人教版九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題24.2垂徑定理特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.2垂徑定理【名師點(diǎn)睛】1.垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?.垂徑定理的應(yīng)用（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【典例剖析】【考點(diǎn)1】垂徑定理的認(rèn)識【例1】（2020·山西忻州·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB且相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是（

）A．∠A=∠D B．CB=BD C．∠ACB=90° 【變式1】（2021·湖北宜昌·九年級期中）如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．BD【考點(diǎn)2】利用垂徑定理求邊長【例2】（2021·江蘇·淮安市洪澤實驗中學(xué)九年級期中）如圖，點(diǎn)A、B是⊙O上兩點(diǎn)，AB=8，點(diǎn)P是⊙O上的動點(diǎn)（P與A、B不重合），連接AP、PB，過點(diǎn)O分別作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，則EF為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為9，AB是弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，將劣弧AB沿弦AB折疊交OC于點(diǎn)D，若OD=DC，則弦AB的長為（

）A．53 B．65 C．35【考點(diǎn)3】利用垂徑定理求最值【例3】（2022·河南商丘·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動點(diǎn)，若MN＝a，則△PMN周長的最小值為（

）A．4 B．4＋a C．2＋a D．3＋a【變式3】（2022·河北廊坊·九年級期末）如圖，⊙O的半徑為5，OA=3，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O的最短弦的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【考點(diǎn)4】利用垂徑定理解決平行弦問題【例4】（2021·云南省個舊市第二中學(xué)九年級期中）已知⊙O的直徑為26cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，則AB、CD之間的距離為_______cm．【變式4】（2020·天津和平·九年級期中）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上任意一點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為_____．【考點(diǎn)5】垂徑定理的有關(guān)計算與證明【例5】（2021·浙江·杭州仁和實驗學(xué)校九年級期中）如圖，AC為⊙O的直徑，BD是弦，且AC⊥BD于點(diǎn)E．連接AB、OB、BC．(1)求證：∠CBO=∠ABD；(2)若AE=4cm,CE=16cm【變式5】（2022·上?！とA東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)九年級期中）如圖，已知⊙O的直徑AB=10，點(diǎn)P是弦BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的長．【例6】（2021·浙江杭州·九年級期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．(1)求AB所在圓的半徑r的長；(2)當(dāng)洪水上升到跨度只有30米時，要采取緊急措施．若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？并說明理由．【變式6】（2021·浙江寧波·九年級期中）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑．（2）有一艘寬為7.8m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3m，則此貨船是否能順利通過此圓弧形拱橋？并說明理由．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?大名縣三模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2022?甘肅模擬）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)M是弦AB上的動點(diǎn)，則（）A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤53．（2022?威海模擬）⊙O中，點(diǎn)C為弦AB上一點(diǎn)，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則線段CD的最大值是（）A． B．1 C． D．24．（2022?平桂區(qū)一模）如圖，在⊙O中，直徑AB＝8，弦DE⊥AB于點(diǎn)C，若AD＝DE，則BC的長為（）A． B． C．1 D．25．（2022?廬陽區(qū)校級三模）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，則AC的長為（）A．8 B．10 C．4 D．46．（2022?澄城縣三模）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，則OE的長為（）A．3 B．4 C．2 D．57．（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（）A． B．2m C． D．3m8．（2022?白云區(qū)二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB＝48cm，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（）cm．A．10 B．14 C．26 D．529．（2022?天河區(qū)二模）把半徑長為2.5的球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知CD＝4，則EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．510．（2021秋?開化縣期末）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長1尺，則圓形木材的直徑是（）（1尺＝10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸二．填空題（共8小題）11．（2022?牡丹江）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長為．12．（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為m．13．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA＝7，則BC的長為．14．（2022?南漳縣模擬）已知⊙O的半徑為13cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，則弦AB與CD之間的距離為cm．