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第一次月考押題預(yù)測(cè)卷(考試范圍:第十六、十七章)姓名:__________________班級(jí):______________得分:_________________注意事項(xiàng):本試卷滿分120分,考試時(shí)間90分鐘,試題共26題.答卷前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2023秋·陜西西安·八年級(jí)校考期末)下列化簡(jiǎn)正確的是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算可判斷A,根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)可判斷B,C,D,從而可得答案.【詳解】解:A、,運(yùn)算正確,符合題意;B、,不符合題意;C、,不符合題意;D、,不符合題意;故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn),二次根式的除法運(yùn)算,正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.2.(2022·內(nèi)蒙古·中考真題)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示,則的化簡(jiǎn)結(jié)果是(
)A.1 B.2 C.2a D.1﹣2a【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1,得到a>0,a1<0,利用二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】解∶∵根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1,∴a>0,a1<0,∴原式=|a|+1+1a=a+1+1a=2.故選∶B.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn),實(shí)數(shù)與數(shù)軸,掌握是解題的關(guān)鍵.3.(2022·江蘇揚(yáng)州·??既#┤鐖D,在9×5的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,若BD是∠ABC的平分線,則BD的長為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用勾股定理求出、、的長,可得為等腰三角形,利用等腰三角形三線合一可得的值,繼續(xù)用勾股定理即可求出的值.【詳解】解:由題可知,,,,,又平分,,且,即三角形ABD是直角三角形,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,等腰三角形的三線合一,熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.4.(2022·重慶·統(tǒng)考中考真題)估計(jì)的值應(yīng)在(
)A.10和11之間 B.9和10之間 C.8和9之間 D.7和8之間【答案】B【分析】先化簡(jiǎn),利用,從而判定即可.【詳解】,∵,∴,∴,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式混合運(yùn)算及無理數(shù)的估算,熟練掌握無理數(shù)估算方法是解題的關(guān)鍵.5.(2022春·江蘇無錫·九年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法,該方法運(yùn)用了祖沖之的出入相補(bǔ)原理.若圖中空白部分的面積是15,整個(gè)圖形(連同空白部分)的面積是39,則大正方形的邊長是(
)A. B. C.5 D.【答案】B【分析】設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,根據(jù)題意可列出方程組,解方程組,即可求得.【詳解】解:設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c根據(jù)題意得:解得,或(舍去)故大正方形的邊長是故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了以弦圖為背景的計(jì)算題,結(jié)合圖形和題意列出方程組是解決本題的關(guān)鍵.6.(2022·重慶忠縣·八年級(jí)期末)中國古代稱直角三角形為勾股形,如果勾股形的三邊長為三個(gè)正整數(shù),則稱三邊長叫“勾股數(shù)”;如果勾股形的兩直角邊長為正整數(shù),那么稱斜邊長的平方叫“整弦數(shù)”對(duì)于以下結(jié)論:①20是“整弦數(shù)”;②兩個(gè)“整弦數(shù)”之和一定是“整弦數(shù)”;③若c2為“整弦數(shù)”,則c不可能為正整數(shù);④若m=a12+b12,n=a22+b22,≠,且m,n,a1,a2,b1,b2均為正整數(shù),則m與n之積為“整弦數(shù)”;⑤若一個(gè)正奇數(shù)(除1外)的平方等于兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和,則這個(gè)正奇數(shù)與這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)是一組“勾股數(shù)”.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)“整弦數(shù)”的定義即可求解;②根據(jù)定義舉出反例即可求解;③根據(jù)“整弦數(shù)”的定義即可求解;④先求出m與n之積,再根據(jù)“整弦數(shù)”的定義即可求解;⑤先設(shè)一個(gè)正奇數(shù)(除1外)為2n+1(n為正整數(shù)),進(jìn)一步得到兩個(gè)連續(xù)正整數(shù),再根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解.