安徽省宿州市2023屆高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1宿州市2023屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則的元素個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解出集合再根據(jù)交集運(yùn)算求出即可得出結(jié)果.〖詳析〗由題意可得，,根據(jù)交際運(yùn)算可得，所以的元素個數(shù)為2.故選：C2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z=（）A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗〖詳析〗由得=，故選A.〖考點(diǎn)定位〗本小題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,復(fù)數(shù)在高考中主要以小題形式出現(xiàn)，屬容易題，主要考查復(fù)數(shù)的概念、幾何意義與四則運(yùn)算是基礎(chǔ)內(nèi)容.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)二倍角的余弦公式以及充分、必要條件的定義即可得出結(jié)論.〖詳析〗由可得，即充分性成立；當(dāng)時，可得；所以必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都相等，便得到一個3階幻方.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都相等，這個正方形叫作n階幻方.記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為，如，那么下列說法錯誤的是（）A.B.7階幻方第4行第4列的數(shù)字為25C.8階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為260D.9階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為396〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)n階幻方的定義，n階幻方的數(shù)列有項(xiàng)，為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故，每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為，且n為奇數(shù)時，n階幻方行列的數(shù)字為該數(shù)列的中間值.〖詳析〗根據(jù)n階幻方的定義，n階幻方的數(shù)列有項(xiàng)，為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故，每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為.對A，，A對；對B，7階幻方有7行7列，故第4行第4列的數(shù)字該數(shù)列的中間值，即，B對；對C，8階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為，C對；對D，9階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為，D錯.故選：D5.函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)奇函數(shù)的定義證明為奇函數(shù)，再求函數(shù)的零點(diǎn)，通過取特殊值確定正確選項(xiàng).〖詳析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，又可化為，所以，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，C，D錯誤；令，可得，解得或（舍去），所以函數(shù)的零點(diǎn)為，，取可得，B錯誤，故選：A.6.設(shè)，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)二項(xiàng)展開式分別求出的表達(dá)式，解方程即可求得結(jié)果.〖詳析〗由題可知，，所以；同理可得；由可得，即，所以，即，解得.故選：D7.已知是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且，直線AC，BC的斜率分別為，（），若的最小值為1，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量共線可知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，分別設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法點(diǎn)差法表示出和，根據(jù)基本不等式求得取最小值時滿足，計(jì)算即可求得離心率.〖詳析〗根據(jù)題意，由可得原點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱；不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，易知，又因?yàn)锳、B，C都在雙曲線上，所以，兩式相減可得，即，所以，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以，即，可得，即離心率.故選：A.8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式比較得，即可判斷大小.〖詳析〗由，，，∴，∴，，∴.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，，，則下列說法正確是（）A.若，則 B.若，則C.若，則向量在上的投影向量為 D.若，則向量與的夾角為銳角〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量線性運(yùn)算即數(shù)量積公式可得AB正確；根據(jù)投影向量定義可得向量在上的投影向量為，即C錯誤；由可得，但此時向量與的夾角可以為零角并非銳角，可得D錯誤.〖詳析〗若，根據(jù)平面向量共線性質(zhì)可得，即，所以A正確；若，可得，即，解得，所以B正確；若，，由投影向量定義可知向量在上的投影向量為，即C錯誤；若，則，所以；但當(dāng)時，，即此時向量與的夾角為零角，所以D錯誤.故選：AB10.已知函數(shù)，其圖象相鄰對稱軸間的距離為，點(diǎn)是其中一個對稱中心，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的一半，再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到正弦函數(shù)的圖象〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗由周期求出，由圖像的對稱性求出的值，可得的〖解析〗式，再利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得出結(jié)論.〖詳析〗已知函數(shù)（，），其圖像相鄰對稱中軸間的距離為，故最小正周期,，點(diǎn)是其中一個對稱中心，有，,，由，∴，可以求得.最小正周期，故選項(xiàng)正確；由于，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸方程，故選項(xiàng)正確；時，正弦曲線的先增后減，故選項(xiàng)錯誤；將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的一半，再把得到的圖像向左平移個單位長度，可得到，選項(xiàng)D錯誤.故選：.11.已知，且，則下列不等關(guān)系成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗利用基本不等式易知選項(xiàng)AB正確；利用對數(shù)運(yùn)算法則和重要不等式可知C正確；將不等式化簡整理可得，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性即可證明D錯誤.〖詳析〗由基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即A正確；易知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即B正確；由重要不等式和對數(shù)運(yùn)算法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即C正確；由可得，所以，若，即證明，即即需證明，令函數(shù)，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以時，解不等式可得即可，即時不等式成立；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，解不等式可得，即時不等式才成立；綜上可知，當(dāng)時，不等式才成立，所以D錯誤.故選：ABC12.棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，，的中點(diǎn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面記為平面，則下列說法正確的是（）A.平面B.平面C.平面截正方體外接球所得圓的面積為D.正方體的表面上與點(diǎn)E的距離為的點(diǎn)形成的曲線的長度為〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，對AB，利用向量法判斷線面平行、線面垂直；對C，由向量法求點(diǎn)面距離判斷外接球到及所截圓心重合，進(jìn)而可求面積；對D，將所求曲線轉(zhuǎn)化為球截面上的圓弧長，進(jìn)而逐個表面討論即可.