數(shù)學(xué)教案：空間中的垂直關(guān)系直線與平面垂直

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7(），\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析本節(jié)教材給出了兩直線垂直和直線與平面垂直的定義，并討論了判定定理和性質(zhì)．在教學(xué)過程中，要注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,留出足夠思考時(shí)間，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．值得注意的是盡量使用信息技術(shù)，以便突破難點(diǎn)．對于判定定理的證明不作要求，僅供學(xué)習(xí)有余力的同學(xué)參考．三維目標(biāo)1．掌握兩直線垂直和直線與平面垂直的定義，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力．2．掌握直線與平面垂直的判定定理及其推論，提高學(xué)生的應(yīng)用能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):直線與平面垂直的判定定理及其推論．教學(xué)難點(diǎn)：歸納判定定理,證明推論2。課時(shí)安排1課時(shí)eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.(情境導(dǎo)入)日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識,比如,旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等，都給我們以直線與平面垂直的印象．在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子．隨著時(shí)間的變化，盡管影子BC的位置在移動(dòng)，但是旗桿AB所在直線始終與BC所在直線垂直．也就是說，旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)B的直線B′C′也是垂直的．設(shè)計(jì)2。（實(shí)例導(dǎo)入）如果一條直線垂直于一個(gè)平面的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直?舉例說明．如下圖，直線AC1與直線BD、EF、GH等無數(shù)條直線垂直，但直線AC1與平面ABCD不垂直．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題））(1）閱讀教材，說說空間中兩直線垂直的定義．（2)想想看，如果A,B是空間中的兩點(diǎn)，那么在空間中線段AB的垂直平分線有多少條？AB的這些垂直平分線構(gòu)成的集合是怎樣的圖形（如下圖)?固定線段AB，讓l保持與AB垂直并繞直線AB在空間旋轉(zhuǎn)，l的軌跡是怎樣的圖形?（3)歸納空間直線與平面垂直的定義．（4）直線l⊥平面α,直線mα，則l與m垂直嗎?討論結(jié)果：（1）如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn),并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．（2)容易發(fā)現(xiàn)，空間中線段AB的所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個(gè)平面．(3）如果一條直線(AB）和一個(gè)平面(α）相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過交點(diǎn)（O）的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直，這條直線叫做平面的垂線，這個(gè)平面叫做直線的垂面,交點(diǎn)叫做垂足．垂線上任意一點(diǎn)到垂足間的線段,叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段．垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的距離．(4)如下圖，如果l⊥a,垂足為O，直線m是平面α內(nèi)不過點(diǎn)O的任意一條直線，那么在α內(nèi)過點(diǎn)O，可引直線m∥a,根據(jù)空間直線與平面垂直的定義，由l⊥a可得l⊥m.這就是說：如果一條直線垂直于一個(gè)平面,那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．畫直線和平面垂直時(shí),通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如上下圖所示．直線l和平面α互相垂直,記作l⊥α。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)1用直線與平面垂直的定義，直接檢驗(yàn)直線是否與平面垂直是困難的。想想看,判定直線與平面垂直是否有容易操作又比較簡單的方法？2直線l∥直線m,l⊥平面α,則m與α垂直嗎？3直線l⊥平面α，直線m⊥α,則l與m有何位置關(guān)系？討論結(jié)果：（1)我們已經(jīng)知道，一個(gè)平面被它所含的兩條相交直線完全確定．實(shí)際上只要檢驗(yàn)這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線是否垂直就可以了,如果都垂直,則這條直線就與平面垂直．當(dāng)這兩條相交直線不都經(jīng)過這條直線與平面的交點(diǎn)時(shí),可以把它們平行移動(dòng)到交點(diǎn)處后進(jìn)行研究．由以上分析，我們歸納出直線與平面垂直的判定定理:定理如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直．(2)如下圖，如果直線l平行于直線m,且直線l垂直于平面α,則直線l垂直于平面α內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b.