15．（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的面積為.（結(jié)果保留π）16．（2022?開福區(qū)校級二模）如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣?。?，其跨度為16米，拱的半徑為10米，則拱高CD為米．17．（2022?柯橋區(qū)一模）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中卷九中記載了一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意思是：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直徑AB的長為多少寸？（注：1尺＝10寸）根據(jù)題意，該圓的直徑為寸．18．（2022春?長沙期中）某隧道口橫截面如圖所示，上部分是圓弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高點(diǎn)E與DC的距離EF為4米，且弧DC所在圓的半徑為10米，則路面AB的寬度為米．三．解答題（共6小題）19．（2021秋?潛山市期末）如圖1所示，圓形拱門屏風(fēng)是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味．圖2是一款拱門的示意圖，其中拱門最下端AB＝18分米，C為AB中點(diǎn)，D為拱門最高點(diǎn)，圓心O在線段CD上，CD＝27分米，求拱門所在圓的半徑．20．（2021秋?黔西南州期末）如圖，在一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為60m，拱高PM為18m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30m時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有4m，即PN＝4m時，試通過計算說明是否需要采取緊急措施．21．（2021秋?長葛市期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，書中記載：“今有中，不知大?。凿忎徶?寸，鋸道長1尺，問經(jīng)幾何？”其意思為：“如圖，今有一圓形木材在墻中，不知其大小用鋸子去鋸這個木材，鋸口深DE＝1寸，鋸道長AB＝10寸，問這塊圓形木材的直徑是多少？”22．（2021秋?金安區(qū)月考）如圖所示，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下的水面寬度AB為7.2m，拱頂高出水面（CD）2.4m，現(xiàn)有一艘寬EF為3m且船艙頂部為長方形并高出水面1.5m的貨船要經(jīng)過這里，則貨船能順利通過這座拱橋嗎？請作出判斷并說明理由．23．（2022?合肥模擬）如圖，在⊙O中，AB，AC為弦，CD為直徑，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF與CD相交于G．（1）求證：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半徑．24．（2022?全椒縣一模）如圖，⊙O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．（1）OM⊥CD于點(diǎn)M，CD＝24，⊙O的半徑長為4，求OM的長．（2）點(diǎn)G在BD上，且AG⊥BD交CD于點(diǎn)F，求證：CE＝EF．【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.2垂徑定理【名師點(diǎn)睛】1.垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．2.垂徑定理的應(yīng)用（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【典例剖析】【考點(diǎn)1】垂徑定理的認(rèn)識【例1】（2020·山西忻州·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB且相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是（

）A．∠A=∠D B．CB=BD C．∠ACB=90° 【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理，圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角等知識判斷即可．【詳解】∵∠A，∠D是同弧所對的圓周角，∴∠A=∠D，∴A正確；∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB，∴CB=∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，C正確；∵∠COB=2∠A，∠A=∠D，∴∠COB=2∠D∴D錯誤；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021·湖北宜昌·九年級期中）如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．BD【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理可得：BD=BC，DE=CE，進(jìn)而得到∠COE=∠DOE，無法得到OE=【詳解】∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，∴BD=BC，DE=CE，∴B，D選項正確；∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠COE=∠DOE，∴A選項正確；只有當(dāng)∠COE=60°時，才有OE=BE．∴C選項不成立；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓心角、弧之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理．垂徑定理：垂直弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。究键c(diǎn)2】利用垂徑定理求邊長【例2】（2021·江蘇·淮安市洪澤實驗中學(xué)九年級期中）如圖，點(diǎn)A、B是⊙O上兩點(diǎn)，AB=8，點(diǎn)P是⊙O上的動點(diǎn)（P與A、B不重合），連接AP、PB，過點(diǎn)O分別作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，則EF為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AE＝PE，PF＝BF，故可得出EF是△APB的中位線，再根據(jù)中位線定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，AB＝8，∴AE＝PE，PF＝BF，∴EF是△APB的中位線，∴EF＝12AB＝1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，中位線定理，熟知垂直于弦的直徑平分弦是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為9，AB是弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，將劣弧AB沿弦AB折疊交OC于點(diǎn)D，若OD=DC，則弦AB的長為（

