福建省部分地市（廈門、福州、莆田、三明、龍巖、寧德、南平）2023屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1福建省部分地市2023屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，滿足：，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗有集合關(guān)系，作出Venn圖，數(shù)形結(jié)合即可求解.〖詳析〗由集合，，滿足：，，如圖所示：，，故選：B2.設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則“點(diǎn)在第四象限”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既不充分也不必要條件 D.充要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義解決即可.〖詳析〗由題知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因點(diǎn)在第四象限，即，，即，或，所以“點(diǎn)在第四象限”是“”的充分不必要條件，故選：A3.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可求解.〖詳析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，故選：.4.函數(shù)的最小正周期不可能是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗令、、中的兩個(gè)等于零分類，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期，即可判斷選項(xiàng)A，B，D；而若時(shí)，，，即可化簡得出，再分類為與判斷其周期，與假設(shè)矛盾，即可證明最小正周期不可能是.〖詳析〗當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，最小正周期為，故選項(xiàng)A可能；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，最小正周期為，故選項(xiàng)B可能；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，最小正周期為，故選項(xiàng)D可能；而對(duì)于選項(xiàng)C：，，則若時(shí)，，即，，，則若時(shí)，，即，故若時(shí)，，則，且，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，不滿足周期為，當(dāng)時(shí)，，也不滿足周期為，與假設(shè)矛盾，故函數(shù)的最小正周期不可能是，故選：C.5.過拋物線的焦點(diǎn)作直線l，l交C于M，N兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則（）A.10 B.9 C.8 D.7〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，利用韋達(dá)定理求出值，再利用弦長公式即可.〖詳析〗由拋物線方程知焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，則，解得，則，故選：C.6.函數(shù)恒有，且在上單調(diào)遞增，則的值為（）A. B. C. D.或〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意可得時(shí)取得最大值，可得.根據(jù)單調(diào)性可得，即.當(dāng)時(shí)，根據(jù)可求的值；若，根據(jù)單調(diào)性可知不滿足題意，從而可求解.〖詳析〗易知，因?yàn)楹阌?，所以?dāng)時(shí)取得最大值，所以，得.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以,即，得.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以,得.所以，且，，解得，.故.當(dāng)，，因?yàn)?，所以，故在上單調(diào)遞減，不滿足題意.故選:B.7.在正四棱臺(tái)中，，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意畫出圖形，由圖構(gòu)造直角三角形，即可求得，由求得表面積公式求得球體的表面積.〖詳析〗如圖所示的正四棱臺(tái)，，取上下兩個(gè)底面的中心，連接，，，過點(diǎn)作底面的垂線與相交于點(diǎn)，因?yàn)樗睦馀_(tái)為正四棱臺(tái)，所以外接球的球心一定在上，在上取一點(diǎn)為球心，連接，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，，在中，，即，在中，，即，解得，所以，故選：A.8.雙曲線的下焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若過A，B和點(diǎn)的圓的圓心在x軸上，則直線l的斜率為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，與曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出的中點(diǎn)坐標(biāo)和弦長，然后利用垂徑定理可得直線l的斜率.〖詳析〗由題意可知：，設(shè)，，的中點(diǎn)為，過點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，則，由題意知：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，消元可得：，則，，由韋達(dá)定理可得：，，所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)，則，由圓的性質(zhì)可知：圓心與弦中點(diǎn)連線的斜率垂直于弦所在的直線，所以，整理可得：（*），則圓心到直線的距離，由弦長公式可得：，由垂徑定理可得：，也即，將（*）代入可得：，即，整理可得：，則，因?yàn)?，所以，則，故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)公式和逐項(xiàng)分析判斷.〖詳析〗由題意可得：等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，即，對(duì)A：，且，即為等比數(shù)列，A正確；對(duì)B：，且，即為等比數(shù)列，B正確；∵，則有：對(duì)C：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)D：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，D錯(cuò)誤；故選：AB.10.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為8C.的最大值為 D.