根據(jù)空間兩條直線垂直的定義，易知，m與直線a和b也垂直，所以m與平面α垂直．推論1如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．（3)推論2如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．已知：直線l⊥平面α,直線m⊥平面α,垂足分別為A，B(如下圖)求證：l∥m.證明：假設(shè)直線m不與直線l平行．過直線m與平面α的交點(diǎn)B，作直線m′∥l，由直線與平面垂直的判定定理的推論可知m′⊥α.設(shè)m和m′確定的平面為β，α與β的交線為a.因?yàn)橹本€m和m′都垂直于平面α，所以直線m和m′都垂直于交線a.因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，通過直線上一點(diǎn)并與已知直線垂直的直線不可能有兩條，所以直線m和m′必重合,即有l(wèi)∥m.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例)）思路1例1過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線只有一條．已知：平面α和一點(diǎn)P（如下圖）．甲乙求證：過點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條．證明:不論點(diǎn)P在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P）．如果過點(diǎn)P,除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝a，于是在平面β內(nèi)過點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于交線a，這是不可能的．所以過點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條．變式訓(xùn)練如下圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC.問：四面體PABC中有幾個(gè)直角三角形?解：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AB,PA⊥AC，PA⊥BC.所以△PAB，△PAC為直角三角形．又PA⊥BC，AB⊥BC,且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB。又PB平面PAB，于是BC⊥PB，所以△PBC也為直角三角形．所以四面體PABC中的四個(gè)面都是直角三角形．例2有一根旗桿AB高8m(如下圖)，它的頂端A掛著兩條長10m的繩子，拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點(diǎn)C，D（和旗桿腳不在同一條直線上)．如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳B的距離是6m,那么旗桿就和地面垂直，為什么？解：在△ABC和△ABD中，因?yàn)锳B＝8m，BC＝BD＝6m,AC＝AD＝10m,所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2,AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2。所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC,AB⊥BD。又知B，C，D三點(diǎn)不共線，因此AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直．變式訓(xùn)練如下圖所示，Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA＝SB＝SC。(1）求證：點(diǎn)S與斜邊AC中點(diǎn)D的連線SD⊥面ABC；(2）若直角邊BA＝BC,求證：BD⊥面ASC.證明:（1）在等腰三角形SAC中,D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC,取AB的中點(diǎn)E，連DE、SE。∵ED∥BC，AB⊥BC，∴DE⊥AB。又SE⊥AB,∴AB⊥面SED,∴AB⊥SD，又AB∩AC＝A，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，∴BD⊥AC，又SD⊥面ABC，∴SD⊥BD,∵SD∩AC＝D，∴BD⊥面ASC.例3已知：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l。求證：AP在α內(nèi)．證明：設(shè)AP與l確定的平面為β。假設(shè)AP不在α內(nèi)，則設(shè)α與β相交于直線AM(如下圖)．因?yàn)閘⊥α，AMα,所以l⊥AM.又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過點(diǎn)A有兩條直線垂直于l.這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)．變式訓(xùn)練如下圖，已知直線a⊥b，b⊥α，aα。求證：a∥α.證明：在直線a上取一點(diǎn)A，過A作b′∥b,則b′必與α相交，設(shè)交點(diǎn)為B，過相交直線a、b′作平面β,設(shè)α∩β＝a′，∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′?！遙⊥α,b′∥b，∴b′⊥α。又∵a′α,∴b′⊥a′。由a，b′,a′都在平面β內(nèi)，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′?！郺∥α。點(diǎn)評：反復(fù)使用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，是解決立體幾何垂直問題的常用策略。2。2008安徽,理4已知m，n是兩條不同直線，α，β,γ是三個(gè)不同平面．下列命題中正確的是(）A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，m∥β，則α∥βD．