數(shù)學(xué)教案：第一章統(tǒng)計(jì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§5用樣本估計(jì)總體5。1估計(jì)總體的分布整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析教科書(shū)通過(guò)問(wèn)題的探究，使學(xué)生學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖。教科書(shū)在這里主要介紹有關(guān)頻率分布的列表和畫圖的方法,而關(guān)于頻率分布的隨機(jī)性和規(guī)律性方面則給教師留下了較大的發(fā)揮空間.教師可以通過(guò)初中有關(guān)隨機(jī)事件的知識(shí)，也可以利用計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)由樣本確定的頻率分布表和頻率分布直方圖的隨機(jī)性；通過(guò)初中有關(guān)頻率與概率之間的關(guān)系，了解頻率分布直方圖的規(guī)律性，即頻率分布與總體分布之間的關(guān)系,進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想。由于可以用樣本頻率分布直方圖估計(jì)總體分布，因此可以用樣本頻率分布特征來(lái)估計(jì)相應(yīng)的總體分布特征，這就提供了估計(jì)總體特征的另一種途徑，其意義在于：在沒(méi)有原始數(shù)據(jù)而僅有頻率分布的情況下,此方法可以估計(jì)總體的分布特征.三維目標(biāo)1。通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用,通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的探究，感知應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的方法。2。在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法。3.通過(guò)對(duì)樣本分析和總體估計(jì)的過(guò)程,感受數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)際生活的需要，通過(guò)實(shí)例體會(huì)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準(zhǔn)確地作出總體估計(jì),認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活并指導(dǎo)生活的事實(shí),體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖和頻率折線圖。教學(xué)難點(diǎn)：能通過(guò)樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布。課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1。在NBA的2006賽季中,甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的原始記錄如下：甲運(yùn)動(dòng)員得分：12,15,20，25,31，31，36,36,37,39，44，49,50;乙運(yùn)動(dòng)員得分：8,13，14，16,23,26,28,38,39，51,31，29，33。請(qǐng)問(wèn)從上面的數(shù)據(jù)中你能否看出甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員,在2006賽季中，哪一位發(fā)揮比較穩(wěn)定？如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出正確的判斷呢？這就是我們這堂課要研究、學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容——用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布（板書(shū)課題).思路2.如下樣本是隨機(jī)抽取近年來(lái)北京地區(qū)7月25日至8月24日的日最高氣溫.7月25日至8月10日41.937.535。735.437.238。134.733.733。332。534。633。030。831.028。631.528。832.58月8日至8月24日28.631。528。833。232。530.330.229。833。132.829.825。624.730.030.129.530.332.8怎樣通過(guò)上表中的數(shù)據(jù),分析比較兩時(shí)間段內(nèi)的高溫(≥33℃思路3.討論：我們要了解我校學(xué)生每月零花錢的情況，應(yīng)該怎樣進(jìn)行抽樣?提問(wèn)：學(xué)習(xí)了哪些抽樣方法？一般在什么時(shí)候選取什么樣的抽樣方法呢?討論：通過(guò)抽樣方法收集數(shù)據(jù)的目的是什么？(從中尋找所包含的信息，用樣本去估計(jì)總體）指出兩種估計(jì)手段：一是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，二是用樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等）估計(jì)總體的數(shù)字特征.這就是我們這堂課要研究、學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容——用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布。推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題(1）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一,城市缺水問(wèn)題較為突出,某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望大部分居民的日常生活不受影響,那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢？你認(rèn)為，為了較合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要做哪些工作？（讓學(xué)生展開(kāi)討論)（2）什么是頻率分布?（3)頻率分布直方圖的特征是什么？(4)什么是頻率分布折線圖？討論結(jié)果：(1）為了制定一個(gè)較為合理的標(biāo)準(zhǔn)a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況,比如月均用水量在哪個(gè)范圍的居民最多，他們占全市居民的百分比情況等.因此采用抽樣調(diào)查的方式,通過(guò)分析樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全市居民用水量的分布情況。分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來(lái)，或者用緊湊的表格來(lái)改變數(shù)據(jù)的排列方式,作圖可以達(dá)到兩個(gè)目的，一是從數(shù)據(jù)中提取信息,二是利用圖形傳遞信息。