〖詳析〗建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，對A，設(shè)平面的法向量為，，，，則有，令得，由，而FG不在平面ACB1中，故平面，A對；對B，，，由，，∵平面，故平面，B對；對C，設(shè)，則O為正方體外接球心，，外接球半徑，設(shè)平面，由，，平面，則，故與重合，故平面截正方體外接球所得圓的面積為，C錯；對D，由題意，所求的點(diǎn)可看作正方體與半徑為的球E的交點(diǎn)，則由球的性質(zhì)，在表面上，∵，故只有兩個交點(diǎn)，不形成曲線；在表面上，形成的曲線為以為圓心，半徑為的圓與正方形交得的圓弧，長度為；在表面上，形成的曲線為以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與正方形交得的圓弧，長度為.由正方體的對稱性，所求的曲線長度為，D對.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實(shí)數(shù)a的值為______.〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗求出中心點(diǎn)，由線性回歸方程過中心點(diǎn)列方程求解.〖詳析〗，，由線性回歸方程過中心點(diǎn)得.故〖答案〗為：514.若拋物線C：存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，請寫出一個滿足條件的拋物線方程為_______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗〖祥解〗拋物線存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則該點(diǎn)在拋物線開口內(nèi)，列式求解即可.〖詳析〗拋物線存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則該點(diǎn)在拋物線開口內(nèi)，即當(dāng)時，.可取，則滿足條件的拋物線方程為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求解作答.〖詳析〗數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，當(dāng)時，，兩式相減得：，即，而，解得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，，所以.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先將命題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，運(yùn)用二階求導(dǎo)法討論的單調(diào)性及最值，對a分類討論，利用最小值列不等式求解即可.〖詳析〗由，令，令，則在上單調(diào)遞增，.（1）當(dāng)時，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得；（2）當(dāng)時，則存在使得，則時，，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增.∴，又，∴.∵，令，，則，∴在上單調(diào)遞減.則，故.綜上，.故〖答案〗為：〖『點(diǎn)石成金』〗含參不等式恒成立問題，一般構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，對參數(shù)分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的不等式求解.四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.17.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角A的大??；（2）求的取值范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理，將角化邊，再根據(jù)余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，，則，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解即可.〖小問1詳析〗由正弦定理可得，即，由余弦定理的變形得，又，所以.〖小問2詳析〗由得，且，所以，所以，因?yàn)椋瑥亩?，所以，從?即的取值范圍為.18.如圖，四棱錐中，底面ABCD，，，，，為棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

（1）證明：平面；（2）求與平面所成的角的正弦值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗(1)記為棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求兩向量的夾角余弦，由此可得與平面所成的角的正弦值.〖小問1詳析〗記為棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接又為棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).所以，且，又且，所以且，即四邊形ADEF為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?〖小問2詳析〗在BC上取一點(diǎn)G，使得，所以，又，知四邊形AGCD為矩形，從而，又底面ABCD，所以AG，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，從而，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，為平面PBC的一個法向量，則，設(shè)與平面所成的角為，則，即與平面所成的角的正弦值為.19.在數(shù)列中，，且.（1）令，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.〖答案〗（1）證明見〖解析〗，（2）297〖解析〗〖祥解〗(1)由遞推關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)由遞推關(guān)系證明，利用等差數(shù)列求和公式和組合求和法求.〖小問1詳析〗因?yàn)?，所以，即，又，所以，又，所以，?shù)列為以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以.〖小問2詳析〗因?yàn)?，所以，即所?20.宿州號稱“中國云都”，擁有華東最大的云計(jì)算數(shù)據(jù)中心、CG動畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟(jì)南之后的全國第5家量子通信節(jié)點(diǎn)城市.為了統(tǒng)計(jì)智算中心的算力，現(xiàn)從全市n個大型機(jī)房和6個小型機(jī)房中隨機(jī)抽取若干機(jī)房進(jìn)行算力分析，若一次抽取2個機(jī)房，全是小型機(jī)房的概率為.（1）求n的值；（2）若一次抽取3個機(jī)房，假設(shè)抽取的小型機(jī)房的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.〖答案〗（1）4（2）分布列見〖解析〗，〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)古典概型計(jì)算公式可得，即可解得；（2）易知隨機(jī)變量X的可能取值，利用超幾何分布可求得其對應(yīng)概率即可得分布列和期望值.〖小問1詳析〗由題知，共有個機(jī)房，抽取2個機(jī)房有種方法，其中全是小機(jī)房有種方法，因此全是小機(jī)房的概率為，解得.即n的值為4.〖小問2詳析〗X的可能取值為0，1，2，3.，，，.則隨機(jī)變量X的分布列為X0123P則X的數(shù)學(xué)期望.21.已知橢圓左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動點(diǎn)，的周長為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)橢圓離心率和焦點(diǎn)三角形周長可求得，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）易知的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓與圓的交點(diǎn)，求出AB所在的直線方程，并于橢圓方程聯(lián)立根據(jù)弦長公式求得的面積的表達(dá)式，再化簡變形構(gòu)造函數(shù)即可求得其取值范圍.小問1詳析〗設(shè)橢圓焦距為2c，根據(jù)橢圓定義可知，的周長為，離心率聯(lián)立，解得，，所以，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.〖小問2詳析〗設(shè)點(diǎn)，又為切點(diǎn)，可知，所以四點(diǎn)共圓，即在以O(shè)M為直徑圓上，則以O(shè)M為直徑的圓的方程為，又在圓上，兩式相減得直線AB的方程為，如下圖所示：設(shè)，，由，消去y整理后得，，，所以，又點(diǎn)O到直線PQ的距離，設(shè)的面積為S，則，其中，令，則，設(shè)，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得，于是可得，即的面積的取值范圍為.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題關(guān)鍵在于根據(jù)過點(diǎn)M的兩條切線求出切點(diǎn)所在的直線方程，并與橢圓聯(lián)立利用韋達(dá)定理和弦長公式求出面積的表達(dá)式，再通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求面積取值范圍即可.22