）A．53 B．65 C．35【答案】B【分析】根據(jù)翻折變換求出OD=CD=3，OC=6，根據(jù)垂徑定理求出AC=BC，根據(jù)勾股定理求出AC即可．【詳解】解：∵⊙O的半徑為9，將劣弧AB沿弦AB折疊交于OC的中點(diǎn)D，∴OD=CD=13×9=3，OC=OD+CD∵OC⊥AB，OC過圓心O，∴∠ACO=90°，AC=BC，即AB=2AC，連接OA，由勾股定理得：AC=OA2?O即AC=BC=35，∴AB=AC+BC=65，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，垂徑定理等知識點(diǎn)，能求出AC=BC是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3】利用垂徑定理求最值【例3】（2022·河南商丘·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動點(diǎn)，若MN＝a，則△PMN周長的最小值為（

）A．4 B．4＋a C．2＋a D．3＋a【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到：點(diǎn)N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N′，連接MN′交AB于P，此時PM+PN最小，即△PMN周長的最小，利用圓的對稱性進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N′，則點(diǎn)N′在⊙O上，連接MN′交AB于P，此時PM+PN最小，即PM+PN＝MN′，連接OM、ON∵點(diǎn)N是BM的中點(diǎn)，∠BAM＝20°，∴∠BOM=2∠BAM∴MN＝NB＝BN∴∠BON′＝12∠MOB=∴∠MON′＝60°，∵OM=O∴△MON′是正三角形，∴OM＝ON′＝MN′＝12AB＝4∵M(jìn)N＝a，△PMN周長=MP+PN+MN=MP+PN∴△PMN周長的最小值為4+a，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱，掌握圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·河北廊坊·九年級期末）如圖，⊙O的半徑為5，OA=3，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O的最短弦的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】如圖，過A點(diǎn)作弦BC⊥OA，交⊙O于點(diǎn)B、C，連接OB，過點(diǎn)A作弦EF，交⊙O于點(diǎn)E、F，過O點(diǎn)作OG⊥EF，連接OF，根據(jù)垂徑定理得到AB=AC，EG=FG，在Rt△OAG中，OA>OG，從而在Rt△OAB和Rt△OGF中，根據(jù)OB=OF和勾股定理，可得到FG>AB，EF>BC，從而說明BC為過A點(diǎn)的最短弦，然后再利用勾股定理計算出AB，從而求出BC即可．【詳解】解：如圖，過A點(diǎn)作弦BC⊥OA，交⊙O于點(diǎn)B、C，連接OB；過點(diǎn)A作弦EF，交⊙O于點(diǎn)E、F，過O點(diǎn)作OG⊥EF，連接OF，∴AB=AC，EG=FG，∴在Rt△OAG中，OA>OG，∵在Rt△OAB和Rt△OGF中，OB=OF，F(xiàn)G=OF2∴FG>AB，∴EF>BC，∴BC為過A點(diǎn)的最短弦，∵⊙O的半徑為5，OA=3，∴在Rt△OAB中，AB=O∴BC=2AB=8，∴經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O的最短弦的長為8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，也考查了勾股定理．理解和掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4】利用垂徑定理解決平行弦問題【例4】（2021·云南省個舊市第二中學(xué)九年級期中）已知⊙O的直徑為26cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，則AB、CD之間的距離為_______cm．【答案】7或17##17或7【分析】首先分先AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，畫出圖形，過圓心O作兩弦的垂線，利用垂徑定理可分別求出圓心到兩弦的距離，從而可求出兩弦間的距離．【詳解】①當(dāng)弦AB、CD在圓心的同側(cè)時，如圖1過點(diǎn)O作OF⊥CD交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC∵AB//CD∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙O的直徑為26∴OA=OC=13∴OE=OA∴EF=OF-OE=7②當(dāng)弦AB、CD在圓心的異側(cè)時，如圖2過點(diǎn)O作OF⊥CD，延長FO交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC∵AB//CD∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙O的直徑為26∴OA=OC=13∴OE=OA∴EF=OF+OE=17故答案為：7或17．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，解題是要注意分AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論．【變式4】（2020·天津和平·九年級期中）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上任意一點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為_____．【答案】21【分析】由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對稱，因而PA＋PC＝PB＋PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．【詳解】解：連接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，∴BE＝12AB＝12，CF＝1∴OE=OB2∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理得：BC=B即PA＋PC的最小值為212故答案為：212【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理以及最短路徑問題，靈活根據(jù)垂徑定理確定最短路徑是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)5】垂徑定理的有關(guān)計算與證明【例5】（2021·浙江·杭州仁和實驗學(xué)校九年級期中）如圖，AC為⊙O的直徑，BD是弦，且AC⊥BD于點(diǎn)E．連接AB、OB、BC．(1)求證：∠CBO=∠ABD；(2)若AE=4cm,CE=16cm【答案】(1)見解析(2)弦BD的長為16cm【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得AB=AD，進(jìn)而可得∠ABD＝∠C，根據(jù)半徑相等可得∠C＝∠（2）在Rt△OBE中，勾股定理求得BE，根據(jù)垂徑定理可得BE＝DE，即可求解．