表格則是通過(guò)改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式,為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式。下面我們學(xué)習(xí)的頻率分布表和頻率分布圖,則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度,來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.可以讓我們更清楚地看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況.（2）頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小；一般用頻率分布直方圖來(lái)反映樣本的頻率分布。（3）頻率分布直方圖的特征：①?gòu)念l率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì).②從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同,橫軸、縱軸的單位不同,得到的圖和形狀也會(huì)不同.不同的形狀給人以不同的印象，這種印象有時(shí)會(huì)影響我們對(duì)總體的判斷.（4）連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn),就得到頻率分布折線圖。應(yīng)用示例思路1例11895年，在倫敦有106塊男性頭蓋骨被挖掘出土。經(jīng)考證，頭蓋骨的主人死于1665-1666年之間的大瘟疫。人類學(xué)家分別測(cè)量了這些頭蓋骨的寬度,數(shù)據(jù)如下所示（單位:mm)：146141139140145141142131142140144140138139147139141137141132140140141143134146134142133149140140143143149136141143143141138136138144136145143137142146140148140140139139144138146153148152143140141145148139136141140139158135132148142145145121129143148138149146141142144137153148144138150148138145145142143143148141145141請(qǐng)你估計(jì)在1665—1666年之間,英國(guó)男性頭蓋骨寬度的分布情況。解：這里,如果把總體看作是1665—1666年之間的英國(guó)男性頭蓋骨的寬度,那么我們就是要通過(guò)上面挖掘出土得到的樣本信息，來(lái)估計(jì)總體的分布情況。但從上面的數(shù)據(jù)很難直接估計(jì)出總體的分布情況，為此,我們可以先將以上數(shù)據(jù)按每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)和頻率匯成下表：寬度/mm頻數(shù)頻率寬度/mm頻數(shù)頻率12110.00914270。06612910。009143100。09413110.00914450.04713220.01914580.07513310.00914650.04713420.01914710.00913510。00914880.07513640。03814930。02813730.02815010。00913870.06615220。01913970。06615310.009140120.11315810。009141120。113從表格中，我們就能估計(jì)出總體大致的分布情況了,如在1665—1666年之間，英國(guó)男性頭蓋骨寬度主要在140—150mm之間,130mm以下以及150寬度分組(Δxi）頻數(shù)(ni）頻率（fi）120-125mm10.0090。0018125—130mm10。0090。0018130—135mm60。0570。0114135—140mm220。2080。0416140—145mm460。4340.0868145-150mm250.2360。0472150—155mm40.0380.0076155-160mm10.0090.0018先畫頻數(shù)分布直方圖(圖1)。進(jìn)一步,我們還可以將圖1中縱坐標(biāo)的頻數(shù)換成,便可以得到圖2.圖1圖2點(diǎn)評(píng)：當(dāng)樣本量較大時(shí),樣本中落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)的頻率會(huì)穩(wěn)定于總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的概率.因此,我們就可以用樣本的頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的頻率，也即總體的分布情況。變式訓(xùn)練1。有100名學(xué)生，每人只能參加一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有30人,參加籃球隊(duì)的有27人,參加排球隊(duì)的有23人，參加乒乓球隊(duì)的有20人。（1)列出學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)隊(duì)的頻率分布表.(2）畫出頻率分布條形圖.解:（1)參加足球隊(duì)記為1，參加籃球隊(duì)記為2,參加排球隊(duì)記為3,參加乒乓球隊(duì)記為4，得頻率分布表如下：試驗(yàn)結(jié)果頻數(shù)頻率參加足球隊(duì)（記為1）300.30參加籃球隊(duì)(記為2)270。27參加排球隊(duì)（記為3）230.23參加乒乓球隊(duì)（記為4）200.20合計(jì)1001.00（2)由上表可知頻率分布條形圖如圖3：圖32。為了了解中學(xué)生的身體發(fā)育情況，對(duì)某中學(xué)17歲的60名女生的身高進(jìn)行了測(cè)量,結(jié)果如下(單位cm)：154159166169159156166162158156166160164160157151157161158153158164158163158153157162159154165166157151146151160165158163163162161154165162159157159149164168159153列出樣本的頻率分布表；繪出頻率分布直方圖。解：列頻率分布表如下:寬度分組(Δxi）個(gè)數(shù)累計(jì)頻數(shù)(ni）頻率（fi）145.5—148.510.017148.5-151。530。050151.5-154。560。100154.5—157。580.133157.5-160.5180。300160。5-163。5110。183163。5—166。5100。167166。5—169.530。050合計(jì)601。000根據(jù)上述數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖如圖4：圖4以上兩種情況的不同之處在于,前者的頻率分布表列出的是幾個(gè)不同數(shù)值的頻率，相應(yīng)的條形圖是用其高度表示取各個(gè)值的頻率；后者的頻率分布表列出的是在不同區(qū)間內(nèi)取值的頻率,相應(yīng)的直方圖是用圖表面積的大小來(lái)表示在各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的頻率.