2025屆山東省淄博市第十中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2025屆山東省淄博市第十中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值是（）A. B.C. D.42．已知曲線，則曲線W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值是（）A. B.C. D.3．圓C：的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）A. B.C. D.5．拋物線上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于（）A. B.C. D.6．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.（0,2） B.（0,1）C.（2,0） D.（1,0）9．在三棱柱中，，，，則這個(gè)三棱柱的高（）A1 B.C. D.10．雙曲線的焦距是（）A.4 B.C.8 D.11．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則12．已知等差數(shù)列，且，則（）A.3 B.5C.7 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為_(kāi)__________.14．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式_______15．已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為_(kāi)____16．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)（1）求證：平面MND⊥平面PCD；（2）求點(diǎn)P到平面MND的距離18．（12分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)滿足.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程.19．（12分）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，鼓勵(lì)全民閱讀經(jīng)典書(shū)籍，某市舉行閱讀月活動(dòng)，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)某街道約10000人在該活動(dòng)月每人每日平均閱讀時(shí)間（分鐘）的頻率分布直方圖如圖：（1）求x的值；（2）從該街道任選1人，則估計(jì)這個(gè)人的每日平均閱讀時(shí)間超過(guò)60分鐘的概率.20．（12分）某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，學(xué)校利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來(lái)自甲班的概率.21．（12分）已知圓，直線（1）求證：對(duì)，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)22．（10分）已知圓，直線（1）證明直線與圓C一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)，并求對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知成等比數(shù)列，從而可得，即可求出的結(jié)果.【詳解】解：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：成等比數(shù)列，且公比不為-1即成等比數(shù)列，，，.故選：B.2、A【解析】化簡(jiǎn)方程，得到，求出的范圍，作出曲線的圖形，通過(guò)圖象觀察，即可得到原點(diǎn)距離的最小值詳解】解：即為，兩邊平方，可得，即有，則作出曲線的圖形，如下：則點(diǎn)與點(diǎn)或的距離最小，且為故選：A3、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)公式計(jì)算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標(biāo)為，半徑為故選：C4、B【解析】根據(jù)已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結(jié)合的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，則①.又因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.5、C【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結(jié)論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C6、A【解析】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，由題意結(jié)合平面幾何的知識(shí)可得、、或其補(bǔ)角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質(zhì)可得且，且，所以或其補(bǔ)角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角7、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過(guò)來(lái)，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.8、D【解析】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是我們要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握9、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對(duì)值，則答案可求.【詳解】設(shè)平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設(shè)三棱柱的高為h，則,故選：D.10、C【解析】根據(jù)，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點(diǎn)睛】考查求雙曲線的焦距，基礎(chǔ)題.11、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運(yùn)算法則分別計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則，故A錯(cuò)誤；B.若，則，故B錯(cuò)誤；C.若，則，故C錯(cuò)誤；D.若，則，故D正確.故選：D12、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式即可計(jì)算.【詳解】，，.故答案為：﹒14、【解析】構(gòu)造法可得，由等比數(shù)列的定義寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項(xiàng)為，則，∴.故答案為：.15、【解析】利用已知條件求出p，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后求解的表達(dá)式，利用基本不等式即可得出結(jié)論【詳解】解：由題意可知：，設(shè)點(diǎn)，P到直線的距離為d，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，的最小值為，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題16、【解析】依題意，設(shè)所求的雙曲線的方程為.點(diǎn)為該雙曲線上的點(diǎn)，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）作出如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得、、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出平面、平面的法向量分別為，，和，1，，算出，可得，從而得出平面平面；（2）由（1）中求出的平面法向量，，與向量，2，，利用點(diǎn)到平面的距離公式加以計(jì)算即可得到點(diǎn)到平面的距離【詳解】（1）證明：平面，，、、兩兩互相垂直，如圖所示，分別以、、所在直線為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，2，設(shè)，，是平面的一個(gè)法向量，可得，取，得，，，，是平面的一個(gè)法向量，同理可得，1，是平面的一個(gè)法向量，，，即平面的法向量與平面的法向量互相垂直，可得平面平面；（2）解：由（1）得，，是平面的一個(gè)法向量，，2，，得，點(diǎn)到平面的距離18、（1）；（2）【解析】（1）由及兩點(diǎn)間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個(gè)根的的要舍去;（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用幾何關(guān)系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)椋?，整理得，得（舍），或，所以；?）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設(shè)：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，因?yàn)椋?，整理得：，得（舍），或，所以橢圓方程為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率解題關(guān)鍵是找到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系，第二問(wèn)的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用距離公式建立等量關(guān)系，求出c是求出橢圓方程的關(guān)鍵.19、（1）（2）0.7【解析】（1）利用概率和為1計(jì)算可得的值；（2）求頻率分布直方圖中每人每日平均閱讀時(shí)間超過(guò)60分鐘的概率即為這個(gè)人閱讀時(shí)間超過(guò)60分鐘的概率.【小問(wèn)1詳解】由得【小問(wèn)2詳解】，估計(jì)這個(gè)人的每日平均閱讀時(shí)間超過(guò)60分鐘的概率為20、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫(xiě)出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來(lái)自甲班”為事件M，事件M包括：共1個(gè)基本事件，由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來(lái)自甲班的概率為21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由直線過(guò)定點(diǎn)，只需判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)部，即可證結(jié)論.（2）由點(diǎn)線距離公式求弦心距，再利用半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的幾何關(guān)系求弦長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得證.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，，又的圓心為，半徑為，所以到直線的距離，所以所求弦長(zhǎng)為22、（1）證明見(jiàn)解析（2）答