（1）∵AC為⊙O的直徑，且AC⊥BD，∴AB=AD∴∠ABD＝∠C，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO，∴∠CBO＝∠（2）∵AE＝4，CE＝16，∴OA＝10，OE＝6，在Rt△OBE中，BE=102?62=8，∵AC為⊙O的直徑，且AC⊥BD，∴BE＝DE，∴BD【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理等，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·上?！とA東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)九年級期中）如圖，已知⊙O的直徑AB=10，點(diǎn)P是弦BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的長．【答案】BC=8【分析】過點(diǎn)O作OD⊥BC，則DC=DB，根據(jù)垂徑定理可得DC=DB，根據(jù)∠OPB=45°，可得△PDO是等腰直角三角形，在Rt△ODB中，勾股定理建立方程，解方程求解即可求得PD=3，然后即可求得BC的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥BC，則DC=DB，∵∠OPB=45°，∴△PDO是等腰直角三角形，∴PD=DO，設(shè)PD=DO=x，由PC=1∴DB=DC=x+1∵⊙O的直徑AB=10，∴OB=5在Rt△ODB中，Oxx=3∴CD=3+1=4∴BC=2CD=8．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【例6】（2021·浙江杭州·九年級期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．(1)求AB所在圓的半徑r的長；(2)當(dāng)洪水上升到跨度只有30米時，要采取緊急措施．若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？并說明理由．【答案】(1)34(2)不需要采取緊急措施，見解析【分析】（1）連接OA，根據(jù)題意，AD=12AB，OD=r-PD，在直角三角形（2）連接OA'，根據(jù)題意，A'E=12A'B'，(1)解：連結(jié)OA，由題意得：AD＝12AB＝30，OD＝(r在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2解得，r＝34．(2)解：連結(jié)OA∵OE＝OP?PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A'∴A'解得：A'∴A'∵A'B∴不需要采取緊急措施．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式6】（2021·浙江寧波·九年級期中）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑．（2）有一艘寬為7.8m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3m，則此貨船是否能順利通過此圓弧形拱橋？并說明理由．【答案】（1）6.5米；（2）不能順利通過，理由見解析【分析】（1）設(shè)圓心為O，連接OC，OB，拱橋的半徑r米，作出相應(yīng)圖形，然后在RtΔODB中，利用勾股定理求解即可得；（2）考慮當(dāng)弦長為7.8時，利用（1）中結(jié)論，可得弦心距d=5.2<6.5?4+3，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖所示，設(shè)圓心為O，連接OC，OB，拱橋的半徑r米，在RtΔODB中，r2解得r=6.5米；（2）當(dāng)弦長為7.8時，弦心距d=6.5∴此貨船不能順利通過此圓弧形拱橋．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，求弦心距，勾股定理等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，結(jié)合性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?大名縣三模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，根據(jù)垂徑定理得出CE＝DE＝4，根據(jù)勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．【解析】連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，∵CD⊥AB，AB過圓心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（8﹣R）2，解得：R＝5，即⊙O的半徑長是5，故選：A．2．（2022?甘肅模擬）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)M是弦AB上的動點(diǎn)，則（）A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤5【分析】當(dāng)M與A或B重合時，OM最長，當(dāng)OM垂直于AB時，OM最短，即可求出OM的范圍．【解析】當(dāng)M與A（B）重合時，OM的值最大＝OA＝5；當(dāng)OM垂直于AB時，可得出M為AB的中點(diǎn)，此時OM最小，連接OA，在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝AB＝4，根據(jù)勾股定理得：OM＝＝3，∴3≤OM≤5，故選：D．3．（2022?威海模擬）⊙O中，點(diǎn)C為弦AB上一點(diǎn)，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則線段CD的最大值是（）A． B．1 C． D．2【分析】因為CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，連接OD，△OCD是直角三角形，則CD＝，因為半徑OD是定值，當(dāng)OC取得最小值時線段CD取得最大值．【解析】連接OD，∵CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，∴△OCD是直角三角形，根據(jù)勾股定理得CD＝，∵半徑OD是定值，∴當(dāng)OC⊥AB時，線段OC最小，此時D與B重合，CD＝，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝，∴CD＝＝BC＝．故選：A．4．（2022?平桂區(qū)一模）如圖，在⊙O中，直徑AB＝8，弦DE⊥AB于點(diǎn)C，若AD＝DE，則BC的長為（）A． B． C．1 D．2【分析】根據(jù)垂徑定理求出DC＝CE，求出DC＝AD，求出∠DAB＝30°，求出∠CDB＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出BD＝AB，BC＝BD，再求出BC即可．【解析】∵DE⊥AB，AB過圓心O，∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，∵AD＝DE，∴DC＝AD，∴∠DAC＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD＝AB＝＝4，∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵∠DCB＝90°，∴∠CDB＝30°，∴BC＝BD＝，故選：D．5．（2022?廬陽區(qū)校級三模）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，則AC的長為（）A．