數(shù)學(xué)教案：平面的基本性質(zhì)與推論

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7（)，\s\do5（整體設(shè)計）)教學(xué)分析教材通過實例歸納和抽象出了平面的基本性質(zhì)與推論，以及異面直線的概念，并類比集合給出了點、直線和平面之間的關(guān)系的符號表示．在教學(xué)中，要留給學(xué)生足夠的時間，引導(dǎo)學(xué)生歸納和抽象平面的基本性質(zhì)與推論．三維目標(biāo)1．掌握平面的基本性質(zhì)及推論，提高學(xué)生的歸納、抽象能力．2．掌握異面直線的概念,能用集合符號表示點、直線、平面的位置關(guān)系，提高學(xué)生抽象思維和類比能力，培養(yǎng)空間想象能力．重點難點教學(xué)重點：平面的基本性質(zhì)與推論，以及異面直線的概念．教學(xué)難點：歸納平面的基本性質(zhì)與推論．課時安排1課時eq\o（\s\up7（),\s\do5（教學(xué)過程））導(dǎo)入新課設(shè)計1.(情境導(dǎo)入）大家都看過電視劇《西游記》吧，如來佛對孫悟空說:“你一個跟頭雖有十萬八千里，但不會跑出我的手掌心”．結(jié)果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個點，他的運動成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對,像一個平面,今天我們開始認(rèn)識數(shù)學(xué)中的平面．設(shè)計2.(實例導(dǎo)入)觀察長方體（下圖)，你能發(fā)現(xiàn)長方體的頂點、棱所在的直線,以及側(cè)面、底面之間的關(guān)系嗎？長方體由上、下、前、后、左、右六個面圍成．有些面是平行的,有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行,有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個面內(nèi)的直線等等．怎樣用符號表示空間中的點、直線、平面之間的位置關(guān)系呢?本節(jié)我們將討論這些問題．

推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題））1在幾何學(xué)中，我們用點標(biāo)記位置。在日常生活中,一位同學(xué)從一個位置走到另一個位置，他經(jīng)過路徑,就用一條線段來表示,連結(jié)兩點的線中，什么線最短？2把一根直尺邊緣上的任意兩點放在平整的桌面上，可以看到直尺邊緣與桌面重合,這是顯而易見的事實，這說明了平面具有什么性質(zhì)?3在日常生活中,照相機的腳架，施工用的撐腳架，天文望遠鏡的腳架等都制成三個腳，這樣，可以使這些物體放置得很平穩(wěn)。這說明了平面具有什么性質(zhì)?4長方體表面中的任意兩個面，要么平行，要么交于一條直線,其實空間任意兩個不重合的平面都有這樣的性質(zhì).那么,兩個平面在什么情況下相交？這說明了平面具有什么性質(zhì)？討論結(jié)果：（1)連接兩點的線中，線段最短；過兩點有一條直線，并且只有一條直線．（2)基本性質(zhì)1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)(如左下圖）．這時我們說，直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線．(3)基本性質(zhì)2經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(如右上圖）．這也可以簡單地說成,不共線的三點確定一個平面．（4）基本性質(zhì)3如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線．（如左下圖)．為了簡便,以后說到兩個平面,如不特別說明，都是指不重合的兩個平面．如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交．這條公共直線叫做這兩個平面的交線．如下圖，平面α與β相交，交線是a；平面δ與γ相交,交線是b.在畫兩個平面相交時，如果其中一個平面被另一個平面遮住，應(yīng)把表示平面的平行四邊形被遮住的部分畫成虛線或不畫．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題))eq\a\vs4\al(1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，可以確定一個平面嗎？,2經(jīng)過兩條相交直線，可以確定一個平面嗎?，3經(jīng)過兩條平行直線,可以確定一個平面嗎？，4在空間中，存在既不平行又不相交的兩條直線嗎?,5閱讀教材，怎樣用集合符號表示點、直線、平面的位置關(guān)系？)討論結(jié)果：（1）推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面（如下圖(1))．