【詳解】解:①∵∴20是“整弦數(shù)”,符合題意;②如5,2是“整弦數(shù)”,∵不是“整弦數(shù)”,∴兩個(gè)“整弦數(shù)”之和不一定是“整弦數(shù)”,不符合題意;③若,則,,c2為“整弦數(shù)”,則c為正整數(shù)”,不符合題意;④∵m=a12+b12,n=a22+b22,≠,且m,n,a1,a2,b1,b2均為正整數(shù),∴m與n之積為“整弦數(shù)”,符合題意;⑤設(shè)一個(gè)正奇數(shù)(除1外)為2n+1(n為正整數(shù)),∵(2n+1)2=4n2+4n+1且等于兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和,∴較小的正整數(shù)為2n2+2n,較小的正整數(shù)為2n2+2n+1,∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n)2+4n2+4n+1=(2n2+2n)2+2(2n2+2n)+1=(2n2+2n+1)2,∴這個(gè)正奇數(shù)與這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)是一組“勾股數(shù)”,符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的綜合運(yùn)用,涉及數(shù)字類變化規(guī)律、整式的混合運(yùn)算、完全平方公式等知識(shí),正確理解“整弦數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵.7.(2022·山東八年級(jí)期中)中,,高,則BC的長為()A.14 B.14或4 C.4 D.無法確定【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形,分兩種情況討論,再分別在中,利用勾股定理解得CD的長,在中,利用勾股定理解得BD的長,最后計(jì)算線段的和差解題.【詳解】解:分兩種情況討論:若是鈍角三角形,如圖,是的高,在中,,在中,,;若是銳角三角形,如圖,是的高,在中,,在中,,;故BC為:14或4,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理,掌握勾股定理并分情況討論是解題的關(guān)鍵.8.(2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題)如圖,在中,,將邊沿折疊,使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)處,再將邊沿折疊,使點(diǎn)A落在的延長線上的點(diǎn)處,兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)N、M,則線段的長為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用勾股定理求出AB=10,利用等積法求出CN=,從而得AN=,再證明∠NMC=∠NCM=45°,進(jìn)而即可得到答案.【詳解】解:∵∴AB=,∵S△ABC=×AB×CN=×AC×BC∴CN=,∵AN=,∵折疊∴AM=A'M,∠BCN=∠B'CN,∠ACM=∠A'CM,∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°,∴∠B'CN+∠A'CM=45°,∴∠MCN=45°,且CN⊥AB,∴∠NMC=∠NCM=45°,∴MN=CN=,∴A'M=AM=AN?MN==.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換,勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.9.(2022·重慶渝北·八年級(jí)期末)二次根式除法可以這樣理解:如.像這樣通過分子、分母同乘以一個(gè)式子,把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去,叫做分母有理化.判斷下列選項(xiàng)正確的是(
)①若a是的小數(shù)部分,則的值為;②對(duì)于式子,對(duì)它的分子分母同時(shí)乘以或,均不能對(duì)其分母有理化;③比較兩個(gè)二次根式的大??;④計(jì)算.A.①② B.③④ C.②③ D.②④【答案】D【分析】先判斷的整數(shù)部分求解a的值,再分母有理化可判斷①,再把的分子,分母都乘以或由結(jié)果可判斷②,先把分母有理化,再比較結(jié)果的大小可判斷③,逐一把各項(xiàng)分母有理化,再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算即可判斷④,從而可得答案.【詳解】解:∵∴∴故①不符合題意;∵故②符合題意;∵而∴,故③不符合題意;∵故④符合題意;故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的除法運(yùn)算,分母有理化,理解分母有理化的含義,熟練的運(yùn)用分母有理化的方法解決問題是關(guān)鍵.10.(2022春·廣東江門·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,長為2的線段(點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè))在軸上移動(dòng),,,連接,,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】設(shè),則有,推出要求的最小值,相當(dāng)于在軸上找一點(diǎn),使得點(diǎn)到和的距離和最小,如圖1中,作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),連接交軸于,連接,此時(shí)的值最小,求出即可解決問題.【詳解】解:設(shè),,,,,,要使的最小值,相當(dāng)于在軸上找一點(diǎn),使得點(diǎn)到和的距離和最小,如圖1,中,作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),連接交軸于,連接,此時(shí)的值最小,,,的最小值,的最小值為:,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱—最短路徑問題,坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題,學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題,學(xué)會(huì)利用轉(zhuǎn)化的思想解決問題,屬于中考選擇題中的壓軸題.二、填空題(本大題共8小題,每小題3分,共24分.不需寫出解答過程,請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上)11.