高中數學 正弦定理

高中數學課程PAGEPAGE4§1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理學習目標1.掌握正弦定理的內容及其證明方法.2.能運用正弦定理與三角形內角和定理解決簡單的解三角形問題．知識點一正弦定理思考1如圖，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)分別等于什么？答案eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c.思考2在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)還成立嗎？答案在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)仍然成立．梳理在任意△ABC中，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，這就是正弦定理．特別提醒：正弦定理的特點(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立．(2)結構形式：分子為三角形的邊長，分母為相應邊所對角的正弦的連等式．(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數量關系，可以實現三角形中邊角關系的互化．知識點二解三角形一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．1．對任意△ABC，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).(√)2．任意給出三角形的三個元素，都能求出其余元素．(×)3．在△ABC中，已知a，b，A，則三角形有唯一解．(×)類型一正弦定理的證明例1在鈍角△ABC中，證明正弦定理．考點正弦定理及其變形應用題點正弦定理的理解證明如圖，過C作CD⊥AB，垂足為D，D是BA延長線上一點，根據正弦函數的定義知，eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).故eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).反思與感悟(1)用正弦函數定義溝通邊與角內在聯系，充分挖掘這些聯系可以使你理解更深刻，記憶更牢固．(2)要證eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需證asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都對應CD.初看是神來之筆，仔細體會還是有跡可循的，通過體會思維的軌跡，可以提高我們的分析解題能力．跟蹤訓練1如圖，銳角△ABC的外接圓O半徑為R，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，證明：eq\f(a,sinA)＝2R.考點正弦定理及其變形應用題點正弦定理的理解證明連接BO并延長，交外接圓于點A′，連接A′C，則圓周角A′＝A.∵A′B為直徑，長度為2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝eq\f(BC,A′B)＝eq\f(a,2R)，∴sinA＝eq\f(a,2R)，即eq\f(a,sinA)＝2R.類型二已知兩角及一邊解三角形例2在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形．考點用正弦定理解三角形題點已知兩角及一邊解三角形解根據正弦定理，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(10sin60°,sin30°)＝10eq\r(3).又C＝180°－(30°＋60°)＝90°.∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(10sin90°,sin30°)＝20.反思與感悟(1)正弦定理實際上是三個等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個．(2)因為三角形內角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個角．跟蹤訓練2在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．考點用正弦定理解三角形題點已知兩角及一邊解三角形解根據三角形內角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.根據正弦定理，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(18sin60°,sin45°)＝9eq\r(6).類型三已知兩邊及其中一邊的對角解三角形例3在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解三角形．考點用正弦定理解三角形題點已知兩邊及其中一邊對角解三角形解∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)sin45°,2)＝eq\f(\r(3),2)，∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.當C＝60°時，B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1；當C＝120°時，B＝15°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin15°,sin120°)＝eq\r(3)－1.∴b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.引申探究若把本例中的條件“A＝45°”改為“C＝45°”，則角A有幾個值？解∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(2·\f(\r(2),2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3).∵c＝eq\r(6)>2＝a，∴C>A.∴A為小于45°的銳角，且正弦值為eq\f(\r(3),3)，這樣的角A只有一個．反思與感悟已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值，若這個角不是直角，當已知的角為大邊所對的角時，則能判斷另一邊所對的角為銳角，當已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷，此時就有兩組解，再分別求解即可；然后由三角形內角和定理求出第三個角；最后根據正弦定理求出第三條邊．跟蹤訓練3在△ABC中，若a＝eq\r(2)，b＝2，A＝30°，則C＝________.考點用正弦定理解三角形題點已知兩邊及其中一邊對角解三角形答案105°或15°解析由正弦定理eq\f(a