數(shù)學(xué)教案：棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析本節(jié)教材先展示大量幾何體的實(shí)物、模型、圖片等，讓學(xué)生感受棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，從整體上認(rèn)識(shí),再深入細(xì)節(jié)認(rèn)識(shí)，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．值得注意的是：由于沒有點(diǎn)、直線、平面的有關(guān)知識(shí)，所以本節(jié)的學(xué)習(xí)不能建立在嚴(yán)格的邏輯推理的基礎(chǔ)上，這與以往的教材有較大的區(qū)別，教師在教學(xué)中要充分注意到這一點(diǎn)．本節(jié)教學(xué)盡量使用信息技術(shù)等手段，向?qū)W生展示更多具有典型棱柱、棱錐和棱臺(tái)特征的空間物體，增強(qiáng)學(xué)生的感受．三維目標(biāo)1．掌握棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力．2．能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu),學(xué)會(huì)建立幾何模型研究空間圖形，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．教學(xué)難點(diǎn):歸納棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o(\s\up7(）,\s\do5(教學(xué)過程)）導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.從古至今，各個(gè)國家的建筑物都有各自的特色,古有埃及的金字塔,今有各城市大廈的旋轉(zhuǎn)酒吧、旋轉(zhuǎn)餐廳,還有上海東方明珠塔上的兩個(gè)球形建筑等．它們都是獨(dú)具匠心、整體協(xié)調(diào)的建筑物，是建筑師們集體智慧的結(jié)晶．今天我們?nèi)绾螐臄?shù)學(xué)的角度來看待這些建筑物呢？引出課題．設(shè)計(jì)2。在我們的生活中會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些具有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑物的幾何結(jié)構(gòu)特征如何？引導(dǎo)學(xué)生回憶、舉例和相互交流，教師對學(xué)生的活動(dòng)及時(shí)給予評價(jià),引出課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題）)（1）觀察下圖所示的幾何體，這些幾何體都是多面體．多面體集合具有什么性質(zhì)？多面體的結(jié)構(gòu)特征是什么？(2)閱讀教材，給出多面體的面、棱、頂點(diǎn)、對角線的定義．(3）閱讀教材，多面體如何分類？(4)什么叫幾何體的截面?討論結(jié)果：(1)多面體的每個(gè)面都是多邊形(圍成多面體的多邊形都包含它內(nèi)部的平面部分），而圓柱、圓錐、球等其他幾何體就不具有這種性質(zhì)．由此得出多面體的結(jié)構(gòu)特征：多面體是由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體．(2)如下圖所示，圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，如面ABCD、面BCC′B′;相鄰的兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，如棱AB、棱AA′；棱和棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)，如頂點(diǎn)A、頂點(diǎn)A′；連結(jié)不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對角線，如對角線BD′。（3)把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體．如上圖中的（1）（2）(3）都是凸多面體，而(4）不是．本書中說到多面體,如果沒有特別說明，指的都是凸多面體．多面體至少有4個(gè)面．多面體按照圍成它的面的個(gè)數(shù)分別叫做四面體、五面體、六面體……多面體的分類:多面體eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（非凸多面體，凸多面體\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(四面體，五面體，六面體，……)）))（4)一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部），叫做這個(gè)幾何體的截面，在上圖中畫出了多面體的一個(gè)截面EAC.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題)）(1）觀察如下圖所示的多面體，根據(jù)小學(xué)和初中學(xué)過的幾何知識(shí),這些多面體是棱柱，棱柱集合具有什么性質(zhì),其特征性質(zhì)是什么?（1）（2）（3)（2)閱讀教材，給出棱柱的底面、側(cè)面、側(cè)棱、高的定義．(3）閱讀教材,棱柱如何分類？（4)閱讀教材,說一說特殊的四棱柱．討論結(jié)果:（1)如果我們以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來觀察，棱柱可以看成一個(gè)多邊形(包括圖形圍成的平面部分）上各點(diǎn)都沿著同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離所形成的幾何體．