(2022·湖北武漢·校考三模)計(jì)算的結(jié)果是_____.【答案】7【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】解:=|7|=7.故答案為7.12.(2023秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市高明區(qū)滄江中學(xué)??计谀┤鐖D,臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物,則它爬行的最短距離為_____.【答案】13m##13米【分析】先將圖形平面展開,再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答.【詳解】解:如圖所示,臺(tái)階平面展開圖為長方形,,,則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長方形的對(duì)角線長.由勾股定理得:,即,,故答案為:m.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開圖—最短路徑問題,用到臺(tái)階的平面展開圖,只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答.13.(2022春·黑龍江綏化·八年級(jí)??计谥校瑒ta-b=______.【答案】4【分析】首先進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算,根據(jù)相等求出a和b的值,代入代數(shù)式求值.【詳解】解:∵,∴a=2,b=6,則a-b=26=4;故答案為4.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘法,掌握二次根式的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵.14.(2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題)如圖,沿方向架橋修路,為加快施工進(jìn)度,在直線上湖的另一邊的處同時(shí)施工.取,,,則,兩點(diǎn)的距離是_________.【答案】【分析】如圖所示:過點(diǎn)作于點(diǎn),先求出,再根據(jù)勾股定理即可求出的長.【詳解】如圖所示:過點(diǎn)作于點(diǎn),則∠BEC=∠DEC=90°,,,∴∠BCE=90°30°=60°,又,,∴∠ECD=45°=∠D,∴,,,,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)內(nèi)容并能靈活運(yùn)用.15.(2022·浙江·八年級(jí)期末)已知,則的值是_____________.【答案】9【分析】先將原等式變形為,再根據(jù)平方的非負(fù)性可得,,,由此可求得a、b、c的值,進(jìn)而可求得答案.【詳解】解:∵,∴,∴,∴,,,∴,,,∴,,,∴,故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn),熟練掌握二次根式的性質(zhì)和靈活應(yīng)用完全平方公式是解決此題的關(guān)鍵.16.(2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題)如圖,AB⊥BC于點(diǎn)B,AB⊥AD于點(diǎn)A,點(diǎn)E是CD中點(diǎn),若BC=5,AD=10,BE=,則AB的長是_____.【答案】12【分析】延長BE交AD于點(diǎn)F,由“ASA”可證△BCE≌△FDE,可得DF=BC=5,BE=EF,由勾股定理可求AB的長.【詳解】如圖,延長BE交AD于點(diǎn)F,∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),∴DE=CE,∵AB⊥BC,AB⊥AD,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE,∠FED=∠BEC,∴△BCE≌△FDE(ASA),∴DF=BC=5,BE=EF,∴BF=2BE=13,AF=5,在Rt△ABF中,由勾股定理可得AB=12.故答案為:12.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.17.(2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知整數(shù)x,y滿足,則的最小值為_____.【答案】【分析】原式可變形為,然后因式分解為,從而得到,進(jìn)而分析得出,,則答案可得.【詳解】解:,變形為,∴,∴,∴,∵x,y均為整數(shù),,∴最小值時(shí),,∴最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是的得到.18.(2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模)如圖,在△ABC中,AB=2,∠ACB=60°,DC⊥BC,DC=BC,則AD的長的最大值為______.【答案】##【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AC的延長線于點(diǎn)E,得出∠DCE=30°,令CD=CB=x,AC=y,則DE=x,CE=x,則AE=y+x,由勾股定理,得AD2=AE2+ED2,進(jìn)而求最值.【詳解】解:過點(diǎn)D作DE⊥AC的延長線于點(diǎn)E,∵∠ACB=60°,DC⊥BC,∴∠DCE=30°,令CD=CB=x,AC=y,則DE=x,由勾股定理,得CE=,∴AE=AC+CE=y+x,在Rt△ADE中,AD2=DE2+AE2,∴AD2=(x)2+(y+x)2=x2+y2+xy,∵(xy)2≥0,∴x2+y22xy≥0,即xy≤,當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立,∴AD2=x2+y2+xy≤x2+y2+×=當(dāng)x=y時(shí),AD有最大值,且AD2=,∵AB=2,∠ACB=60°,∴△ABC為等邊三角形,∴當(dāng)x=y=2時(shí),AD2==8+4,又AD>0,∴AD=.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),利用勾股定理解三角形,30°的直角三角形的性質(zhì)和邊關(guān)系,利用不等式求最值等知識(shí),難度有些大,屬于壓軸題.