沒有最大值〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗將代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)及基本不等式可判斷B；，根據(jù)基本不等式可判斷C；，，根據(jù)基本不等式可判斷D.〖詳析〗因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，且，所以.所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即的最大值為，故C正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.所以有最大值，故D錯(cuò)誤.故選:AC.11.平面向量滿足，對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，則（）A.與的夾角為 B.為定值C.的最小值為 D.在上的投影向量為〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗由題意可得：與的夾角，然后根據(jù)向量的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.〖詳析〗設(shè)平面向量與的夾角為，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，即恒成立，又，也即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，所以，則，所以，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)殡S的變化而變化，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，由二次函?shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，取最小值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，向量上的一個(gè)單位向量，由向量夾角公式可得：，由投影向量的計(jì)算公式可得：在上的投影向量為，故選項(xiàng)正確，故選：.12.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（）A.存在點(diǎn)M，使得平面B.存在點(diǎn)M，使得∥平面C.不存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角為D.存在點(diǎn)M，使得平面與平面所成的銳角為〖答案〗BCD〖解析〗〖祥解〗建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式、法向量的性質(zhì)逐一判斷即可.〖詳析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，設(shè)平面的法向量為，，則有，假設(shè)存在點(diǎn)M，使得平面，所以有，所以有，因此假設(shè)不成立，因此選項(xiàng)A不正確；假設(shè)存點(diǎn)M，使得∥平面，所以有，所以假設(shè)成立，因此選項(xiàng)B正確；假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角為，，所以有，解得，，所以假設(shè)不成立，故選項(xiàng)C正確；假設(shè)存在點(diǎn)M，使得平面與平面所成的銳角為，設(shè)平面、平面的法向量分別為、，顯然，則有，當(dāng)時(shí)，有，所以有，或，假設(shè)成立，選項(xiàng)D正確，故選：BCD〖『點(diǎn)石成金』〗三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離為__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用向量的模公式及向量的夾角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及銳角三角函數(shù)的定義即可求解.〖詳析〗，,，，設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為，則.故〖答案〗為：.14.以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：甲組：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；乙組：17，22，32，43，45，49，b，56．若甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則__________．〖答案〗100〖解析〗〖祥解〗根據(jù)百分位數(shù)和平均數(shù)的定義即可列出式子計(jì)算求解.〖詳析〗因?yàn)?，甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四個(gè)數(shù)和第五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，根據(jù)題意得，解得：，所以，故〖答案〗為：.15.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)__________．①若，則；②；③在上單調(diào)遞減．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)，列出符合條件的函數(shù)即可.〖詳析〗比如，，故，又，也即成立，又在上單調(diào)遞減．故〖答案〗為：.16.近年來，“劇本殺”門店遍地開花．放假伊始，7名同學(xué)相約前往某“劇本殺”門店體驗(yàn)沉浸式角色扮演型劇本游戲，目前店中僅有可供4人組局的劇本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知這7名同學(xué)中有4名男生，3名女生，現(xiàn)決定讓店主從他們7人中選出4人參加游戲，其余3人觀看，要求選出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同時(shí)為女生．則店主共有__________種選擇方式．〖答案〗348〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，按照選出的女生人數(shù)進(jìn)行分類，分別求出每一類的選擇種數(shù)，然后相加即可求解.〖詳析〗由題意，根據(jù)選出的女生人數(shù)進(jìn)行分類，第一類：選出1名女生，先從3名女生中選1人，再從四名男生中選3人，然后安排角色，兩名男生扮演A，B角色有種，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先選有，剩下的一個(gè)角色從3名男生中選1人，則種，所以共有種，第二類：選出2名女生，先從3名女生中選2人，再從四名男生中選2人，然后安排角色，兩名男生扮演A，B角色有種，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，選出1名女生先選角色有，剩下的一個(gè)角色從2名男生中選1人，則種，所以共有種，第三類：選出3名女生，從先從3名女生中選3人，再從四名男生中選1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，選出1名女生先選角色有，剩下的一個(gè)角色讓男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有種，由分類計(jì)數(shù)原理可得：店主共有種選擇方式，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列和數(shù)列中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列，求的前50項(xiàng)和．