我們?cè)谔幚硪粋€(gè)數(shù)理問(wèn)題時(shí)可以采用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的方法,這是因?yàn)?頻率分布隨著樣本容量的增大更加接近于總體分布,當(dāng)樣本容量無(wú)限增大且分組的組距無(wú)限縮小時(shí),頻率分布的直方圖就演變成一條光滑的曲線——總體密度曲線。這條曲線是客觀存在的,但是我們卻很難將它準(zhǔn)確地畫出，我們只能用樣本的頻率分布去對(duì)它進(jìn)行估計(jì)。基于頻率分布與相應(yīng)的總體分布有這種關(guān)系，再加上我們通常并不知道一個(gè)總體的分布,我們往往是從一個(gè)總體中抽取一個(gè)樣本，用樣本的頻率去估計(jì)相應(yīng)的總體分布。一般說(shuō)來(lái)，樣本的容量越大，這種估計(jì)就越精確。思路2例1下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高(單位：cm）.區(qū)間界限/cm122-126126-130130—134134-138138—142人數(shù)58102233區(qū)間界限/cm142—146146—150150-154154—158人數(shù)201165（1)列出樣本頻率分布表;（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)身高小于134cm分析：根據(jù)樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的一般步驟解題.解：(1）樣本頻率分布表如下：寬度分組（Δxi）頻數(shù)(ni）頻率(fi）122-12650.04126—13080.07130-134100.08134—138220.18138-142330。28142-146200。17146-150110.09150—15460。05154—15850.04合計(jì)1201（2）其頻率分布直方圖如圖5：圖5（3)由樣本頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0。04+0.07+0.08=0。19,所以我們估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19變式訓(xùn)練從某校高一年級(jí)的1002名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為100的身高樣本,如下（單位：cm）。168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174170165179163172180174173159163172167160164169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166作出該樣本的頻率分布表，并估計(jì)身高不小于170（cm）的同學(xué)所占的百分率。解:頻率分布表如下：寬度分組(Δxi)頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)(ni）頻率(fi）150。5—153。5440.04153。5—156.51280.08156。5-159。52080。08159.5—162.531110。11162。5—165。553220.22165.5-168.572190。19168。5—171.586140。14171.5-174。59370.07174。5—177。59740.04177.5—180。510030。03合計(jì)1001根據(jù)頻率分布表可以估計(jì),估計(jì)身高不小于170(cm)的同學(xué)所占的百分率為(0.14×+0。07+0。04+0.03）×100%=21%。例2為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖6），圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組頻數(shù)為12.(1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數(shù)在110以上(含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？(3)在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由。圖6分析:在頻率分布直方圖中,各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比,各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為=0。08；又因?yàn)轭l率=，所以樣本容量==150.（2)由圖可估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為×100％=88％。（3)由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6,12，51,45，27,9,所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組.知能訓(xùn)練1.有一個(gè)容量為45的樣本數(shù)據(jù),分組后各組的頻數(shù)如下：（12。5，15。5］，3;（15.5，18。5］,8;(18。5，21.5］,9;（21。5，24.5］，11；(24。5,27.5］，10;（27。5，30。5］,4.由此估計(jì)，不大于27.5的數(shù)據(jù)約為總體的（）A.91%B。92％C.95%D.30％答案：A2。一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：(10，20）,2；（20，30）,3;（30，40），4；（40，50），5；（50，60）,4;（60,70)，2.則樣本在區(qū)間（-∞，50）上的頻率為（）A.0.5B.0。7C.0。25答案：B3.一個(gè)高中研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)本地區(qū)2000年至2002年快餐公司發(fā)展情況進(jìn)行了調(diào)查，制成了該地區(qū)快餐公司個(gè)數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖（如圖7），根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯___________萬(wàn)盒?？觳凸緜€(gè)數(shù)情況圖快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況圖圖7答案：85拓展提升為了了解一大片經(jīng)濟(jì)林生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量其中的100株的底部周長(zhǎng),得到如下數(shù)據(jù)表（單位：cm）。135981021109912111096100103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108（1)編制頻率分布表；（2）繪制頻率分布直方圖;（3）估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長(zhǎng)小于100cm的樹(shù)木約占多少?周長(zhǎng)不小于120解:(1）這組數(shù)據(jù)的最大值為135，最小值為80，極差為55，可將其分為11組，組距為5。頻率