8 B．10 C．4 D．4【分析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑為R，則OA＝R，OE＝R﹣2，根據(jù)垂徑定理求出AE＝BE＝4，根據(jù)勾股定理求出OA2＝OE2+AE2，得出R2＝（R﹣2）2+42，求出R，再求出CE，最后根據(jù)勾股定理求出AC即可．【解析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑為R，則OA＝R，OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，CD過圓心O，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，∴AC＝＝＝4，故選：C．6．（2022?澄城縣三模）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，則OE的長為（）A．3 B．4 C．2 D．5【分析】連接OB、AB，根據(jù)垂徑定理求出BE，根據(jù)三角形中位線定理求出AB，根據(jù)勾股定理求出AE，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解析】連接OB、AB，∵BD⊥AO，BD＝8，∴BE＝ED＝BD＝4，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，∵CO＝OA，OF＝，∴AB＝2OF＝2，由勾股定理得：AE＝＝2，在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即OA2＝（OA﹣2）2+42，解得：OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．故選：A．7．（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（）A． B．2m C． D．3m【分析】取圓心為O，連接OA，由垂徑定理設(shè)⊙O的半徑為rm，則OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂徑定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，得出該拱門的半徑為m，即可得出答案．【解析】如圖，取圓心為O，連接OA，設(shè)⊙O的半徑為rm，則OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD＝AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，∴該拱門的半徑為m，故選：A．8．（2022?白云區(qū)二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB＝48cm，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【分析】設(shè)半徑為rcm，則OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解方程可得半徑，進(jìn)而可得直徑．【解析】如圖所示：由題意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），設(shè)半徑為rcm，則OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，所以2r＝52，故選：D．9．（2022?天河區(qū)二模）把半徑長為2.5的球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知CD＝4，則EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．5【分析】設(shè)球的平面投影圓心為O，過點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，延長NO交BC于點(diǎn)M，連接OF，MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，再利用勾股定理可得NF，進(jìn)而可得EF的長．【解析】設(shè)球的平面投影圓心為O，過點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，延長NO交BC于點(diǎn)M，連接OF，如圖所示：則NF＝EN＝EF＝2，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，故選：C．10．（2021秋?開化縣期末）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長1尺，則圓形木材的直徑是（）（1尺＝10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸【分析】連接OA、OC，由垂徑定理得AC＝BC＝AB＝5寸，連接OA，設(shè)圓的半徑為x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半徑，進(jìn)而直徑可求．【解析】連接OA、OC，如圖：由題意得：C為AB的中點(diǎn)，則O、C、D三點(diǎn)共線，OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝5（寸），設(shè)圓的半徑為x寸，則OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圓材直徑為2×13＝26（寸）．故選：D．二．填空題（共8小題）11．（2022?牡丹江）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長為4或2．【分析】連接OA，由AB⊥CD，設(shè)OC＝5x，OM＝3x，則DM＝2x，根據(jù)CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根據(jù)垂徑定理得到AM＝4，然后分類討論：當(dāng)如圖1時，CM＝8；當(dāng)如圖2時，CM＝2，再利用勾股定理分別計算即可．【解析】連接OA，∵OM：OC＝3：5，設(shè)OC＝5x，OM＝3x，則DM＝2x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB，在Rt△OAM中，OA＝5，AM＝，當(dāng)如圖1時，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC＝；當(dāng)如圖2時，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC＝．綜上所述，AC的長為4或2．故答案為：4或2．12．（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為m．【分析】連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為rm，根據(jù)垂徑定理的推論得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【解析】連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為rm，∵C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD過圓心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半徑長為m．故答案為：．13．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA＝7，則BC的長為7．