〖答案〗（1）（2）2150〖解析〗〖祥解〗（1）當(dāng)時(shí)，，得，由，當(dāng)時(shí)，有，作差解決即可；（2），又，同時(shí)，所以，分組求和解決即可.〖小問1詳析〗依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，由，當(dāng)時(shí)，有，作差得：，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以.小問2詳析〗由（1）得，，又，同時(shí)，所以所以．所以的前50項(xiàng)和為2150．18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面積．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗(1)利用平面向量的數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果；(2)由正弦定理得到，結(jié)合和兩角和則正弦公式求出，進(jìn)而求出三角形的面積.〖小問1詳析〗已知，代入余弦定理，，化簡得：，所以．〖小問2詳析〗由正弦定理知即，又，故，即，得，故（舍），此時(shí)，，，則的面積.19.如圖，在直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，且平面．（1）求長；（2）若，求二面角的余弦值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)線面垂直性質(zhì)得，結(jié)合垂直平分線性質(zhì)和三角形全等得到，結(jié)合即可得到的長；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量，求出平面和平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的二面角求法即可.〖小問1詳析〗∵面，又面，∴，又∵F為的中點(diǎn)，∴，又在、中，，易證得，故．，，又，，故．〖小問2詳析〗以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，則，不妨設(shè)是平面的一個(gè)法向量，那么，即，令，則．又面，故是平面的一個(gè)法向量．設(shè)為二面角所成平面角，則，即二面角的余弦值為．20.校園師生安全重于泰山，越來越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備．某學(xué)校引進(jìn)M，N兩種類型的自動(dòng)體外除顫器（簡稱AED）若干，并組織全校師生學(xué)習(xí)AED的使用規(guī)則及方法．經(jīng)過短期的強(qiáng)化培訓(xùn)，在單位時(shí)間內(nèi)，選擇M，N兩種類型AED操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨(dú)立．（1）現(xiàn)有某受訓(xùn)學(xué)生進(jìn)行急救演練，假定他每次隨機(jī)等可能選擇M或N型AED進(jìn)行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；（2）為激發(fā)師生學(xué)習(xí)并正確操作AED的熱情，學(xué)校選擇一名教師代表進(jìn)行連續(xù)兩次設(shè)備操作展示，下面是兩種方案：方案甲：在第一次操作時(shí)，隨機(jī)等可能的選擇M或N型AED中的一種，若第一次對(duì)某類型AED操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若第一次對(duì)某類型AED操作不成功，則第二次使用另一類型AED進(jìn)行操作．方案乙：在第一次操作時(shí)，隨機(jī)等可能的選擇M或N型AED中的一種，無論第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所選擇的設(shè)備．假定方案選擇及操作不相互影響，以成功操作累積次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，分析哪種方案更好？〖答案〗（1）（2）見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)“操作成功”為事件S，“選擇設(shè)備M”為事件A，“選擇設(shè)備N”為事件B，結(jié)合題意和獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可求解；（2）設(shè)方案甲和方案乙成功操作累計(jì)次數(shù)分別為X，Y，分別求出每一個(gè)次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，然后求出每種方案對(duì)應(yīng)的均值，進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.〖小問1詳析〗設(shè)“操作成功”為事件S，“選擇設(shè)備M”為事件A，“選擇設(shè)備N”為事件B由題意，恰在第二次操作才成功的概率，，所以恰在第二次操作才成功的概率為．〖小問2詳析〗設(shè)方案甲和方案乙成功操作累計(jì)次數(shù)分別為X，Y，則X，Y可能取值均為0，1，2，；；；所以方法一：；；所以方法二：方案乙選擇其中一種操作設(shè)備后，進(jìn)行2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以，決策一：因?yàn)?，故方案甲更好．決策二：因?yàn)榕c差距非常小，所以兩種方案均可21.已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)為．（1）求的方程；（2）如圖，過的上頂點(diǎn)作動(dòng)圓的切線分別交于兩點(diǎn)，是否存在圓使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由．〖答案〗（1）（2）不存在，理由見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）假設(shè)存在圓滿足題意，當(dāng)圓過原點(diǎn)時(shí)，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意；不妨設(shè)為：，：，，，圓的半徑為，得圓心到直線的距離為，得，聯(lián)立直線與橢圓方程得，進(jìn)而得，由得，即可解決.〖小問1詳析〗由題意設(shè)焦距為，則，由離心率為，所以，則，的方程為．〖小問2詳析〗不存在，證明如下：假設(shè)存在圓滿足題意，當(dāng)圓過原點(diǎn)時(shí)，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意．依題意不妨設(shè)為：，：，，，圓的半徑為，則圓心到直線