三、解答題(本大題共8小題,共66分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)19.(2023秋·河北秦皇島·八年級(jí)校考期末)計(jì)算:(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,然后合并同類二次根式即可;(2)利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可.【詳解】(1)解:原式;(2)解:原式.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算:先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算,再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中,如能結(jié)合題目特點(diǎn),靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì),選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,往往能事半功倍.20.(2022·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都是1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),點(diǎn)A在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺,在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖,所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上;(1)在圖①中,畫一個(gè)銳角三角形,使它的三邊長都是有理數(shù).(2)在圖②中,畫一個(gè)等腰直角三角形,使它的三邊長都是無理數(shù).(3)在圖③中,畫一個(gè)不等腰的直角三角形,使它的三邊長都是無理數(shù).【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】(1)利用勾股定理畫一個(gè)邊長分別為5,5,6的三角形即可;(2)利用勾股定理及其逆定理,結(jié)合格點(diǎn)特征即可作圖;(3)利用勾股定理及其逆定理,結(jié)合格點(diǎn)特征即可作圖.【詳解】(1)解:如圖,,,符合三條邊長都是有理數(shù),三個(gè)角都是銳角,可知三角形即為所求;(2)解:如圖,,,滿足,可知三角形即為所求;(3)解:如圖,,,,滿足,可知三角形即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)作圖、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及其逆定理.21.(2022·吉林九臺(tái)·八年級(jí)期末)如圖,在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走,繩端從移動(dòng)到,同時(shí)小船從移動(dòng)到,且繩長始終保持不變.、、三點(diǎn)在一條直線上,.回答下列問題:(1)根據(jù)題意可知:(填“>”、“<”、“=”).(2)若米,米,米,求小男孩需向右移動(dòng)的距離(結(jié)果保留根號(hào)).【答案】(1)=;(2)小男孩需向右移動(dòng)的距離為米.【分析】(1)根據(jù)男孩拽繩子前后始終保持不變即可得;(2)由勾股定理分別求出AC,BC的長,然后根據(jù)(1)中結(jié)論求解即可.【詳解】解:(1)∵AC的長度是男孩拽之前的繩長,是男孩拽之后的繩長,繩長始終未變,∴,故答案為:=;(2)∵A、B、F三點(diǎn)共線,∴在RtΔCFA中,,∵,∴在RtΔCFB中,,由(1)可得:,∴,∴小男孩需移動(dòng)的距離為米.【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用,理解題意,熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.22.(2022·浙江舟山·統(tǒng)考二模)如圖,在中,∠C=90°,D是邊BC上一點(diǎn),連接AD并延長至點(diǎn)E,AD=DE,過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,連接BE.(1)求證:.(2)若BE=DE,AC=8,CD=4,求AB的長.【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)由“”可證;(2)由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求,由勾股定理可求解.【詳解】(1)證明:在和中,,;(2),,,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.23.(2022·河北八年級(jí)期中)先閱讀,再解答:由可以看出,兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘,積不含有二次根式,我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式,在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí),利用有理化因式,有時(shí)可以化去分母中的根號(hào),例如:,請(qǐng)完成下列問題:(1)的有理化因式是______;(2)化去式子分母中的根號(hào):______.(直接寫結(jié)果)(3)______(填或)(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值:.【答案】(1);(2);(3);(4)2020【分析】(1)根據(jù)有理化因式的定義求解;(2)利用分母有理化計(jì)算;(3)通過比較它們的倒數(shù)大小進(jìn)行判斷,利用分母有理化得到,,然后進(jìn)行比較大小;(4)先根據(jù)規(guī)律,化簡(jiǎn)第一個(gè)括號(hào)中的式子,再利用平方差公式計(jì)算即可.