\r(3)，不妨設a＝eq\r(3)m，b＝m(m>0)，則c2＝a2＋b2－2abcosC＝3m2＋m2－2×eq\r(3)m×m×eq\f(\r(3),2)＝m2，即c＝m，所以b＝c.選擇條件①：據(jù)此可得ac＝eq\r(3)m×m＝eq\r(3)m2＝eq\r(3)，所以m＝1，此時a＝eq\r(3)，b＝c＝1，三角形存在．選擇條件②：據(jù)此可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(m2＋m2－3m2,2m2)＝－eq\f(1,2)，所以A＝eq\f(2π,3).則sinA＝eq\f(\r(3),2)，所以csinA＝m×eq\f(\r(3),2)＝3，所以m＝2eq\r(3)，則b＝c＝2eq\r(3)，a＝6，三角形存在．選擇條件③：因為b＝c，與條件c＝eq\r(3)b沖突，所以問題中的三角形不存在．(方法二)因為sinA＝eq\r(3)sinB，C＝eq\f(π,6)，B＝π－(A＋C)，所以sinA＝eq\r(3)sin(A＋C)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA，所以sinA＝－eq\r(3)cosA，所以tanA＝－eq\r(3)，所以A＝eq\f(2π,3)，所以B＝C＝eq\f(π,6)，所以b＝c.若選①，ac＝eq\r(3)，因為a＝eq\r(3)b＝eq\r(3)c，所以eq\r(3)c2＝eq\r(3)，所以c＝1，即a＝eq\r(3)，b＝c＝1，三角形存在；若選②，csinA＝3，則eq\f(\r(3)c,2)＝3，得c＝2eq\r(3)，即a＝6，b＝c＝2eq\r(3)，三角形存在；若選③，與條件c＝eq\r(3)b沖突，三角形不存在．避開失誤精確解題(1)應用正弦定理求角時簡單出現(xiàn)增解或漏解的狀況，要依據(jù)條件和三角形的限制條件合理取舍．(2)求角時易忽視角的范圍而導致錯誤，須要依據(jù)大邊對大角、大角對大邊的規(guī)則，可以通過畫圖來幫助推斷．(2024·德州一模)在條件①2cosA(bcosC＋ccosB)＝a，②csineq\f(B＋C,2)＝asinC，③(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC中任選一個，補充到下面的問題中，并給出問題解答．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a＝eq\r(7)，b－c＝2，________.求BC邊上的高．解：若選條件①.由正弦定理得2cosA(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinA＝sin(B＋C)，即2cosAsin(B＋C)＝sin(B＋C)，得cosA＝eq\f(1,2).因為0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＋c2－bc＝7，,b－c＝2，))化簡得c2＋2c－3＝0，解得c＝1或c＝－3(舍)，從而b＝3.設BC邊上的高為h，所以eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)ah，解得h＝eq\f(3\r(21),14).若選條件②.由正弦定理得sinCsineq\f(B＋C,2)＝sinAsinC.因為sinC≠0，所以sineq\f(B＋C,2)＝sinA.由A＋B＋C＝180°，可得sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)，故coseq\f(A,2)＝2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2).因為coseq\f(A,2)≠0，所以sineq\f(A,2)＝eq\f(1,2)，因此A＝eq\f(π,3).下同選條件①.如選條件③.由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).因為0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).下同選條件①.與三角形的面積和周長有關(guān)的問題(2024·青島三模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB＋sinC,cosB＋cosC).(1)若△ABC還同時滿意下列四個條件中的三個：①a＝7，②b＝10，③c＝8，④△ABC的面積S＝10eq\r(3)，請指出這三個條件，并說明理由；(2)若a＝3，求△ABC周長L的取值范圍．解：因為eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB＋sinC,cosB＋cosC)，所以sinAcosB＋sinAcosC＝cosA·sinB＋cosAsinC，即sinAcosB－cosAsinB＝sinCcosA－cosCsinA，所以sin(A－B)＝sin(C－A)．因為A，B，C∈(0，π)，所以A－B＝C－A，即2A＝B＋C，所以A＝eq\f(π,3).(1)△ABC還同時滿意條件①③④.理由如下：若△ABC同時滿意條件①②，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(5\r(3),7)>1，此時B無解．所以△ABC不能同時滿意條件①②，所以△ABC同時滿意條件③④.所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×b×8×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)，解得b＝5與②沖突，所以△ABC還同時滿意條件①③④.(2)在△ABC中，由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2eq\r(3).因為C＝eq\f(2π,3)－B，所以b＝2eq\r(3)sinB，c＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))，所以L＝a＋b＋c＝2eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))))＋3＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinB＋\f(1,2)cosB))＋3＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))＋3.因為B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以B＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).所以△ABC周長L的取值范圍為(6,9]．解答三角形的面積和周長有關(guān)問題的策略(1)利用三角恒等變換公式化簡已知條件等式，并留意用正弦定理、余弦定理進行邊角互化．(2)依據(jù)條件選擇三角形面積公式或計算三角形的周長．(3)若求最值，留意依據(jù)條件利用均值不等式或三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．(2024·臨沂高三期末)在①cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°，③c＝2，cosA＝eq\f(1,8)三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并加以解答．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝3，________，求△ABC的面積S.解：若選①.因為cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，A，C∈(0，π)，所以sinA＝eq\f(4,5)，sinC＝eq\f(\r(5),5)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4,5)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(11\r(5),25).由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(3×\f(11\r(5),25),\f(4,5))＝eq\f(33\r(5),20)，所以S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(33\r(5),20)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(99,40).若選②.因為csinC＝sinA＋bsinB，所以由正弦定理得c2＝a＋b2.因為a＝3，所以b2＝c2－3.又因為B＝60°，所以b2＝c2＋9－2×3×c×eq\f(1,2)＝c2－3，解得c＝4，所以S＝eq\f(1,2)acsinB＝3eq\r(3).若選③.因為c＝2，cos