圖（1)圖（2）圖（3)事實上，如上圖（1)所示,直線BC外一點A和直線BC上的兩點B,C不共線，根據(jù)基本性質(zhì)2,A，B，C三點確定一個平面ABC。并且，點A和直線BC都在平面ABC內(nèi)．（2）推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面（如上圖（2）)．事實上，如上圖（2）所示,兩條相交直線AB,AC相交于點A，三點A，B，C確定的平面就是直線AB和AC確定的平面(3)推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面(如上圖（3))．事實上,根據(jù)平行線的定義,這兩條平行線在同一平面內(nèi)，又如上圖(3）所示，這個平面含有一條直線上的點A和另一條線上的兩點B，C,由基本性質(zhì)2可知,這個平面是確定的．（4)在空間，兩條直線還可能有既不相交也不平行的情況．如下圖所示，直線AB與平面α相交于點B，點A在α外，直線l在α內(nèi)，但不過點B。這時直線l與直線AB，既不相交也不平行，它們不可能在同一平面內(nèi),否則點A在α內(nèi)．這與點A在α外矛盾．因此我們把這類既不相交又不平行的直線叫做異面直線．由以上分析，我們可以得到判斷兩條直線為異面直線的一種方法:與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線．(5)點A在平面α內(nèi)，記作A∈α，點A不在α內(nèi)，記作Aα；直線l在平面α內(nèi)，記作lα;直線l不在平面α內(nèi),記作lα；平面α與平面β相交于直線a，記作α∩β＝a；直線l和直線m相交于點A，記作l∩m＝｛A｝，簡記作l∩m＝A.基本性質(zhì)1可以用集合語言描述為：如果點A∈α,點B∈α，那么直線ABα.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例））思路1例1如下圖，用符號語言表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系．活動:學(xué)生自己思考或討論，再寫出（最好用實物投影儀展示寫的正確的答案)．教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正，并及時評價．解：在上圖(1）中，α∩β＝l，a∩α＝A,a∩β＝B。在上圖(2)中,α∩β＝l，aα,bβ，a∩l＝P,b∩l＝P.變式訓(xùn)練1．畫圖表示下列由集合符號給出的關(guān)系：（1）A∈α,Bα，A∈l，B∈l；（2)aα，bβ，a∥c,b∩c＝P，α∩β＝c.解:如下圖．2．根據(jù)下列條件，畫出圖形．（1）α∩β＝l,直線ABα,AB∥l，E∈AB，直線EF∩β＝F,Fl；（2)α∩β＝a，△ABC的三個頂點滿足條件：A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.答案：如下圖．點評：圖形語言與符號語言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點,主要有兩種題型：（1）根據(jù)圖形，先判斷點、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號表示出來．(2)根據(jù)符號,想象出點、直線、平面的位置關(guān)系,然后用圖形表示出來．思路2例2對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得（)A．a(chǎn)α，bαB．a(chǎn)α，b∥αC．a(chǎn)⊥α,b⊥αD．a(chǎn)α，b⊥α解析：若a、b異面，A、C選項錯；若a、b不垂直,D選項錯，故選B.答案：B例3如下圖，將無蓋正方體紙盒展開，直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是(）A．平行B．相交且垂直C．異面直線D．相交成60°解析:如上圖，將上面的展開圖還原成正方體,點B與點D重合．容易知道AB＝BC＝CA，從而△ABC是等邊三角形，所以選D.答案：D點評：解決立體幾何中的翻折問題時,要明確在翻折前后，哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變化．變式訓(xùn)練1。如下圖，表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有__________對．答案：三2．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1、EF、CD都相交的直線（)A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無數(shù)條解析：在A1D1延長線上取一點H，使A1D1＝D1H，在DC延長線上取一點G。使CG＝2DC，延長EF，連結(jié)HG與EF交于一點．連結(jié)D1F必與DC延長線相交，延長D1A1，連結(jié)DE必與D1A1延長線相交．連結(jié)A1C與EF交于EF中點，故選D。答案:Deq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練））1．畫一個正方體ABCD—A′B′C′D′，再畫出平面ACD′與平面BDC′的交線，并且說明理由．解:如下圖，連結(jié)BD、AC交于點E，CD′、DC′交于點F,直線EF即為所求．∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′。∵F∈DC′，∴F∈平面BDC′?！郋F為所求．2．已知△ABC三邊所在直線分別與平面α交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線．證明：如下圖,∵A、B、C是不在同一直線上的三點，∴過A、B、C有一個平面β。又∵AB∩α＝P,且ABβ，∴點P既在β內(nèi)又在α內(nèi)．設(shè)α∩β＝l，則P∈l，同理可證：Q∈l，R∈l?！郟、Q、R三點共線．3．O1是正方體ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，過D1、B1、A作一個截面，求證：此截面與對角線A1C的交點P一定在AO1上．證明：如下圖，連結(jié)A1C1、AC，因AA1∥CC1,則AA1與CC1可確定一個平面AC1,易知截面AD1B1與平面AC1有公共點A、O1，所以截面AD1B1與平面AC1的交線為AO1。又P∈A1C,得P∈平面AC1,而P∈截面AB1D1，故P在兩平面的交線上,即P∈AO1.點評:證明共點、共線問題關(guān)鍵是利用兩平面的交點必在交線上．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升))求證：兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi)．證明:如下圖，直線a、b、c、d兩兩相交，交點分別為A、B、C、D、E、F，∵直線a∩直線b＝A，∴直線a和直線b確定平面設(shè)為α,即a，bα.∵B、C∈a,E、F∈b，∴B、C、E、F∈α。而B、F∈c，C、E∈d，∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面內(nèi)．點評：在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到證明點和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有:(1)直線與直線外一點；(2)兩條相交直線;(3)兩條平行直線．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)）)本節(jié)課學(xué)習(xí)了:1．平面的基本性質(zhì)與推論；2．異面直線；3．用符號表示空間位置關(guān)系．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業(yè)））本節(jié)練習(xí)A2,3,4,5題．eq\o(\s\up7（),\s\do5(設(shè)計感想))由于本節(jié)是學(xué)習(xí)位置關(guān)系的起始課，所以在設(shè)計時注重從不完全歸納入手，以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力為核心，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維．eq\o(\s\up7()，\s\do5(備課資料))備選習(xí)題1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C與面DBC1交于O點，AC、BD交于M,如下圖．求證：C1、O、M三點共線．證明：∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2,C1、O、M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上，∴C1、O、M三點共線．2．已知一條直線與三條平行直線都相交，求證:這四條直線共面．證明：已知直線a∥b∥c，直線l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證