【詳解】解:(1)的有理化因式是,故答案為:;(2)∵,故答案為:;(3)∵,,而,∴>,∴<,故答案為:<(4)解:原式【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化和二次根式的混合運(yùn)算:先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式,然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算,再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中,如能結(jié)合題目特點(diǎn),靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì),選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,往往能事半功倍.24.(2022·江蘇八年級(jí)期中)我們給出如下定義:若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方,則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊.(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱正方形、長方形、直角梯形(任選兩個(gè)均可);(2)如圖1,已知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))O(0,0),A(3,0),B(0,4),請(qǐng)你畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn),OA,OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB;(3)如圖2,將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△DBE,連接AD,DC,∠DCB=30度.求證:DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形.【答案】(1)正方形、長方形;(2)見解析;(3)見解析.【分析】(1)直接利用勾股四邊形的定義得出答案;(2)OM=AB知以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的M共兩個(gè),分別得出答案;(3)連接CE,證明△BCE是等邊三角形,△DCE是直角三角形,繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形;【詳解】(1)解:正方形、長方形,理由如下:如圖:正方形ABCD中,由勾股定理有:;長方形DEFG中,由勾股定理有:;都滿足勾股四邊形的定義,因此都是勾股四邊形.(2)解:答案如圖所示.(3)證明:連接EC,∵△ABC≌△DBE,∴AC=DE,BC=BE,∵∠CBE=60°,∴△CBE為等邊三角形,∴EC=BC,∠BCE=60°,∵∠DCB=30°,∴∠DCE=90°,∴DC2+EC2=DE2,∴DC2+BC2=AC2.即四邊形ABCD是勾股四邊形.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題,主要考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解并運(yùn)用新定義“勾股四邊形”、“勾股邊”,正確尋找全等三角形解決問題.25.(2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,△ABC與△ACD為正三角形,點(diǎn)O為射線CA上的動(dòng)點(diǎn),作射線OM與射線BC相交于點(diǎn)E,將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到射線ON,射線ON與射線CD相交于點(diǎn)F.(1)如圖1,點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段BC,CD上,求證:△OEC≌△OFD;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)O在CA的延長線上時(shí),E,F(xiàn)分別在線段BC的延長線和線段CD的延長線上,請(qǐng)證明:OC+CE=CF;(3)點(diǎn)O在線段AC上,若AB=6,BO=2,當(dāng)CF=1時(shí),請(qǐng)求出BE的長.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3或5【分析】(1)利用ASA證明△AEC≌△AFD即可得出結(jié)論;(2)過點(diǎn)O作OH∥BC,交CF于H,可知△COH是等邊三角形,再利用ASA證明△OHF≌△OCE,從而解決問題;(3)作BH⊥AC于H,當(dāng)點(diǎn)O在線段AH上,點(diǎn)F在線段CD上時(shí),利用ASA證明△ONE≌△OCF,得CF=NE,OC=CN,從而得出BE的長;當(dāng)點(diǎn)O在線段CH上,點(diǎn)E在線段BC上時(shí),同理可得答案.【詳解】(1)證明:∵△ABC與△ACD為正三角形,∴AB=AC=BC=AD=CD,∠BAC=∠BCA=∠ADC=∠DAC=60°,∵將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,∴∠EAF=60°,∴∠BAC=∠CAD=∠EAF=60°,∴∠EAC=∠DAF,且AC=AD,在△AEC與△AFD中,,∴△AEC≌△AFD(ASA),(2)證明:如圖,過點(diǎn)O作OH∥BC,交CF于H,∴∠HOC=∠BCA=60°,∠OHC=∠HCE=60°,∴△COH是等邊三角形,∴OC=CH=OH,∵∠EOF=∠COH=∠CHO=∠BCA=60°,∴∠COE=∠FOH,∠OCE=∠OHF=120°,OH=OC,在△OHF與△OCE中,,∴△OHF≌△OCE(ASA),∴CE=FH,∵CF=CH+FH,∴CF=CO+CE;(3)作BH⊥AC于H,∵AB=6,AH=CH=3,∴BH=AH=3,當(dāng)點(diǎn)O在線段AH上,點(diǎn)F在線段CD上時(shí),∵OB=2,∴OH==1,∴OC=3+1=4,過點(diǎn)O作ON∥AB,交BC于N,∴△ONC是等邊三角形,∴ON=OC=CN=4,∠NOC=∠EOF=60°=∠ONC=∠OCF,∴∠NOE=∠COF,ON=OC,∠ONC
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