2024-2025學年高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.6三角函數(shù)模型的簡單應用課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修4

PAGE三角函數(shù)模型的簡潔應用(20分鐘35分)1.函數(shù)f(x)=QUOTE在[—π,π]上的圖象大致為 ()【解析】選D.由f(-x)=QUOTE=QUOTE=-f(x),得f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱.又fQUOTE=QUOTE=QUOTE>1,f(π)=QUOTE>0,故選D.2.車流量被定義為單位時間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù),單位為輛/分,上班高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)F(t)=50+4sinQUOTE(0≤t≤20)給出,F(t)的單位是輛/分,t的單位是分,則下列哪個時間段內(nèi)車流量是增加的()A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15] D.[15,20]【解析】選C.當10≤t≤15時,有QUOTEπ<5≤QUOTE≤QUOTE<QUOTEπ,此時F(t)=50+4sinQUOTE是增函數(shù),即車流量在增加.3.如圖,從某點給單擺一個作用力后,單擺起先來回搖擺,它離開平衡位置O的距離s(單位:cm)和時間t(單位:s)的函數(shù)解析式為s=5sinQUOTE,則單擺搖擺時,從最右邊到最左邊的時間為 ()A.2s B.1s C.QUOTEs D.QUOTEs【解析】選C.由題意,知周期T=QUOTE=1(s).單擺從最右邊到最左邊的時間是半個周期,為QUOTEs.4.振動量函數(shù)y=QUOTEsin(ωx+φ)(ω>0)的初相和頻率分別為-π和QUOTE,則它的相位是.

【解析】T=QUOTE=QUOTE,所以ω=QUOTE=3π,所以相位ωx+φ=3πx-π.答案:3πx-π5.某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5cm,秒針勻稱地繞點O旋轉(zhuǎn),當時間t=0時,點A與鐘面上標12的點B重合,若將A,B兩點的距離d(cm)表示成時間t(s)的函數(shù),則d=,其中t∈[0,60].

【解析】秒針1s轉(zhuǎn)QUOTE弧度,ts后秒針轉(zhuǎn)了QUOTEt弧度,如圖所示,sinQUOTE=QUOTE,所以d=10sinQUOTE.答案:10sinQUOTE6.如圖,彈簧上掛的小球做上下振動時,小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間t(s)的改變曲線是一個三角函數(shù)的圖象.(1)經(jīng)過多長時間,小球往復振動一次?(2)求這條曲線的函數(shù)解析式.(3)小球在起先振動時,離開平衡位置的位移是多少?【解析】(1)由題圖可知,周期T=2QUOTE=π,所以小球往復振動一次所須要的時間為πs.(2)可設(shè)該曲線的函數(shù)解析式為s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π),t∈[0,+∞),從題圖中可以看出A=4,T=2×QUOTE=π.即QUOTE=π,即ω=2,將t=QUOTE,s=4代入解析式,得sinQUOTE=1,解得φ=QUOTE.所以這條曲線的函數(shù)解析式為s=4sinQUOTE,t∈[0,+∞).(3)當t=0時,s=4sinQUOTE=2QUOTE(cm),故小球在起先振動時,離開平衡位置的位移是2QUOTEcm.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在一個港口,相鄰兩次高潮發(fā)生的時間間隔為12h,低潮時水深9m,高潮時水深15m.每天潮漲潮落時,該港口水的深度y(m)關(guān)于時間t(h)的函數(shù)圖象可以近似地看成函數(shù)y=Asin(ωt+φ)+k的圖象,其中0≤t≤24,且t=3時漲潮到一次高潮,則該函數(shù)的解析式可以是 ()A.y=3sinQUOTEt+12 B.y=-3sinQUOTEt+12C.y=3sinQUOTEt+12 D.y=3cosQUOTEt+12【解析】選A.依據(jù)題意,由ω=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解除選項C,D.當t=3時,3sinQUOTEt+12=3sinQUOTE+12=15,符合題意,-3sinQUOTEt+12=-3sinQUOTE+12=9.不符合題意,故選項B錯誤.2.已知函數(shù)y=sinax+b(a>0)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=loga(x+b)的圖象可能是 ()【解析】選C.由函數(shù)y=sinax+b的圖象可得0<b<1,QUOTE=QUOTE>2π-π,所以0<a<1,故函數(shù)y=loga(x+b)為減函數(shù),且圖象經(jīng)過點(1-b,0),結(jié)合所給選項可知選C.3.函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則下列選項正確的是 ()A.f(x)=x+sinxB.f(x)=QUOTEC.f(x)=xcosxD.f(x)=xQUOTE【解析】選C.視察圖象知函數(shù)為奇函數(shù),解除D項;又函數(shù)在x=0處有意義,解除B項;取x=QUOTE,fQUOTE=0,A項不合適,故選C項.4.為了探討鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系,建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)秒針位置為P(x,y).若初始位置為P0QUOTE,當秒針從P0(注:此時t=0)起先走時,點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)解析式可以是 ()A.y=sinQUOTE B.y=sinQUOTEC.y=sinQUOTE D.y=sinQUOTE【解析】選C.由題意知,函數(shù)的周期為T=60,所以|ω|=QUOTE=QUOTE.設(shè)函數(shù)解析式為y=sinQUOTE.因為初始位置為P0QUOTE,所以t=0時,y=QUOTE,所以sinφ=QUOTE,所以φ可取QUOTE,所以函數(shù)解析式可以是y=sinQUOTE.又由秒針順時針轉(zhuǎn)動可知,y的值從t=0起先要先漸漸減小,故y=sinQUOTE.5.如圖所示的是一個半徑為3米的水輪,水輪的圓心O距離水面2米,已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,水輪上的點P到水面的距離y(米)與時間t(秒)滿意關(guān)系式y(tǒng)=Asin(ωt+φ)+2,則 ()A.ω=QUOTE,A=3 B.ω=QUOTE,A=3C.ω=QUOTE,A=5 D.ω=QUOTE,A=5【解析】選B.因為y=Asin(ωx+φ)+2,最高點離平衡位置距離是3,所以A=3.因為水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈,所以轉(zhuǎn)動一周為一個周期,所以T=15秒,ω=QUOTE=QUOTE.故ω=QUOTE,A=3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.據(jù)市場調(diào)查,某種商品一年內(nèi)每件的出廠價在7千元的基礎(chǔ)上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BQUOTE的模型波動(x為月份),已知3月份達到最高價9千元,9月份價格最低為5千元.依據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為.