觀察這個(gè)移動(dòng)過程，我們可以得到棱柱的主要特征性質(zhì):棱柱有兩個(gè)相互平行的面,而且夾在這兩個(gè)平行平面間的每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行(如上圖）．（2)棱柱的這兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面,兩側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．棱柱兩底面之間的距離，叫做棱柱的高．（3）棱柱按底面是三角形、四邊形、五邊形……分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱用表示兩底面的對應(yīng)頂點(diǎn)的字母或者用一條對角線端點(diǎn)的兩個(gè)字母來表示．例如,上圖(3)中的五棱柱可表示為棱柱ABCDEA′B′C′D′E′或棱柱AC′.棱柱又分為斜棱柱和直棱柱．側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱（上圖（1）)．側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱（上圖(2）（3)）．底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱（上圖（3）)．(4）下面研究一些特殊的四棱柱．底面是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體(下圖)．側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體（下圖(2）(3）(4）)．底面是矩形的直平行六面體是長方體（下圖(3)（4）．棱長都相等的長方體是正方體（下圖(4)）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題))1觀察如下圖所示的多面體,可能會(huì)判定是一些棱錐,棱錐集合具有什么性質(zhì)？棱錐有什么特征性質(zhì)?(2)閱讀教材,給出棱錐的側(cè)面、頂點(diǎn)、側(cè)棱、底面、高的定義，如何表示棱錐？（3)閱讀教材，棱錐如何分類？討論結(jié)果：（1）棱錐有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．（2)棱錐中有公共頂點(diǎn)的各三角形，叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱;多邊形叫做棱錐的底面；頂點(diǎn)到底面的距離，叫做棱錐的高．(3)棱錐用表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母或者用表示頂點(diǎn)和底面的一條對角線端點(diǎn)的字母來表示．例如,下圖中棱錐可表示為棱錐S—ABCDE或者棱錐S—AC。棱錐按底面是三角形、四邊形、五邊形……分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……如果棱錐的底面是正多邊形,且它的頂點(diǎn)在過底面中心且與底面垂直的直線上,則這個(gè)棱錐叫做正棱錐（下圖)．容易驗(yàn)證：正棱錐各側(cè)面都是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做棱錐的斜高(下圖)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)eq\a\vs4\al（閱讀教材，給出棱臺(tái)的有關(guān)概念。）討論結(jié)果：如左下圖所示，棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)．原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面、上底面；其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；兩底面間的距離叫做棱臺(tái)的高.由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．正棱臺(tái)各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺(tái)的斜高．棱臺(tái)可用表示上下底面的字母來命名．如右上圖中的棱臺(tái)，記作棱臺(tái)ABCD—A′B′C′D′，或記作棱臺(tái)AC′。棱臺(tái)的下底面為ABCD、上底面為A′B′C′D′、高為OO′。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1設(shè)計(jì)一個(gè)平面圖形，使它能夠折成一個(gè)側(cè)面與底面都是等邊三角形的正三棱錐．解：因?yàn)橐谱鞯恼忮F的側(cè)面與底面都是等邊三角形，所以它的棱長都相等（下圖)．于是作一個(gè)等邊三角形及其三條中位線，如下圖所示，沿圖中的實(shí)線剪下這個(gè)三角形，再以虛線（中位線）為折痕就可折成符合題意的幾何體．點(diǎn)評：本題揭示了平面圖形與立體圖形的關(guān)系，即可以相互轉(zhuǎn)化，因此將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．變式訓(xùn)練1．一個(gè)無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，如左下圖所示,A、B、C是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中∠ABC＝__________.解析：如右上圖所示，折成正方體，很明顯點(diǎn)A、B、C是上底面正方形的三個(gè)頂點(diǎn),則∠ABC＝90°。答案:90°例2已知正四棱錐V—ABCD（下圖),底面面積為16,一條側(cè)棱長為2eq\r(11），計(jì)算它的高和斜高．解：設(shè)VO為正四棱錐V—ABCD的高,作OM⊥BC于點(diǎn)M，則M為BC中點(diǎn)．連結(jié)OM、OB，則VO⊥OM，VO⊥OB。因?yàn)榈酌嬲叫蜛BCD的面積為16，所以BC＝4，BM＝OM＝2,OB＝eq\r（BM2＋OM2）＝eq\r(22＋22）＝2eq\r(2)。