【分析】根據(jù)已知條件證得△AOD≌△BCD（SAS），則BC＝OA＝7．【解析】∵OA＝OC＝7，且D為OC的中點(diǎn)，∴OD＝CD，∵OC⊥AB，∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，在△AOD和△BCD中，∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．故答案為：7．14．（2022?南漳縣模擬）已知⊙O的半徑為13cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，則弦AB與CD之間的距離為7或17cm．【分析】分兩種情況進(jìn)行分類討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)，先畫圖，然后作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可【解析】過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，直線OE交CD于F，連接OA、OC，如圖：∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AB＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，在Rt△OAE中，OE＝＝5，在Rt△OCF中，OF＝＝12，當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖1，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7（cm），當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖2，EF＝OF+OE＝12+5＝17（cm），綜上所述，弦AB和CD之間的距離為7cm或17cm．15．（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的面積為400π.（結(jié)果保留π）【分析】根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出OB2，再根據(jù)圓面積的計算方法進(jìn)行計算即可．【解析】如圖，連接OB，過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD過圓心，AB是弦，∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案為：400π．16．（2022?開福區(qū)校級二模）如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣?。?，其跨度為16米，拱的半徑為10米，則拱高CD為4米．【分析】先構(gòu)建直角三角形，再利用勾股定理和垂徑定理計算．【解析】因為跨度AB＝16m，拱所在圓半徑為10m，所以找出圓心O并連接OA，延長CD到O，構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理和垂徑定理求出DO＝6（m），進(jìn)而得拱高CD＝CO﹣DO＝10﹣6＝4（m）．故答案為：4．17．（2022?柯橋區(qū)一模）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中卷九中記載了一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意思是：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直徑AB的長為多少寸？（注：1尺＝10寸）根據(jù)題意，該圓的直徑為26寸．【分析】連接OC，由直徑AB與弦CD垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為CD的中點(diǎn)，由CD的長求出DE的長，設(shè)OC＝OA＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，即可得出直徑AB的長．【解析】連接OC，∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，∴E為CD的中點(diǎn)，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，設(shè)OC＝OA＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直徑AB的長為26寸，故答案為：26．18．（2022春?長沙期中）某隧道口橫截面如圖所示，上部分是圓弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高點(diǎn)E與DC的距離EF為4米，且弧DC所在圓的半徑為10米，則路面AB的寬度為16米．【分析】在Rt△CFO中利用勾股定理求出CF的長，再由垂徑定理求出AB＝CD＝2CF即可得出答案；【解析】設(shè)圓弧形所在圓的圓心為O，由題意可知，點(diǎn)O在EF的延長線上，連接OC，∵OE⊥CD，∴∠CFO＝90°，CF＝DF，在Rt△CFO中，OC＝10，OF＝OE﹣EF＝10﹣4＝6，∴CF＝＝＝8，∴AB＝CD＝2CF＝16，即路面AB的寬度為16米．故答案為：16．三．解答題（共6小題）19．（2021秋?潛山市期末）如圖1所示，圓形拱門屏風(fēng)是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味．圖2是一款拱門的示意圖，其中拱門最下端AB＝18分米，C為AB中點(diǎn)，D為拱門最高點(diǎn)，圓心O在線段CD上，CD＝27分米，求拱門所在圓的半徑．【分析】連接AO，根據(jù)垂徑定理求得AC＝BC＝9，設(shè)圓的半徑為x分米，則OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根據(jù)勾股定理即可求得x．【解析】連接AO，∵CD過圓心，C為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∵AB＝18，C為AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC＝9，設(shè)圓的半徑為x分米，則OA＝OD＝x分米，∵CD＝27，∴OC＝27﹣x，在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，∴92+（27﹣x）2＝x2，∴x＝15（分米），答：拱門所在圓的半徑是15分米．20．（2021秋?黔西南州期末）如圖，在一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為60m，拱高PM為18m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30m時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有4m，即PN＝4m時，試通過計算說明是否需要采取緊急措施．【分析】由垂徑定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圓弧所在圓的半徑，再計算當(dāng)PN＝4時A′B′的長度，與30米進(jìn)行比較大小即可．【解析】設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，連接OA、OA′，設(shè)半徑為x米，則OA＝OA′＝OP，由垂徑定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在R