【解析】由條件可知,B=7,A=9-7=2.又T=2×(9-3)=12,所以ω=QUOTE=QUOTE.因為3月份達到最高價,所以3×QUOTE+φ=QUOTE,所以φ=0.所以f(x)的解析式為f(x)=2sinQUOTEx+7.答案:f(x)=2sinQUOTEx+77.設(shè)偶函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,△KLM為等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,則fQUOTE的值為.

【解析】取K,L的中點N,則MN=QUOTE,因此A=QUOTE.由T=2得ω=π.因為函數(shù)為偶函數(shù),0<φ<π,所以φ=QUOTE,所以f(x)=QUOTEcosπx,所以fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.電流強度I(A)隨時間t(s)改變的函數(shù)I=Asin(ωt+φ)QUOTE的圖象如圖所示,則當t=QUOTEs時,電流強度是A.

【解析】由題圖可知,Imax=10,Imin=-10,最小正周期T滿意QUOTET=QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以T=QUOTE.所以A=QUOTE=10,ω=QUOTE=2π×50=100π,所以函數(shù)I=10sin(100πt+φ),將點QUOTE代入該函數(shù)解析式得10sinQUOTE=10得sinQUOTE=1.因為0<φ<QUOTE,所以QUOTE<QUOTE+φ<QUOTE,則QUOTE+φ=QUOTE,得φ=QUOTE,所以I=10sinQUOTE,當t=QUOTE時,I=10sinQUOTE=-10sinQUOTE=-5.答案:-5三、解答題(每小題10分,共20分)9.以一年為一個周期調(diào)查某商品的出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)覺:該商品的出廠價格是在6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的.已知3月份出廠價格最高為8元,7月份出廠價格最低為4元.而該商品在商店的銷售價格是在8元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的.并已知5月份銷售價格最高為10元,9月份銷售價格最低為6元,假設(shè)某商店每月購進這種商品m件,且當月售完,求盈利最大的月份.【解析】由已知條件可得,出廠價格的函數(shù)關(guān)系式為y1=2sinQUOTE+6,銷售價格的函數(shù)關(guān)系式為y2=2sinQUOTE+8,則利潤的函數(shù)關(guān)系式為y=m(y2-y1)=mQUOTE=-2QUOTE·msinQUOTEx+2m.當x=6時,y=2m+2QUOTEm=m(2+2QUOTE).即6月份盈利最大.10.如圖為一個纜車示意圖,纜車半徑為4.8m,圓上最低點與地面的距離為0.8m,60s轉(zhuǎn)動一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB,設(shè)B點與地面距離是h.(1)求h與θ間的函數(shù)解析式.(2)設(shè)從OA起先轉(zhuǎn)動,經(jīng)過ts后到達OB,求h與t之間的函數(shù)解析式,并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少?【解析】(1)以圓心O為原點,建立如圖所示的坐標系,則以O(shè)x為始邊,OB為終邊的角為θ-QUOTE,故B點坐標為QUOTE.所以h=5.6+4.8sinQUOTE.(2)點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是QUOTE,故ts轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為QUOTE.所以h=5.6+4.8sinQUOTE,t∈[0,+∞).到達最高點時,h=10.4m.由sinQUOTE=1,得QUOTEt-QUOTE=QUOTE+2kπ,k∈N,所以tmin=30(s).即纜車到達最高點時,用的時間最少為30秒.1.如圖,設(shè)點A是單位圓上的肯定點,動點P從點A動身在圓上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,點P所旋轉(zhuǎn)過的弧QUOTE的長為l,弦AP的長為d,則函數(shù)d=f(l)的圖象大致是 ()【解析】選C.令AP所對圓心角為θ,由|OA|=1,得l=θ,sinQUOTE=QUOTE,所以d=2sinQUOTE=2sinQUOTE.即d=f(l)=2sinQUOTE(0≤l≤2π),它的圖象為C.2.下表是某地某年月平均氣溫(華氏):月份123456平均氣溫21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均氣溫73.071.964.753.539.827.7以月份為x軸(x=月份-1),以平均氣溫為y軸.(1)用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù).(2)估計這個正弦曲線的周期T和振幅A.(3)下面三個函數(shù)模型中,哪一個最適合這些數(shù)據(jù)?①Q(mào)UOTE=cosQUOTE;②QUOTE=cosQUOTE;③QUOTE=cosQUOTE.【解析】(1)如圖.(