若m⊥α,n⊥α,則m∥n解析：垂直于同一個(gè)平面的兩條不同的直線平行．答案:D思路2例4如下圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1，G為CC1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心．求證：A1O⊥平面GBD。證明：∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A1A⊥BD，AC⊥BD)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（，,,\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(BD⊥平面A1AO,A1O面A1AO）)BD⊥A1O。))又∵A1O2＝A1A2＋AO2＝a2＋（eq\f(\r(2),2)a)2＝eq\f（3，2)a2,OG2＝OC2＋CG2＝（eq\f（\r(2），2)a)2＋(eq\f(a,2)）2＝eq\f(3，4）a2，A1G2＝A1Ceq\o\al（2，1)＋C1G2＝（eq\r(2)a）2＋（eq\f（a，2)）2＝eq\f(9,4）a2，∴A1O2＋OG2＝A1G2.∴A1O⊥OG。又BD∩OG＝O，∴A1O⊥平面GBD.點(diǎn)評：判斷線面垂直往往轉(zhuǎn)化為線線垂直,勾股定理也是證明線線垂直的重要方法．變式訓(xùn)練如下圖，已知點(diǎn)P為平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥BC，PC⊥AB，求證：PB⊥AC。證明:過P作PO⊥平面ABC于O，連結(jié)OA、OB、OC?！逷O⊥平面ABC，BC平面ABC,∴PO⊥BC。又∵PA⊥BC,∴BC⊥平面PAO。又∵OA平面PAO，∴BC⊥OA。同理，可證AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心．∴OB⊥AC.可證PO⊥AC.∴AC⊥平面PBO。又PB平面PBO，∴PB⊥AC.點(diǎn)評：欲證線面垂直需要轉(zhuǎn)化為證明線線垂直,欲證線線垂直往往轉(zhuǎn)化為線面垂直．用符號語言證明問題顯得清晰、簡潔．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練))如下圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a。(1）求證：BD1⊥平面B1AC；(2）求B到平面B1AC的距離．(1)證明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C，∴B1C⊥面ABC1D1。又BD1面ABC1D1，∴B1C⊥BD1?！連1B⊥AC，BD⊥AC，∴AC⊥面BB1D1D。又BD1面BB1D1D，∴AC⊥BD1。又B1C∩AC＝C,∴BD1⊥平面B1AC。（2）解：∵O∈BD，∴連結(jié)OB1交BD1于E.又O∈AC，∴OB1面B1AC?！郆E⊥OE，且BE即為所求距離．∵eq\f（BE，OB）＝eq\f（BD，BD1)，∴BE＝eq\f(BD,BD1）·OB＝eq\f(\r(2)a，\r（3）a）·eq\f(\r（2）,2）a＝eq\f(\r（3),3）a.2．已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和平面α相交,并且和a、b、c三條直線成等角．求證:l⊥α.證明：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO＝BO＝CO.設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中，∵PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO，∠POA＝∠POB＝∠POC,∴△POA≌△POB≌△POC.∴PA＝PB＝PC。取AB的中點(diǎn)D,連接OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB.∵PD∩OD＝D,∴AB⊥平面POD?！逷O平面POD，∴PO⊥AB.同理,可證PO⊥BC.∵ABα，BCα，AB∩BC＝B，∴PO⊥α,即l⊥α。若l不經(jīng)過點(diǎn)O時(shí),可經(jīng)過點(diǎn)O作l′∥l.用上述方法證明l′⊥α，∴l(xiāng)⊥α.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升))如下圖，在三棱錐S—ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90°，O為BC中點(diǎn)．證明SO⊥平面ABC。證明:如下圖，由題設(shè)，知AB＝AC＝SB＝SC＝SA.連結(jié)OA,△ABC為等腰直角三角形,所以O(shè)A＝OB＝OC＝eq\f(\r(2），2)SA，且AO⊥BC。又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC,且SO＝eq\f(\r（2),2）SA。從而OA2＋SO2＝SA2.所以△SOA為直角三角形，SO⊥AO。又AO∩BC＝O,所以SO⊥平面ABC.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)））本節(jié)學(xué)習(xí)了：1．兩直線垂直、直線與平面垂直的有關(guān)概念；2．判定直線與平面垂直和直線與直線垂直;3．轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)））本節(jié)練習(xí)A5題;練習(xí)B4，5題．eq\o(\s\up7（）,\s\do5（設(shè)計(jì)感想））本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)容量較大，拓展內(nèi)容較多，建議課前要求學(xué)生預(yù)習(xí)，在教學(xué)中使用信息技術(shù)，減少板書內(nèi)容，把教學(xué)時(shí)間應(yīng)用到判定定理的應(yīng)用上．eq\o(\s\up7()，\s\do5(備課資料)）鏡面對稱如下圖