又因?yàn)閂B＝2eq\r（11)，在Rt△VOB中，由勾股定理，得VO＝eq\r(VB2－OB2）＝eq\r（2\r（11)2－2\r（2)2）＝6。在Rt△VOM(或Rt△VBM中，由勾股定理，得VM＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)(或VM＝eq\r(2\r（11)2－22）＝2eq\r(10))．即正四棱錐的高為6，斜高為2eq\r(10）.點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．正棱錐中,高、斜高和底面正多邊形的邊心距構(gòu)成直角三角形;高、側(cè)棱和底面正多邊形的半徑構(gòu)成直角三角形．變式訓(xùn)練如下圖,在正四棱錐S—ABCD中，SO是這個(gè)四棱錐的高，SM是斜高，且SO＝8，SM＝11；(1）求側(cè)棱長；（2)求一個(gè)側(cè)面的面積；（3）求底面的面積．答案：略思路2例3下列幾何體是棱柱的有()A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)解析:判斷一個(gè)幾何體是哪種幾何體,一定要緊扣柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征,注意定義中的特殊字眼，切不可馬虎大意．棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個(gè)面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行．當(dāng)一個(gè)幾何體同時(shí)滿足這三方面的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，這個(gè)幾何體才是棱柱．很明顯，幾何體②④⑤⑥均不符合，僅有①③符合．答案：D點(diǎn)評：本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征．本題容易錯(cuò)認(rèn)為幾何體②也是棱柱，其原因是忽視了棱柱必須有兩個(gè)面平行這個(gè)結(jié)構(gòu)特征,避免出現(xiàn)此類錯(cuò)誤的方法是將教材中的各種幾何體的結(jié)構(gòu)特征放在一起對比，并且和圖形對應(yīng)起來記憶,要做到看到文字?jǐn)⑹鼍拖氲綀D,看到圖形就想到文字?jǐn)⑹觯兪接?xùn)練1．下列幾個(gè)命題中，①兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；②有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；④棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．0解析：①中兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保證側(cè)棱會(huì)交于一點(diǎn),所以①是錯(cuò)誤的；②中兩個(gè)底面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形，也有可能兩底面根本就不相似，所以②不正確；③中底面不一定是正方形，所以③不正確；很明顯④是正確的．答案：A2．下列命題中正確的是()A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D．棱臺(tái)各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)答案:D例4長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長方體的表面的最短距離為(）A．1＋eq\r(3）B．2＋eq\r(10）C．3eq\r（2)D．2eq\r(3)活動(dòng)：解決空間幾何體表面上兩點(diǎn)間最短線路問題，一般都是將空間幾何體表面展開,轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間線段長，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．解析:如左下圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3,BC＝2，BB1＝1。如右上圖所示，將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開，則有AC1＝eq\r（52＋12）＝eq\r（26）,即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)的最短距離是eq\r(26）；如左下圖所示,將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開,則有AC1＝eq\r（32＋32)＝3eq\r（2），即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是3eq\r(2)；如右上圖所示，將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開，則有AC1＝eq\r（42＋22)＝2eq\r(5)，即經(jīng)過側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是2eq\r（5).由于3eq\r(2)<2eq\r(5)，3eq\r（2)〈eq\r(26）,所以由A到C1在正方體表面上的最短距離為3eq\r（2).答案：C點(diǎn)評：本題主要考查空間幾何體的簡單運(yùn)算及轉(zhuǎn)化思想．求表面上最短距離可把立體圖形展成平面圖形．變式訓(xùn)練1．左下圖是邊長為1m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲被蜘蛛網(wǎng)粘住,請制作出實(shí)物模型，將正方體剪開，描述蜘蛛爬行的最短路線．分析:制作實(shí)物模型（略）．通過正方體的展開右上圖可以發(fā)現(xiàn)，AB間的最短距離為A、B兩點(diǎn)間的線段的長eq\r(22＋12）＝eq\r（5）.由展開圖可以發(fā)現(xiàn)，C點(diǎn)為其中一條棱的中點(diǎn)．具體爬行路線如下圖中的粗線所示,我們要注意的是爬行路線并不唯一．解：爬行路線如下圖（1)～(6)所示：2．如下圖所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長為__________．解析：將正三棱柱ABC-A1B1C1沿側(cè)棱AA1展開，其側(cè)面展開圖如左下圖所示，則沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長就是左下圖中AD＋DA1。延長A1F至M，使得A1F＝FM，連結(jié)DM，則A1D＝DM，如右下圖所示．則沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長就是如右上圖中線段AM的長．在右上圖中，△AA1M是直角三角形，則AM＝eq\r(AA\o\al（2,1）＋A1M2）＝eq\r(82＋1＋1＋1＋1＋1＋12)＝10。答案：10eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練）)1．如下圖，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是(）A．（1)是棱臺(tái)B．（2)是棱臺(tái)C．(3）是棱錐D．(4)不是棱柱解析：圖(1)不是由棱錐截來的,所以（1)不是棱臺(tái)；圖(2)上下兩個(gè)面不平行，所以(2)不是棱臺(tái);圖（4）前后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以（4)是棱柱;很明顯（3）是棱錐．答案：C2．正方體的截平面不可能是：①鈍角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五邊形；⑤正六邊形．下述選項(xiàng)正確的是（）A．①②⑤B．①②④C．②③④D．③④⑤解析：正方體的截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形（證明略）；對四邊形來講，可以是梯形(等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形(證明略)；對五邊形來講，不可能是正五邊形(證明略)；對六邊形來講，可以是六邊形（正六邊形）．答案:Beq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升)）1．有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎?剖析:如下圖所示，此幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形,很明顯這個(gè)幾何體不是棱柱,因此說有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱．由此看，判斷一個(gè)幾何體是否是棱柱,關(guān)鍵是緊扣棱柱的3個(gè)本質(zhì)特征：①有兩個(gè)面互相平行；②其余各面都是四邊形；③每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行．這3個(gè)特征缺一不可，下圖所示的幾何體不具備特征③.2．有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？剖析：如左下圖所示，將正方體ABCD—A1B1C1D1截去兩個(gè)三棱錐A—A1B1D1和C-B1C1D1，得如右下圖所示的幾何體．右上圖所示的幾何體有一個(gè)面ABCD是四邊形，其余各面都是三角形的幾何體，很明顯這個(gè)幾何體不是棱錐，因此說有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐．由此看，判斷一個(gè)幾何體是否是棱錐，關(guān)鍵是緊扣棱錐的3個(gè)本質(zhì)特征：①有一個(gè)面是多邊形；②其余各面都是三角形；③這些三角形面有一個(gè)公共頂點(diǎn)．這3個(gè)特征缺一不可，右上圖所示的幾何體不具備特征③.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）本節(jié)課學(xué)習(xí)了棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè))）1．如下圖，甲所示為一幾何體的展開圖．(1）沿圖中虛線將它們折疊起來,是哪一種幾何體？試用文字描述并畫出示意圖．(2）需要多少個(gè)這樣的幾何體才能拼成一個(gè)棱長為6cm的正方體？請?jiān)趫D乙棱長為6cm的正方體ABCD—A1B1C1D1中指出這幾個(gè)幾何體的名稱．答案:（1)有一條側(cè)棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐，如下圖甲所示．(2）需要3個(gè)這樣的幾何體，如上圖乙所示．分別為四棱錐：A1-CDD1C1，A1-ABCD，A1-BCC1B1。2．如下圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB＝3，AA1＝4.M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為eq\r（29)，設(shè)這條最短路線與CC1的交點(diǎn)為N，求P點(diǎn)的位置．分析:把三棱錐展開后放在平面上,通過列方程解應(yīng)用題來求出P到C點(diǎn)的距離，即確定了P點(diǎn)的位置．解：如下圖所示，把正三棱錐展開后，設(shè)CP＝x,根據(jù)已知可得方程22＋（3＋x)2＝29.解得x＝2（x>0）．所以P點(diǎn)的位置在離C點(diǎn)距離為2的地方．3．正四棱錐的側(cè)棱長為2eq\r（3),側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該棱錐的體積為（)A．3B．6C．9